2026-2027学年上海市杨浦区高三上学期9月份月考数学预测卷·01

**基本信息** 上海市杨浦区高三9月月考数学预测卷，立足沪教版基础，通过集合、复数、函数、立体几何等知识，结合企业碳排放等现实情境，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高三起始阶段学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合、复数、幂函数、二项式定理等基础概念|梯度设计，1-6题侧重基础记忆，7-12题融入双曲线渐近线、线性规划等中档应用| |选择题|4题18分|充分必要条件、函数图像与性质、三角函数、函数零点|16题结合偶函数周期性与图像交点，考查直观想象与逻辑推理| |解答题|5题78分|解三角形、立体几何、数学建模（碳排放）、椭圆、导数综合|19题以企业降碳为情境考查数学建模，21题导数分层设计（单调区间、极值范围、证明），20题椭圆结合向量运算考查数学运算与逻辑推理|

上海市杨浦区高三（上）9月份月考数学预测卷·01 基础篇·沪教版·考试时间120分钟·满分150分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 ，，则 ________。 2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则复数 的虚部为 ________。 3. 若幂函数 的图像经过点 ，则 ________。 4. 在 的二项展开式中， 的系数为 ________。 5. 已知 ，则 ________。 6. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为 ________。 7. 若双曲线 的一条渐近线方程为 ，则实数 ________。 8. 设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ________。 9. 已知向量 ，，若 ，则实数 ________。 10. 已知函数 ，则不等式 的解集为 ________。 11. 若实数 ， 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为 ________。 12. 已知函数 ，若函数 有 个不同的零点，则实数 的取值范围是 ________。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. “”是“”的（　　） A. 充分非必要条件　　　B. 必要非充分条件　　　C. 充要条件　　　D. 既非充分也非必要条件 14. 函数 的图像大致为（　　） A. 过原点，先增后减， 轴为渐近线　　　B. 单调递增 C. 先减后增　　　D. 关于 轴对称 15. 已知函数 ，下列结论正确的是（　　） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间 上单调递增 C. 函数的图像关于直线 对称 D. 将函数图像向左平移 个单位后得到 的图像 16. 已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时，，则方程 在区间 上的实根个数为（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、，且 。 （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值。 18.（14分） 在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ，，， 为 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值。 19.（14分） 某企业为降低碳排放，引进新设备后，其月碳排放量 （吨）与设备运行时间 （月）之间的关系近似满足函数 。 （1）求该设备刚投入使用时（即 ）的月碳排放量； （2）若企业要求月碳排放量不超过 吨，求设备运行时间至少为多少个月。（参考数据：，） 20.（18分） 已知椭圆 （）的离心率为 ，且过点 。 （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 过点 且与椭圆 交于 、 两点，若 （ 为坐标原点），求直线 的方程。 21.（18分） 已知函数 ，其中 。 （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若函数 在 上存在极值，求实数 的取值范围； （3）当 时，证明：对任意 ，都有 。 参考答案与解析 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 【答案】 【解析】 ，与 取交集得 。............（4分） 2. 【答案】 【解析】 由 ，得 ，虚部为 。............（4分） 3. 【答案】 【解析】 幂函数图像过点 ，代入 得 ，故 。............（4分） 4. 【答案】 【解析】 通项公式 。令 ，得 ，系数为 。............（4分） 5. 【答案】 【解析】 ，则 ，又 ，故 。............（4分） 6. 【答案】 【解析】 圆锥侧面积 。............（4分） 7. 【答案】 【解析】 双曲线 的渐近线方程为 ，由题意 。............（5分） 8. 【答案】 【解析】 由等差数列下标和性质，，则 。............（5分） 9. 【答案】 【解析】 。............（5分） 10. 【答案】 【解析】 。因 恒成立，只需解 。............（5分） 11. 【答案】 【解析】 作出可行域，顶点为 、、。代入目标函数 ： 得 ， 得 ， 得 ，最大值为 。............（5分） 12. 【答案】 【解析】 作 图像： 时，，值域为 ； 时，，值域为 。直线 与图像有 个交点时，。............（5分） 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 【答案】 A 【解析】 “”能推出“”，但“”推出“ 或 ”，不能推出“”。故为充分非必要条件，选A。............（4分） 14. 【答案】 A 【解析】 ，。当 时递增，当 时递减，且 ， 时 ，图像过原点、先增后减、 轴为渐近线，选A。............（4分） 15. 【答案】 B 【解析】 ，周期 ，A错误；当 时，，递增，B正确；对称轴为 ， 不是对称轴，C错误；向左平移 得 ，D错误。选B。............（5分） 16. 【答案】 C 【解析】 由 知周期为 ，且为偶函数， 时 。画出图像， 在一个周期内与图像有 个交点（ 和 ），在 上有 个完整周期，共 个交点，选C。............（5分） 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（本题满分14分） （1）解： 由射影定理：。............（2分） 代入已知得 。............（2分） 又 ，故 。............（2分） （2）解： 由余弦定理：。............（2分） 。............（4分） 面积 ，当 时取等号。............（2分） 故 面积的最大值为 。 18.（本题满分14分） （1）证明： 连接 ，交 于 ，连接 。在矩形 中， 为 中点。............（2分） 为 中点，故在 中，。............（2分） 又 平面 ， 平面 ，故 平面 。............（2分） （2）解： 建立空间直角坐标系：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。各点坐标：，，，，，。............（2分） ，。设平面 的法向量为 ，则： 取 ，则 ，，。............（3分） 。............（1分） ............（2分） 故直线 与平面 所成角的正弦值为 。 19.（本题满分14分） （1）解： 当 时， 吨。............（6分） （2）解： 令 。............（2分） 两边取自然对数：。............（2分） 。............（2分） 故设备运行时间至少为 个月（向上取整）。............（2分） 20.（本题满分18分） （1）解： 离心率 ，又 ，故 ，即 。............（2分） 代入点 ：，。............（2分） 椭圆方程为 。 （2）解： 当直线斜率不存在时，，代入 得 ，，不满足。............（3分） 设直线 ，，。联立： ............（4分） 韦达定理：，。............（2分） 。............（2分） 展开：。............（2分） 代入韦达定理： ............（3分） 故直线 的方程为 。 21.（本题满分18分） （1）解： 当 时，，。............（2分） 令 。 当 时，，递减；当 时，，递增。............（2分） 故单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 （2）解： ，令 。............（2分） 令 ，。 在 上递增，在 上递减，，且 （当 ），（当 ）。............（2分） 要使 存在极值，需 。当 时无极值，当 时无交点或相切。............（2分） 故 。 （3）证明： 当 时，，需证 ，即 。............（2分） 令 ，。............（2分） 令 ，显然 为解，且 恒成立，故 为唯一极大值点。............（2分） ，故 ，即 对任意 恒成立。............（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $