25.3 第3课时 销售问题 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的销售问题应用，通过“知识链接”回顾利润公式作为旧知支架，引导学生理解涨价或降价时单件利润与销售量的变化关系，建立“(原利润±变化量)(原销量∓变化量)=总利润”的方程模型。 资料以分层探究和合作交流为特色，例与变式结合帮助学生掌握数量关系转化，通过实际条件检验根培养推理能力，体现数学思维，用方程模型解决销售问题强化模型意识，符合数学语言表达现实世界的要求，提升应用能力。

第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第3课时）——销售问题 【学习目标】 ① 理解销售（营销）问题的基本数量关系：单件利润＝售价－进价，总利润＝单件利润×销售量； ② 会根据“涨价/降价”对单件利润与销售量的影响列出一元二次方程并求解，能结合实际条件（让顾客实惠、减少库存、限价、盈利下限）对根进行检验取舍； ③ 体会“设涨价(降价)为 x，用(原单件利润±变化量)×(原销量∓变化量)＝总利润”的建模方法。 【学习重难点】 重点：根据销售问题中的数量关系列出一元二次方程。 难点：正确表示“降价/涨价后”的单件利润与销售量（含“每降 a 元多售 b 件”的比例关系、一次函数型销量）；解出根后结合限价、盈利下限、库存等条件检验取舍。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 利润＝________－________。 2. 总利润＝________×________。 3. (1) 某商品进价 300 元，售价 500 元，则单件利润为________元； 　　(2) 某商品利润为 3 元/件，销售量为 100 件，则总利润为________元。 【自主探究】 探究1　直接给出单件利润，求涨价或降价（知识点1） 【例1】某商店购进一批口罩，若按每个盈利 1 元销售，每天可售 200 个；若每个售价上涨 1 元，则销售量减少 20 个。问应将每个口罩涨价多少元时，让顾客得到实惠且每天利润为 480 元？ 　　解：设应将每个口罩涨价 x 元，则单件利润＝1＋________，每天销售量＝200－________， 　　根据题意，得 （1＋x）（200－20x）＝480， 　　整理，得 x²－9x＋14＝0，解得 x₁＝________，x₂＝________。 　　∵要让顾客得到实惠（涨价尽量少），∴x＝________。答：应涨价________元。 【变式1】某商店“冰墩墩”平均每天售 20 个，每个盈利 40 元；每降价 2 元，每天可多售 10 个。若每天要盈利 1440 元，则每个应降价多少元？ 　　解：设每个应降价 x 元，则每天多售 (x÷2)×10＝________个，销售量＝20＋________， 　　根据题意，得 （40－x）（20＋5x）＝1440， 　　整理，得 x²－36x＋128＝0，解得 x₁＝________，x₂＝________（不合题意，舍去）。答：应降价________元。 探究2　间接给出单件利润，求涨价或降价（知识点2） 【例2】某超市“玫瑰香”单价 8 元时每周售 400 kg，每上涨 1 元每周销量减少 20 kg；进价 6 元/kg，物价部门规定单价不超过 15 元。若每周获利 2240 元，则销售单价应上涨多少元？应定为多少元？ 　　解：设销售单价应上涨 y 元，则单件利润＝8－6＋________＝________，每天销售量＝400－________， 　　根据题意，得 （2＋y）（400－20y）＝2240， 　　整理，得 y²－18y＋72＝0，解得 y₁＝________，y₂＝________。 　　∵单价不超过 15 元，即 8＋y≤15 ⇒ y≤________，∴y＝________符合题意。 　　定价＝8＋________＝________（元）。答：应上涨________元，定价________元。 【变式2】新华商场销售进货价 40 元的商品，单价 80 元时每天售 20 件；在每件盈利不少于 25 元前提下，每降价 3 元每天多售 6 件。 　　(1) 若降价 2 元，则平均每天销售数量＝20＋(2÷3)×6＝________件； 　　(2) 当每件定价多少时，平均每天利润达到 1200 元？ 　　解：设每件降价 x 元，则每天销售 (20＋________) 件，单件利润＝80－40－________＝________， 　　根据题意，得 （40－x）（20＋2x）＝1200， 　　整理，得 x²－30x＋200＝0，解得 x₁＝________，x₂＝________。 　　当 x＝________时，单件利润＝40－________＝________＜25，舍去；∴定价＝80－________＝________（元）。答：定价________元。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 例A：某商品进价 30 元、售价 40 元，每天售 48 件；每降价 1 元每天多售 8 件。若要每天获利 504 元且尽快减少库存，每件应降价多少元？ 　　解：设降价 m 元，则 (40－30－m)(48＋________)＝________，解得 m＝________ 或 m＝________；为减少库存取 m＝________。 例B：某纪念册进价 20 元，售价 x 元（20≤x≤28），销量 y＝－2x＋80。若每周利润 150 元，求售价。 　　解：单件利润＝________－20，销量＝________；列方程 (x－20)(－2x＋80)＝________，解得 x＝________ 或 x＝________（舍去）。 　 【当堂检测】 1. 某商场一种商品进价 30 元、售价 40 元，每天售 48 件，为减少库存决定降价促销。 　　(1) 若该商品连续两次下调相同百分率后售价降至 32.4 元，求每次下降的百分率； 　　(2) 若每降价 1 元每天可多售 8 件，每天要想获得 504 元利润，每件应降价多少元？ 2. 某文具店购进纪念册，每本进价 20 元，售价不低于 20 且不高于 28 元；销售量 y(本)与售价 x(元)满足一次函数：x＝22 时 y＝36，x＝24 时 y＝32。 　　(1) 请写出 y 与 x 的函数关系式：________； 　　(2) 当每周销售利润达到 150 元时，每本纪念册的售价是多少元？ 【学习小结】 1. 营销问题基本公式：单件利润×________＝________。 2. 通常设涨价(或降价)为 x 元，则总利润＝(原单件利润________变化量)×(原销量________变化量)。 3. 解出方程后需结合________（如限价、盈利下限、减少库存）对根进行检验取舍。 【拓展延伸】 思考：当销售量 y 与售价 x 成一次函数关系时，总利润如何用 x 的二次式表示？以检测第 2 题为例，写出利润关于售价 x 的函数，并说明售价定为多少时利润最大。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. 售价；成本。 2. 单件利润；销售量。 3. (1) 200；(2) 300。 二、自主探究 探究1 例1：单件利润＝1＋x，销量＝200－20x；（1＋x）（200－20x）＝480；x₁＝2，x₂＝7；取 x＝2（实惠）。答涨价 2 元。 　　 变式1：多售 5x 个，销量＝20＋5x；（40－x）（20＋5x）＝1440；x₁＝4，x₂＝32（舍）。答降价 4 元。 探究2 例2：单件利润＝8－6＋y＝2＋y，销量＝400－20y；（2＋y）（400－20y）＝2240；y₁＝12，y₂＝6；由 8＋y≤15 得 y≤7，取 y＝6；定价＝8＋6＝14 元。答上涨 6 元，定价 14 元。 　　 变式2：(1) 销量＝20＋(2÷3)×6＝24 件； 　　　　 (2) 销量＝20＋2x，单件利润＝40－x；（40－x）（20＋2x）＝1200；x₁＝10，x₂＝20；x＝20 时 40－20＝20＜25 舍去；定价＝80－10＝70 元。 三、合作交流 例A：（10－m）（48＋8m）＝504；解得 m＝1 或 3；减少库存取 m＝3。答降价 3 元。 例B：单件利润＝x－20，销量＝－2x＋80；（x－20）（－2x＋80）＝150；x＝25 或 35（＞28 舍去）。答售价 25 元。 四、当堂检测 1. (1) 设每次下降百分率为 x，40（1－x＝32.4 ⇒ x₁＝0.1＝10％，x₂＝1.9（舍）；每次下降 10％。 　 (2) 设降价 m 元，（10－m）（48＋8m）＝504 ⇒ m＝1 或 3；为减少库存取 m＝3。答降价 3 元。 2. (1) y＝－2x＋80（20≤x≤28）。 　 (2) 单件利润＝x－20，销量＝－2x＋80；（x－20）（－2x＋80）＝150 ⇒ x²－60x＋875＝0 ⇒ x₁＝25，x₂＝35（＞28 舍）；售价 25 元。 五、学习小结 1. 销售量；总利润。 2. ±（或 加 / 减）；∓（或 减 / 加）。 3. 实际条件（或实际意义）。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $