25.3 第5课时 其他问题 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的应用（其他问题），核心知识点包括数字问题（相邻偶数/奇数、两数和与积）和图形问题（圆面积、线段比例等）的设元与列方程。通过“知识链接”回顾连续奇数积、菱形对角线等旧知，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步掌握相关方法。 资料以“自主探究+合作交流”为主线，例题与变式结合，助力学生用数学眼光提取情境中等量关系，通过推理运算（数学思维）列方程，用方程语言表达实际问题（数学语言）。当堂检测与学习小结强化应用，拓展延伸联系黄金分割，激发创新意识，提升解决实际问题能力。

第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第5课时）——其他问题 【学习目标】 ① 掌握数字问题（相邻偶数/奇数、已知两数和与积）的设元与列方程方法； ② 掌握图形问题（圆面积、线段比例、梯形/长方体表面积、三角点阵）中的等量关系，能列出一元二次方程； ③ 会解出方程后结合实际意义（长度、边长、行数为正整数）检验取舍。 【学习重难点】 重点：从各类“其他”情境中提取等量关系，列出一元二次方程。 难点： 图形问题中用含未知数的代数式表示相关量（半径、线段、边长、面积）；三角点阵前 n 项和公式 的运用；结合正整数/非负性检验。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 两个连续奇数的积为 35，设较小的数为 x，则较大的数为________，列方程为________。 2. 一个菱形两条对角线长的和是 10 cm，面积是 12 cm²。设较短的对角线为 x cm，则较长的为________ cm，可列方程为________。 【自主探究】 探究1　数字问题 【例1】两个相邻偶数的积是 168，求这两个偶数。 　　解：设较小的偶数为 x，则另一个偶数为________， 　　根据题意，得 x（x＋2）＝168， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________。∴另一个偶数＝________ 或 ________。 　　答：这两个偶数分别为 ________、________ 或 ________、________。 【变式1】两个数的和为 2，积为 0.96，求这两个数。 　　解：设其中一个数为 x，则另一个数为________， 　　根据题意，得 x（2－x）＝0.96， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________。答：这两个数分别为 ________、________。 探究2　图形问题 【例2】把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径。 　　解：设小圆形场地半径为 x m，则大圆形场地半径为________m， 　　根据题意，得 π（x＋5＝2π， 　　化简得 (x＋5)²＝________，解得 x＝________ 或 x＝________（不合题意，舍去）。 　　答：小圆形场地的半径为（________）m。 【变式2】线段 AB 的长为 1，线段 AB 上的点 C 满足 AC²＝BC·AB，求线段 AC 的长度。 　　解：设 AC＝x，则 BC＝AB－AC＝________， 　　∵ AC²＝BC·AB，∴ x²＝1×(________)， 　　整理得 x²＋x－________＝0， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________（不合题意，舍去）。 　　答：线段 AC 的长度为（________）。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 例A：直角梯形下底比上底长 2 cm，高比上底短 1 cm，面积是 8 cm²。设上底为 x cm，则下底为________cm，高为________cm，列方程________＝8，解得 x＝________ 或 x＝________（舍去），上底________cm、下底________cm。 例B：某银行经过两次降息，一年期存款年利率由 2.25％ 降至 1.44％，平均每次降息的百分率是多少？设百分率为 x，列方程________＝1.44％，解得 x＝________。 　 【当堂检测】 1. 一个直角梯形的下底比上底长 2 cm，高比上底短 1 cm，面积是 8 cm²。求这个梯形的上、下底。 　　（设上底为 x cm，则列方程________＝8） 2. 某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由 2.25％ 降至 1.44％，平均每次降息的百分率是多少？ 　　（设平均每次降息的百分率为 x，列方程________＝1.44％） 3. 一个长方体的长与宽的比为 5∶2，高为 5 cm，表面积为 40 cm²。求这个长方体的宽。 　　（设宽为 2x cm、长为 5x cm，列方程________＝40，解得 x＝________ 或 x＝________（舍去）） 4. 如图三角点阵，第 n 行有 n 个点。 　　(1) 你能发现 300 是前多少行的点数和吗？（列方程________＝300） 　　(2) 前 n 行的点数和能是 600 吗？若能求出 n；若不能，用一元二次方程说明理由。 【学习小结】 1. 数字问题：相邻偶数/奇数可设为 x 与________；已知两数之和与积时，可设一数为 x、另一数为________。 2. 图形问题关键是用含________的代数式表示相关量，再利用面积/长度公式列方程。 3. 三角点阵前 n 行点数和＝________（即 ），解出后需结合________（如行数为正整数）检验。 【拓展延伸】 思考：变式2 中 AC²＝BC·AB 是“黄金分割”的雏形，你能求出 AC/AB 的比值吗？这个值与黄金分割数有何关系？ 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. x＋2；x（x＋2）＝35。 2. 10－x；x（10－x）＝12。 二、自主探究 探究1 例1：另一偶数为 x＋2；x（x＋2）＝168；x₁＝12，x₂＝－14，另一偶数＝14 或 －12。答：12、14 或 －14、－12。 　　 变式1：另一数为 2－x；x（2－x）＝0.96；x₁＝1.2，x₂＝0.8。答：0.8、1.2。 探究2 例2：大圆半径 x＋5；π（x＋5＝2π；化简得 (x＋5)²＝2；x＝5＋5 或 5－5（舍）。答半径（5＋5√2）m。 　　 变式2：BC＝1－x；x²＝1×(1－x)；整理 x²＋x－1＝0；x₁＝，x₂＝（舍）。答 AC＝（(√5－1)/2）。 三、合作交流 例A：下底 x＋2，高 x－1；（2x＋2）（x－1）＝8（即 (x＋1)(x－1)＝8）；x＝3 或 －3（舍）；上底 3 cm、下底 5 cm。 例B：2.25%（1－x＝1.44%；x＝0.2＝20％。 四、当堂检测 1. （2x＋2）（x－1）＝8 ⇒ (x＋1)(x－1)＝8 ⇒ x²＝9 ⇒ x＝3（舍 －3）；上底 3 cm、下底 5 cm。 2. 2.25%（1－x＝1.44% ⇒ x＝0.2＝20％。 3. 表面积 2（5x·2x＋5×5x＋5×2x）＝40 ⇒ 2x²＋7x－4＝0 ⇒ x＝1/2 或 －4（舍）；宽＝2x＝1 cm。 4. (1) 前 n 行和 n（n＋1）＝300 ⇒ n²＋n－600＝0 ⇒ n＝24（舍 －25）；前 24 行。 　 (2) 若 n（n＋1）＝600 ⇒ n²＋n－1200＝0，此方程无正整数解，∴前 n 行点数和不可能为 600。 五、学习小结 1. x＋2；2－x（或和减去 x 的数）。 2. 未知数（或所设字母）。 3. （即 n(n＋1)/2）；实际意义（正整数）。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $