吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学开学考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.复数2=211+0的虚部为() A.-2 B.2 C.-2i D.2i 2.向量a=(m-1,1),b=(2,m),则“m=2”是“a/b”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A若m⊥，n⊥a,则lln B.若⊥B,m⊥B,n寸a,则m//a C.若m⊥B,mCC,则&⊥B D.若mca,nc,/1B,nl∥B,则allB 4.二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示.二进制0112化为十进制的计算公式如下： 0112=0×22+1x2+1×2°=3.若从二进制数0002,0012,0102,1102,1012,1112中任选一个，则二 进制数所对应的十进制数大于3的概率为() A月 C.2 D. 5.已知非零向量m,n满足园=2，风=4，m+=5,则m在n上的投影向量为() 5一 5 5 5- A B. C. D. 16 16 6.已知向量ai,c,满足a+i+c=0,且d=1,=2,d=5,则a与c夹角的余弦值为() A.、 6 6 5 3 5 7.黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游魅力.对于A,B两个 ?5,选择卫景点出游的概率为。，AB两个景点都 2 旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择A景点出游的概率为， 15 不选的概率为 0,则4B两个景点都选的概率为() 2 4 A. B. C. D 15 10 15 15 8。一封闭圆锥容器的轴截面是边长为3的等边三角形，一个半径为√ 的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到 3 的圆锥容器内壁的最大面积为() 1 9 5 A. B.2π C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图(1)形成对称形态，图(2)形成“右拖尾”形态，图 (3)形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是() (1) (2) (3) A.图(1)的平均数=中位数=众数 B.图(2)的众数<平均数<中位数 C.图(2)的众数<中位数<平均数 D.图(3)的中位数<平均数<众数 10.如图，在正四棱柱ABCD-AB,C,D中，底面正方形ABCD边长为√5，AA=3,M为线段BC上的一个动 点，则下列说法中正确的有() D D B A.己知直线I为平面AC,D和平面ABCD的交线，则平面ABBA内存在直线与1平行 B.三棱锥M-A,C,D的体积为定值 C.直线MC与平面ACD所成角最大时，BM:MC=1:3 D.MA+MB的最小值为12+3v3 11.在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且a cos C+√3 asin C=b+2c,a2 sin Bsin C=3,AD为角A 的平分线交BC于D,则() AA=2π 3 B.VABC的面积为2√5 C.AD≤1 D.a≥25 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.) 12.一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为」 13.已知函数f(x)=(m2-3-3)x"是幂函数，则的值为 14.在圆C中，己知弦AB=2,则AB.AC的值为 四、解答题（共5大题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.已知a,b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，且(b+a)(sinB-siA)=c(sinC-siA) (1)求B (2)若b=2,VABC的面积为√3，求VABC的周长. 16.某学校为了解本校历史，物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人 的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： ◆频率/组距 ◆频率/组距 0.045 0.040----- 0.020 0.020 - 0.016 0.010-------- 0.006 0.005 5060708090100分数 5060708090100吩数 甲样本数据直方图 乙样本数据直方图 已知乙样本中数据在70,80)的有10个. (1)求n和乙样本直方图中a的值： (2)试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数 (同一组中的数据用该组区间中点值为代表)： 17.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1,BC=3,PC=CD=2, PC⊥底面ABCD,E为AB的中点. (I)求证：平面PDE⊥平面PAC (Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值. 18.在VABC中，设角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足√3 bsinC+bcosC=a+c. (1)求角B; (2)若b=√5，求VABC面积的最大值： (3)求c-ab-bc的取值范围. B2 19.图所示，在直角梯形BCEF中，BF‖CE,∠BCE=90°，A,D分别是BF,CE上的点，且AD‖BC, ED=2AF=4,CD=t(0<t<5),BC+CD=5,将四边形ADEF沿AD向上翻折，连接BE,BF,CE,，在翻折 的过程中，设∠EDC=(0<<π)，记几何体EFABCD的体积为V. E D (1)求证：BF平面CDE: (2)若平面FBE⊥平面CBE. ①求证：BF⊥平面BCE: ②当取得最大值时，求V的值. 5π BADCC CBA 9AC 10BC 11ACD12413-1或4142 15【1】 因为snA= =2录，snC=8(R为VABC外接圈的半径. 2R,sinB=b 2R 又因为(b+a)(sinB-sinA)=c(sinC-sinA), 所以(b+ b a =c (c 2R 2R 2R2R 即(b+a(b-a)=c(c-a, 所以a2+c2-b2=ac, 由余弦定理得cosB=+C2-b2_1 一三一 2ac 2 因为Be0网，所以B号 【2】 2acsin B-3, 1 因为SABc= 所以ac=4, 因为a2+c2-b2=ac, 所以(a+c)2=3ac+b2=16, 所以a+c=4, 所以VABC的周长为6 16【1】 由直方图可知，乙样本中数据在70,80)的频率为0.020×10=0.20， 则10=0.20，解得n=50: 由乙样本数据直方图可知，(0.006+0.016+0.020+0.040+a)×10=1, 解得a=0.018 【2】 甲样本数据的平均值估计值为 (55×0.005+65×0.010+75×0.020+85×0.045+95×0.020)×10=81.5; 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.006+0.016+0.02)×10=0.42<0.5， 前4组的频率之和为(0.006+0.016+0.02+0.04)×10=0.82>0.5，所以乙样本数据的中位数在第4组. 设中位数为x,（x-80)×0.04+0.42=0.5,解得x=82,所以乙样本数据的中位数为82. 【3】 乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为 0.4 +0.18=0.38, 2 由样本估计总体得300×0.38=114（人）， 故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人. 17:(I)以点C为坐标原点，以直线CD,CB,CP分别为x,y,二轴建立空间直角坐标系C-z,则 C(0,0,0),A(2,1,0),B(0,3,0),P(0,0,2),D(2,0,0),E(1,2,0) .DE=(-1,2,0),CA=(2,1,0),CP=(0,0,2), ∴.DE.CA=(-1,2,0)(21,0)=0,DE.CP=(-1,2,0)小(0,0,2)=0， ∴.DE⊥CA,DE⊥CP, 又CPOCA=C,ACc平面PAC,CPc平面PAC, ∴.DE⊥平面PAC,DEC平面PDE, .平面PDE⊥平面PAC (II)DE=（-1,2,0),PE=(1,2,-2), 设n=（x,y,z)是平面PDE的一个法向量，则iDE=·PE=0, -x+2y=0 .{ x+2y-2z=01 令x=2,则y=1,z=2,即i=(2,1,2), ∴.C=4,=3,C=2, :.cosi,c可）F CP 3 :.直线PC与平面PDE所成角的正弦值为 2 D 18【1】 因为√3 bsin C+bcosC=a+c, 根据正弦定理得：√3 sin BsinC+sin BcosC=inA+sinC, sin A=sin(B+C)=sin B cosC+cos BsinC, 可得√3 sin BsinC+sin BcosC=sin B cos C+cos BsinC+sinC, 即√3 sin BsinC-cos BsinC=sinC, 又因为C∈(0，元)，则sinC≠0， 可得3m-0s聚理可得四-) 且B∈(0，)，则B-∈T5m） 6(66 可得B-又=工，解得B=又 661 3 【2】 1 由余弦定理得：b2=a2+c2-2 ac cos B,即3=a2+c2-2ac× 2 可得a2+c2=3+ac≥2ac,解得ac≤3，当且仅当a=c=√3时，等号成立， 所以VABC的面积为：Sa-acsin B=5bcS3V5 1 -bc≤ 2 44 VABC面积的最大值为3V5 4 【3】 根据正弦定理得：ac-ab-bc_sin Asinc--sin Asin B--sin BsinC sin'B sin Asin(A+B)-2 sindv3. 4 3 sin(4+B) 2 4V5 sin Aco+sincosim -sin A 32 2 4 4 Ic0s24-cosA-3 sin4+ 1 sin 2A- 3 3 令x=A+元，则2A-亚=2x-元 6 6 可羽2君-m2引-w2x3mx1 将原式化为： ac-ab-bc-2(2sinx-1)-2simnx+4sinx2simx b2 3 33 因为A∈0,3 π 则x=A+∈，5 +666 可得sinx∈ 根据二次函数的图像性质得到， 当m=2时，原式取得最小值，c-b-c_4x3-2x3} 3 4 b23气4 4312 当sinx=1时，原式取得最大值， ac-ab-be=4x1:-2x1-1=-1: 6 3 3 故ac-ab-bc 的取值范围为 b2 19【1】 证明：根据题意可知AF‖DE,AB川CD, 因为AFt平面DCE,DEC平面DCE,所以AF∥平面DCE, 同理，因为AB丈平面DCE,DCC平面DCE,所以ABP平面DCE, 又因为AF,AB是平面ABF内的两条相交直线，所以平面ABF∥平面DCE, 因为BFC平面ABF,所以BF‖平面CDE 【2】 D ①证明：过点C作CH⊥EB交EB于点H, 因为平面FBE⊥平面CBE,平面FBEO平面CBE=EB,所以CH⊥平面FBE 又BFC平面FBE,则BF⊥CH: 根据题意平面图形翻折后BC⊥AB,BC⊥AF,且AF,AC是平面AB内两条相交直线， 所以BC⊥平面FAB 又BFC平面FAB,则BF⊥BC 因为CH,BC是平面EBC内两条相交直线，所以BF⊥平面BCE ②法一： E D 直角梯形BCEF中，BF‖CE,∠BCE=90°，且AD‖BC在平面FBE上， 由①可知BC⊥平面FAB.所以AD⊥平面AB, 由(1)可知由题意平面ABF∥平面DCE, 所以E到底面AFB的距离为AD, 在ACDE中，设点E到DC的高EK,即EK⊥CD 因为BC⊥平面CDE,所以BC⊥EK, 因为CDOBC=C,所以EK⊥平面ABCD, 设点E到底面ABCD的高为EK, 在△CDE中，根据三角形的面积公式×4ina=1x2K,:EK=4sina 几何体EFABCD的体积为 v-m-m专46-小na+片分20ax5-小-子s-0小a 5 32 取DE的中点S,连接℃， 因为SF‖BC,SF=BC,所以四边形SFBC是平行四边形，所以SC‖BF,SC=BF, 因为BF⊥平面BCE,所以SC⊥平面BCE,又因为CEC平面BCE,所以SC⊥CE 在aSCD中，SC2=4+t2-4cosa, 在△ECD中，EC2=16+t2-8cosa, t。4 在△SCE中，SC2+EC2=SE2,.20+2-16c0sa=4,化简得到cosa=二+ 63t 因为u∈(0，元)，0<t<5,所以cosa≥2， t4_22 一× 63t3 当且仅当1=2反时等号成立 故当a取得最大值时，即cosa取得最小值2V2 3 sin0u=3 所以几何体体积 ”-子5-smax25-2V片505-40 法二： D 直角梯形BCEF中，BFI‖CE,∠BCE=90°，且AD‖BC在平面FBE上， 由①可知BC⊥平面FAB.所以AD⊥平面FAB, 由(1)可知由题意平面ABF∥平面DCE, 所以点E到底面AFB的距离为AD, 在△CDE中，设点E到DC的高EK,即EK⊥CD 因为BC⊥平面CDE,所以BC⊥EK, 因为CDOBC=C,所以EK⊥平面ABCD, 设点E到底面ABCD的高为EK, 在ACDE中，根据三角形的面积公式×4sina-1xEK,DK=4sina 2 几何体EFABCD的体积为 ”-we-专5-n号2aaw5-小-asm 32 过点D作DC的垂线交直线CE于G,分别以DA,DC,DG为x,y,2轴正方向建立空间直角坐标系， 则D(0,0,0),A(5-t,0,0),C(0,t,0),B(5-t,t,0),E(0,4cosa,4sin),F(5-t,2cos,2sin) BF=(0,2cosa-t,2sina),EF=(5-t,-2cosa-1,-2sina), 设平面FBE的法向量为=(x,y,),