2026-2027学年上海市杨浦区高三上学期9月份月考数学预测卷·02

**基本信息** 上海市杨浦区高三上9月数学预测卷（拔高篇），120分钟150分，通过填空、选择、解答题梯度覆盖集合、函数、几何等核心知识，解答题融合实际生产（如成本模型）与数学探究（如椭圆定点问题），凸显数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|集合、抛物线、函数周期等基础知识点|1-6题巩固基础，7-12题融入分层抽样、复数模等能力题| |选择题|4题18分|不等式性质、函数奇偶性、向量数量积推导等|15题考查知识形成过程，16题结合正四棱锥向量数量积，体现空间观念| |解答题|5题78分|立体几何证明、解三角形、统计模型、椭圆综合、函数导数|19题通过成本数据选择二次函数模型并求利润最值，21题函数零点与恒成立问题，考查逻辑推理与创新应用|

上海市杨浦区高三（上）9月份月考数学预测卷·02 拔高篇·沪教版·考试时间120分钟·满分150分 姓名：__________　　班级：__________　　得分：__________ 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合 ，，则 ________。 2. 抛物线 的焦点到准线的距离为 ________。 3. 函数 的最小正周期为 ________。 4. 已知事件 、 互斥，且 ，，则 ________。 5. 已知平面 的一个法向量为 ，点 在平面 内，则点 到平面 的距离为 ________。 6. ________。 7. 某工厂有甲、乙、丙三条生产线生产同一种产品，产量之比为 。现采用分层抽样方法抽取一个容量为 的样本，则乙生产线应抽取 ________ 件产品。 8. 已知向量 ，，则向量 在向量 方向上的投影为 ________。 9. 已知圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，则该圆锥的体积为 ________。 10. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时，，则 ________。 11. 已知复数 满足 ，则 的最小值为 ________。 12. 若数列 满足 ，，则 的整数部分为 ________。 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 若 ，则下列不等式中一定成立的是（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 14. 函数 在其定义域上是（　　） A. 奇函数且单调递增　　　B. 偶函数且单调递增　　　C. 奇函数且单调递减　　　D. 偶函数且单调递减 15. 在推导向量数量积的坐标公式 的过程中，不需要用到的依据是（　　） A. 向量坐标的定义　　　B. 向量数量积的定义　　　C. 向量数量积的交换律　　　D. 向量数量积对加法的分配律 16. 已知正四棱锥的底面边长为 ，侧棱长为 ，从该棱锥的所有棱中任取两条棱作为向量 的起点和终点，若集合 ，则 中元素个数为（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（14分） 在四面体 中，，，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明：直线 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值。 18.（14分） 在 中，角 、、 的对边分别为 、、，已知 。 （1）求角 的大小； （2）若 ，求 的取值范围。 19.（14分） 某工厂生产一种产品，每日产量 （单位：百件）与总成本 （单位：万元）的测试数据如下： 1 2 3 4 5 8 14 22 32 44 为了描述成本 与产量 的关系，现有以下三种模型供选择： ，， （1）选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算参数 、 的值； （2）若该产品售价为 （万元/百件），且每日产量全部售出，求每日利润最大时的产量及最大利润。 20.（18分） 已知椭圆 ，直线 经过椭圆 的右顶点 且与椭圆交于另一点 ，设线段 的中点为 。 （1）求椭圆 的焦距和离心率； （2）若 ，求直线 的方程； （3）过点 再作一条直线与椭圆 交于点 ，线段 的中点为 。若 ，则直线 是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由。 21.（18分） 已知函数 （）。 （1）当 时，判断 的单调性； （2）若函数 在定义域内存在零点，求实数 的取值范围； （3）设函数 ，若对于任意 ，都有 成立，求实数 的最小值。 参考答案与解析 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 【答案】 【解析】 ，与 取交集得 。............（4分） 2. 【答案】 【解析】 抛物线 中 ，焦点到准线的距离为 。............（4分） 3. 【答案】 【解析】 ，最小正周期 。............（4分） 4. 【答案】 【解析】 、 互斥，。............（4分） 5. 【答案】 【解析】 ，。............（4分） 6. 【答案】 【解析】 分子分母同除以 ，原式 。............（4分） 7. 【答案】 【解析】 乙生产线的比例为 ，应抽取 件。............（5分） 8. 【答案】 【解析】 ，，投影为 。............（5分） 9. 【答案】 【解析】 轴截面为等边三角形，边长为4，底面直径 ，高 ，体积 。............（5分） 10. 【答案】 【解析】 为奇函数，。............（5分） 11. 【答案】 【解析】 设 ，由 得 ，平方得 ，故 。............（5分） 12. 【答案】 【解析】 由 ，两边平方得 。累加得 。因 ，故 。令 ，，故 。又由放缩可得 ，故整数部分为 。............（5分） 二、选择题（本大题共4题，13-14每题4分，15-16每题5分，共18分） 13. 【答案】 D 【解析】 由 ，函数 在 上严格递增，故 ，D正确。A中 ；B中 ；C中 。故选D。............（4分） 14. 【答案】 A 【解析】 令 ，，为奇函数；又 ，严格递增。故选A。............（4分） 15. 【答案】 C 【解析】 推导 需要：①坐标定义，②数量积定义，③数乘结合律，④分配律。交换律 在展开过程中并不需要（因为 ）。故选C。............（5分） 16. 【答案】 C 【解析】 建立坐标系：底面中心 ，底面顶点 ，，，，顶点 。取底面棱 。各棱向量与 的数量积可取得 ，共5个元素。故选C。............（5分） 三、解答题（本大题共5题，17-19每题14分，20-21每题18分，共78分） 17.（本题满分14分） （1）证明： 由 ，且 ，由余弦定理得： ，；同理 。 故 、、、 均为等边三角形。............（2分） 点 为 中点，在等边 中，；在等边 中，。............（3分） 又 平面 ， 平面 ，，故 平面 。............（2分） （2）解： 建立坐标系：以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴。............（1分） 由（1）计算得各点坐标：，，，。............（1分） 为 中点，。............（1分） ，。............（1分） ............（2分） 故异面直线 与 所成角的余弦值为 。............（1分） 18.（本题满分14分） （1）解： 由射影定理：。............（2分） 代入已知得 。............（2分） 因 ，，又 ，故 。............（2分） （2）解： 由余弦定理：。............（2分） 。............（1分） 又 ，设 ，则 ，故 ，。............（3分） 又由三角形三边关系：。............（1分） 故 。............（1分） 19.（本题满分14分） （1）解： 计算成本数据相邻增量：，二阶差分恒为2，说明 与 呈二次函数关系。故选择 。............（3分） 代入点 、：，解得 ，，即 。............（3分） （2）解： 每日收入 。............（2分） 每日利润 。............（2分） ，当 时取最大值。............（2分） 最大利润 万元。............（2分） 20.（本题满分18分） （1）解： 椭圆 ，，，，。............（2分） 焦距 。............（1分） 离心率 。............（1分） （2）解： 右顶点 。设 。............（1分） 联立 与 ，消去 得 。............（2分） ，，。............（2分） 由 ，得 ， 方程为 。............（1分） （3）解： 设 ，，。联立 与 ，消去 得 。由韦达定理： ............（3分） 为 中点， 为 中点，由 得： 代入 ，，整理得： 代入韦达定理，通分化简得： 舍去，故 。............（3分） 此时 ，过定点 。............（1分） 斜率不存在时也过该点，故直线 过定点 。............（1分） 21.（本题满分18分） （1）解： 当 时，，。............（2分） 当 时，，递增；当 时，，递减。............（2分） （2）解： 在 上有零点，即 有解，即 有解。............（1分） 令 ，。............（1分） 在 上递增，在 上递减，。............（2分） 又 ，。............（1分） 故 ，即 。............（1分） （3）解： ，故 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立。............（2分） 令 ，则需 。............（1分） ，令 。............（2分） 在 上递增，在 上递减，故 。............（2分） 所以 ，即 的最小值为 。............（1分） 学科网（北京）股份有限公司 $