精品解析：吉林油田高级中学2025-2026学年高二上学期期初考试数学试卷

吉林油田高级中学2025-2026学年度第一学期期初考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 3. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 经过点，圆心为的圆的方程是（ ） A B. C. D. 5. 已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若直线与直线互相垂直，则实数等于（ ） A. B. C. D. 7. 若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 无法判断 8. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求. 9. 已知，，则直线通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 下列命题正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B. 直线过定点 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆外 D. 若方程表示圆，则正数的取值范围是 11. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上的动点，则（ ） A. 若G为线段AE的中点，则平面 B. 多面体的体积为 C. D. 最小值为44 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______． 13. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度，所得直线与原直线重合，则直线的斜率是_____. 14. 在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列直线方程： （1）已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； （2）求与直线平行且到距离为的直线方程. 16. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）在（1）的条件下，求的取值范围. 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求的长； （2）求证：直线平面. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值； （3）若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田高级中学2025-2026学年度第一学期期初考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率定义得到答案. 【详解】直线的斜率为. 故选：D 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点的坐标，再利用空间中两点间的距离公式即可求解. 【详解】解：因为点是点在坐标平面内的射影 所以 所以 故选：C. 3. 在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量，，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 4. 经过点，圆心为的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求点与圆心的距离即可得圆的半径，再根据圆的标准方程求解即可. 【详解】解：因为所求的圆经过点，且圆心为， 所以，所求圆的半径为， 所以，所求的圆的方程为： 故选：B 5. 已知的顶点分别为，，，则AC边上的高BD等于（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设，先表示的坐标，进而表示的坐标，再根据，求得，进而得到的坐标求解. 【详解】设， 则， ， 因为， 所以，即， 解得， 所以， 所以， 故选：C 6. 若直线与直线互相垂直，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值. 【详解】由已知条件可得，解得. 故选：B. 7. 若平面与的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交不垂直 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面法向量的位置关系，即可判断两平面的位置关系. 【详解】因为，是平面与的法向量， 则，所以两法向量平行，则平面与平行. 故选：A 8. 若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过圆心得到，再结合乘“1”法即可求解. 【详解】由，可得圆心坐标， 因为直线过圆心， 所以，即， 所以 （当且仅当，即）取等号， 所以的最小值为， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求. 9. 已知，，则直线通过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程整理为斜截式，结合其斜截式方程确定直线经过的象限即可. 【详解】可把直线方程化为， 因为，， 其斜率，直线在轴的截距， 由此可知直线通过第一、三、四象限． 故选：ACD. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 直线在轴和轴上的截距相等，则直线的斜率为 B. 直线过定点 C. 若，是方程的两个实根，则点在圆外 D. 若方程表示圆，则正数的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，验证直线满足条件，但斜率不为，即可判断，对于B，将直线方程化为，求直线与直线的交点，由此确定直线所过的定点，判断B，对于C，由根与系数关系可得，，结合关系证明，由此判断C，对于D，结合圆的方程的特征列不等式求正数的范围，判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 所以直线在轴和轴上的截距相等，但直线的斜率为，A错误， 对于B，方程可化为， 由可得， 所以直线过定点，B正确， 对于C，由，是方程的两个实根，可得，， 所以， 所以点在圆内，C错误， 对于D，方程表示圆，则，所以，又， 所以正数的取值范围是，D正确， 故选：BD 11. 如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，，G为线段AE上动点，则（ ） A. 若G为线段AE的中点，则平面 B. 多面体的体积为 C. D. 的最小值为44 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量可判断A,C,D，把多面体分割成两个四棱锥，求出体积可判定B. 【详解】因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，且两个平面的交线为，， 所以平面；以为原点，分别为轴的正方向，建系如图， . 对于A，G为线段AE的中点，，; ，设是平面的一个法向量， 则，，令，则，即. 因为，所以，又平面，所以平面，A正确. 对于C，，因为，所以，C正确. 对于D，设，， ， ， 所以当时，取到最小值44，D正确. 对于B，由正方形的性质可得，由题设条件可知平面， 由可得， 所以四棱锥和四棱锥的高均为. 其体积， 所以多面体的体积为，B不正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两向量垂直则它们的数量积为，列方程求解. 【详解】向量，，， 则，解得. 故答案为：． 13. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度，所得直线与原直线重合，则直线的斜率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】设直线l的方程为，可得到平移后的直线方程为，由题意可得，即可求得答案. 【详解】由题知直线斜率存在，故设直线l的方程为， 则根据平移过程知，平移后的方程为，该直线与原直线重合， 则，则， 故答案为： 14. 在四棱锥中，平面，，，，是四边形内一点，且二面角的平面角的大小为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题设构建合适的空间直角坐标系，由二面角确定点轨迹为平面与平面的交线，与轴交点为，标注出相关点坐标，并求出平面、平面的法向量，应用向量法及面面角大小列方程求参数，最后应用坐标法求向量的模即可得. 【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 因为二面角的平面角大小不变，所以点轨迹为平面与平面的交线， 设点轨迹与轴的交点坐标为，又，， 则，，，且平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，取，得， 设为二面角，即的平面角，则，解得， 所以动点轨迹长度. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求下列直线方程： （1）已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； （2）求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得； （2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得. 【小问1详解】 设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； 【小问2详解】 设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 16. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程. （2）在（1）的条件下，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，由圆心到距离相等及圆心在直线上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程；方法二，由圆心在垂直平分线上及直线上求得圆心坐标，进而求出半径得到方程； （2）方法一，由不等式结合圆的标准方程求解；方法二，设，将问题转化为直线与圆有公共点求解. 【小问1详解】 解法一：设圆心的坐标为.因为圆心在直线上， 所以.① 因为A，B是圆上两点，所以. 根据两点间距离公式，有， 即.②由①②可得，， 所以圆心的坐标是. 圆的半径， 所以，所求圆的标准方程是. 解法二：设线段的中点为.由A，B两点的坐标为，， 可得点的坐标为，直线的斜率为， 因此，线段的垂直平分线的方程是， 即.由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解，解得. 所以圆心的坐标是，圆的半径， 所以，所求圆的标准方程是. 【小问2详解】 解法一：， ， ，即， ， 的取值范围是. 解法二：设，则直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离， 即，， 的取值范围是. 17. 如图，在平行六面体中，，. （1）求的长； （2）求证：直线平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案； （2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 ， 可得 所以； 【小问2详解】 ，，， 所以 ， 所以，所以， ， 所以，所以，又，平面， 所以平面. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明. （3）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 在四棱锥中，底面，底面， 则，由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，设平面的法向量为， 则，令，得，则， 而平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 又，且平面， 所以平面. 【小问3详解】 由（1）知，，且， 设平面的法向量为，则，取，得， ，而，则， 即，则的一个法向量为， 因此，而，则， 所以平面与平面的夹角为. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为（）；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.平面内任一点在面的两侧分别对应和. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，点与点在平面外的同侧，点B在平面内的投影点为，且，点C为平面内任意一点，求的最小值； （3）若平面为，平面与平面的交线为，且平面与平面所成面面角余弦值大小为，求平面的点法式方程. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）会借助公式，从条件中得到直线的方向向量和平面的法向量，即可求解； （2）会利用将军饮马问题的解法，来求对称点坐标，从而计算两点间距离即可； （3）利用方程组求解思想来求法向量，然后通过取一个点来写出平面的点法式方程. 【小问1详解】 由直线的标准式方程为可知，直线的一个方向向量坐标为， 由平面的点法式方程为可知，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以有， 所以，即直线与平面所成角的余弦值为. 【小问2详解】 由平面的点法式方程为可知，平面的法向量为， 设点在平面内的投影点为，易知与共线， 故，又由点在平面上，则满足， 令，则把代入可得： ，解得， 再代入，即可得， 由点A及点B在平面外的同侧，点C为平面内任意一点，要求的最小值， 利用将军饮马问题，可设点关于平面的对称点为， 则为中点，故由中点公式可得， 所以由两点间距离公式可得， 因为，所以， 由几何关系可知 【小问3详解】 由平面为可知，平面的法向量， 由交线方程为可知，的方向向量， 设平面的法向量，则有， 整理得，不妨设，解得或； 故平面的法向量或 又直线在平面内，不妨取其上一点， 若，则平面为； 若，则平面为 综上，平面的点法式方程为： 或 【点睛】关键点点睛：根据题干知识点求相关平面方程及其法向量，结合空间向量的坐标运算求线面角、面面角和距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $