精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. 若为非零向量，则与同向 D. 在等边三角形中，与的夹角为 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出函数的一个对称轴方程为__________. 13. 化简：__________. 14. 在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求和的值； （2）若，求的值． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点， （1）求证:平面; （2）求证:; （3）若，求三棱锥的体积． 17. 已知为锐角，且. （1）求； （2）求. 18. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 19. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体结构特征直接判断即可. 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意可知，解得. 4. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 5. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式化简，再由诱导公式及图象平移即可得解. 【详解】因为， ， 所以把的图象向右平移个单位长度可以得到的图象， 则的最小值为， 故选：B． 6. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据条件得到，利用数量积的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为， 如图，取中点，又，所以，即， 结合平面向量数量积的几何意义，又，得到， 故选：B. 7. 已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数． 在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意； 故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意； 故的最大值为9． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. 若为非零向量，则与同向 D. 在等边三角形中，与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；举出反例即可判断B；根据的意义即可判断C；根据向量夹角的定义即可判断D. 【详解】对于A，由，得同向且模相等， 由，得同向且模相等， 所以同向且模相等，所以，故A正确； 对于B，若与的夹角为，则，故B错误； 对于C，表示与同向的单位向量，故C正确； 对于D，在等边三角形中，， 则与的夹角为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 【答案】ABC 【解析】 【分析】当时，分别为的中点，所以也是的中点.利用中位线定理及异面直线所成的角的定义求出直线与直线的夹角，判断A；将三棱锥体积表示成的函数，根据二次函数的最值求法求得三棱锥体积的最大值，判断B；当时，易得平面，可判断C正确；当时，求得三棱锥的外接球表面积，判断D. 【详解】对A，因为，所以 当时，分别为的中点，所以也是的中点. 过M作于Q，连接，则，所以. 因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即. 又因为，所以，故A正确. 对B，过M作于Q， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 又， 所以三棱锥体积， 当时，，故B正确. 对C，当时，是的中点，所以也是的中点. 因为是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面，故C正确. 对D，当时，，故Q为的中点， 又N为的中点，所以，， 所以Q到A，B，M，N的距离都为1， 即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出函数的一个对称轴方程为__________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴公式，结合整体代换法计算即可. 【详解】令，解得， 所以函数的对称轴方程为. 13. 化简：__________. 【答案】1 【解析】 【详解】. 14. 在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，确定三棱锥外接球球心位置，再利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】由题意，如图所示，取中点，连接，， 因为与都是边长为的等边三角形，所以，， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以是等边三角形， 所以， 设与的外接圆圆心分别为，， 则，， 同理，， 分别过点，作平面，平面的垂线，则三棱锥的外接球球心一定是两条垂线的交点，记为点， 由对称性，，则， 所以，， 所以三棱锥外接球的表面积为， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求和的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先对两边平方，可得，， 方法一：结合平方和关系式联立方程组，即可求解； 方法二：先求解的值，再联立方程组求解； （2）先求解，再把表示为，最后利用两角和的正切公式即可求解. 【小问1详解】 由，且， 将两边同时平方并整理得：，所以， 故，， 方法一：由， 解得：， 方法二：由题意可得， 于是， 所以， 解得：，. 【小问2详解】 由（1）知，， 可得， 又， 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点， （1）求证:平面; （2）求证:; （3）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：在中，，分别为，的中点， 于是， 由直三棱柱可得：， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：在中，为的中点且， 可得， 由直三棱柱可得，平面， 又平面，， 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （3）当，且，D，E分别为的中点， 所以是边长为1的正三角形， 由直三棱柱可得，平面，即为三棱锥的高 则 【解析】 【分析】（1）依题且即可得从而得证； （2）由直三棱柱性质得到，再由即可得到平面从而得证； （3）求出的面积，然后利用锥体的等体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 17. 已知为锐角，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的基本关系式，求得，进而求得的值； （2）化简得到，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为为锐角，且，可得，所以， 则. 【小问2详解】 . 18. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可； （2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间； （3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； 【小问3详解】 因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 19. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）利用等体积法结合锥体体积公式求解即可； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示： 因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $