精品解析：黑龙江省大庆第一中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

2023-2024学年黑龙江省大庆一中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列图像中，表示y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，“在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数”，据此可得答案． 【详解】解：根据函数的定义可知，图①，图②中，y是x的函数，图③和图④中y不是x的函数， 故选：B． 2. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. 到角两边距离相等的点都在这个角的平分线上 C. 三角形的一个外角等于两个内角的和 D. 有两个锐角互余的三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 等腰三角形只有顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合，并非所有高、中线、角平分线都重合， ∴ A错误. ∵ 到角两边距离相等的点必须在角的内部才在角的平分线上，选项未限定内部， ∴ B错误. ∵ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，而非任意两个内角的和， ∴ C错误. ∵ 三角形有两个锐角互余，即两锐角之和为， ∴ 第三角为，为直角三角形， ∴ D正确． 3. 已知，下列关系式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】A．若，即有，故本选项错误； B．若，即有，则，故本选项错误； C．若，则，故本选项错误； D．若，则，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是不等式的性质，熟记不等式的性质内容是解此题的关键．属于基础题目，比较容易判断． 4. 已知，点与点关于x轴对称，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于x轴的对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，求得，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标对称点的特性，代数式求值，解题关键是熟记关于x轴的对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 5. 已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11或15 【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求、的值，再根据、分别作为等腰三角形的腰，分类求解． 【详解】解：，，， ，， 解得：，， 当作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为：， 当作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求、的值，再根据或作为腰，分类求解． 6. 一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 6 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和平均数，熟练掌握中位数定义，是解题的关键．数据中有两个3，无论x为何值，排序后中位数恒为3，因此只需令平均数等于3，解方程即可． 【详解】解：∵数据中有两个3， ∴无论x为何值，排序后中位数恒为3， ∵平均数与中位数相同， ∴平均数为3， ∴， 解得：. 故选：A． 7. 甲、乙两人同时求关于，的方程的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解求参数，加减消元法、代入消元法解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 把代入方程，把代入方程，结合两式解二元一次方程组即可． 【详解】解：把代入方程得：①， 把代入方程得：②， ①﹣②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ，． 故选：． 8. 直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数与不等式的关系得到的解集即为不等式的解集，利用一次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵直线， ∴， ∴不等式即为， ∴的解集即为不等式的解集， ∵直线交坐标轴于、两点，且， ∴y随x的增大而增大，时， ∴当时，， ∴不等式的解集为， 故选：A． 【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，正确理解一元一次不等式与一次函数的关系是解题的关键． 9. 如图，在四边形中，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，垂直平分线的判定和性质，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． 连接交于点O，由题意可证垂直平分，，是等边三角形，是等腰三角形，作差计算即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵ ∴垂直平分，是等边三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，是等腰三角形， ∴，， ∴． 故选C． 10. 如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接．根据三角形外角的性质，得：．由角平分线的性质及三角形内角和定理得．由折叠的性质得．进而可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． 平分，平分， ，． ． ． 是由沿折叠得到． ． ，， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义、图形折叠的性质，三角形外角的性质是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 函数中自变量的取值范围是__________. 【答案】且 【解析】 【详解】根据题意得： 解得：且. 故答案为且. 【点睛】二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于零. 12. 在正比例函数中，若y随x的增大而减小，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数定义可得，再根据正比例函数的性质可得，再求解． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质和定义，熟记基础知识点是解题的关键． 13. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 【答案】25或7##7或25 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：①当两边长3和4是直角边时，则第三边的平方是， ②当是斜边时，则第三边的平方是． 故答案为：25或7． 14. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为____________． 【答案】y=2x-1 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减进行解答即可． 【详解】解：直线向右平移2个单位得， 将再向上平移3个单位后得， 即解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数图象的平移，解题关键是掌握平移的规律． 15. 如图，在中，，平分，，，则的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线到角两边的距离相等是解题的关键． 首先根据角平分线到角两边的距离相等构造辅助线，即可求得的高线，进而求得的面积． 【详解】解：如图，过点D作， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴的面积为18， 故答案为：18． 16. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为．在容器外壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理是解题的关键． 根据题意得到圆柱体的侧面展开图，确定A，B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱体侧面展开图如下： 由题意知：， 过点A作， ∴， ∴， ∵底面周长为， ∴， 在中，，得：， ∴， ∴， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为． 故答案为：15． 17. 关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有三个整数解求出a的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确求出两个不等式的解集是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），C为x轴上的一个动点，以BC为一边作等腰Rt△BCD，使得∠BCD＝90°，CB＝CD，连接AD，则AD＋BD的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作DE⊥x轴于E，截取BO＝CF＝2，连接DF，作点A关于直线DF的对称点A'，连接A'B交直线DF于点D'，由“AAS”可证△BCO≌△EDE，可得OC＝DE，CE＝BO＝2，可求DE＝EF，可得点D在过点（2，0），且与x轴所成的锐角为45°的直线上运动，则可得A'B的长是AD＋BD的最小值，由两点距离公式可求解． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，截取BO＝CF＝2，连接DF，作点A关于直线DF的对称点A'，连接A'B交直线DF于点D'， ∵∠BCD＝90°， ∴∠BCO＋∠DCE＝90°， 又∵∠BCO＋∠OBC＝90°， ∴∠DCE＝∠OBC， 在△BCO和△CDE中， ， ∴△BCO≌△EDE（AAS）， ∴OC＝DE，CE＝BO＝2， ∵OF＝BO＝2， ∴OF＝CE， ∴EF＝OC＝DE， 又∵DE⊥EF， ∴∠DFE＝45°， ∴点D在过点（2，0），且与x轴所成的锐角为45°的直线上运动， ∵点A关于直线DF的对称点A'， ∴A'B的长是AD＋BD的最小值， ∵点A（﹣1，0）， ∴点A'（2，﹣3）， 又∵点B（0，2）， ∴A'B＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形和确定点D的运动轨迹是本题的关键． 三、解答题（8小题，共计66分） 19. 计算题： （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的步骤，进行计算即可； （2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【小问1详解】 解：， 由①得，③， 由②得，④， 得，， 解得， 将代入④得，， 解得， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为． 20. 已知关于的方程的解为负数，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先求出方程的解，然后令其小于0，计算求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得，， 移项合并得，， 系数化为1得：， ∵， 解得， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了解一元一次方程与解一元一次不等式．解题的关键在于正确的计算． 21. 如图，在中，，，延长至，使得，连接，若，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；熟练掌握垂直平分线性质以及勾股定理的应用是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质推出，得到，由勾股定理求出，因此，即可求出△ABE的面积． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积． 22. 某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示． （1）当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式； （2）若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：由图象得出租车的起步价是元． 当时，设y与x之间的函数关系式为， 由函数图象过点， 得解得 故当行驶里程超过时，y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， 令，即，解得． 答：这位乘客乘车的里程是． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键． 23. 为了解某校九年级学生理化实验操作情况，随机调查了部分学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为 ，图①中的值为 ； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1） （2）平均数分，众数9分，中位数8分 【解析】 【分析】本题考查从条形统计图与扇形统计图获取信息，求样本的容量，平均数、众数和中位数，掌握从条形统计图与扇形统计图获取信息方法，求样本的容量方法，平均数、众数和中位数定义是解题关键． （1）根据扇形统计图和条形统计图中9分的数据，可以求得本次接受调查的学生人数，即可得的值； （2）根据条形统计图中的数据，可以得到这40个样本数据平均数、众数、中位数． 【小问1详解】 解：（人）， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（分）， 这组学生实验操作得分数据的平均数为分； 在这组数据中，9分出现了12次， ∴这组学生实验操作得分数据的众数是9分； 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的两个数都是8分， ∴中位数是（分）， ∴这组学生实验操作得分数据的中位数是8分； 综上所述，这组学生实验操作得分数据的平均数为分、众数为9分，中位数为8分． 24. 如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O． （1）求证：； （2）求． 【答案】（1） 证明：、是等边三角形， ∴，，， ， ∴， ； （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，得； （2）结合（1）可得，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 25. 福鼎市某商店准备购进两种商品，种商品每件进价20元，种商品每件进价15元．将种商品的每件售价定为65元，种商品的每件售价定为45元． （1）商店计划用不超过700元的资金购进两种商品共40件，请问：种商品的进货数量不超过多少件？ （2）“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件种商品的售价优惠（）元，但种商品售价不变；已知种商品的进货数量不低于16件，在（1）的条件下，求销售这40件商品商店获得利润最大时的进货方案． 【答案】（1）种商品的进货数量不超过20件 （2）当时，购买20件，购买20件；当时，购买件（，且为整数），购买件；当时，购买16件，购买24件，利润最大． 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用问题，解答本题的关键是读懂题意，找到合适的等量关系和不等关系，列不等式组或函数关系式求解． （1）根据题意，列不等式，解答即可； （2）根据一次函数的增减性求最值． 【小问1详解】 解：设种商品的数量件，种商品的数量件， 由题意得，， 解得，且为非负整数． 答：种商品的进货数量不超过20件； 【小问2详解】 解：由题意得，所获利润， ． ①当时，， 随着的增大而增大， ， 当，即购买20件，购买20件时，利润最大， 元； ②当时，， 此时与的值无关，即（1）问中所有进货方案获利相同； ③当时，， 随着的增大而减小， ，且x为整数 当，即购买16件，购买24件时，利润最大， 元； 答：当时，购买20件，购买20件； 当时，购买件（，且为整数），购买件； 当时，购买16件，购买24件，利润最大． 26. 如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）设一次函数表达式为，将点、的坐标代入，求出、的值，即可得答案； （2）由为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出即可； （3）分和两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的表达式为， ∵直线与轴、轴分别交于、， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵、， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵为等腰直角三角形，， ∴． 【小问3详解】 解：①如图，，点在下方时，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 同理：点在上方时，，， ∴， ∴点的坐标为； ②当时，如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定及性质等，熟练掌握一次函数的图像及性质、注意分类求解，避免遗漏是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年黑龙江省大庆一中九年级（上）开学数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列图像中，表示y是x的函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合 B. 到角两边距离相等的点都在这个角的平分线上 C. 三角形的一个外角等于两个内角的和 D. 有两个锐角互余的三角形是直角三角形 3. 已知，下列关系式中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，点与点关于x轴对称，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. D. 5. 已知等腰三角形的两边长分别是，，若，满足，那么它的周长是（　　） A. 11 B. 13 C. 11或13 D. 11或15 6. 一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 6 D. 11 7. 甲、乙两人同时求关于，的方程的整数解，甲正确地求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则，的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，点E在上，连接，相交于点F，．若，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，将纸片沿折叠使点A落在点处，且平分，若，则的大小为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计24分） 11. 函数中自变量的取值范围是__________. 12. 在正比例函数中，若y随x的增大而减小，则________． 13. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的平方是______． 14. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为____________． 15. 如图，在中，，平分，，，则的面积为________． 16. 如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为．在容器外壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面容器外壁距上底的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为___________． 17. 关于的不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围为________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（0，2），C为x轴上的一个动点，以BC为一边作等腰Rt△BCD，使得∠BCD＝90°，CB＝CD，连接AD，则AD＋BD的最小值为_____． 三、解答题（8小题，共计66分） 19. 计算题： （1）解方程组：； （2）解不等式组：． 20. 已知关于的方程的解为负数，求的取值范围． 21. 如图，在中，，，延长至，使得，连接，若，，求的面积． 22. 某市出租车计费方法为：当行驶里程不超过时，计价器保持在元；当行驶里程超过时，计价器开始变化，行驶里程x（）与车费y（元）之间的关系如图所示． （1）当行驶里程超过时，求y与x之间的函数关系式； （2）若某乘客有一次乘出租车的车费为元，求这位乘客乘车的里程． 23. 为了解某校九年级学生理化实验操作情况，随机调查了部分学生的实验操作得分（满分为10分），根据获取的样本数据，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生人数为 ，图①中的值为 ； （2）求统计的这组学生实验操作得分数据的平均数、众数和中位数． 24. 如图，C为线段上一动点（点C不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O． （1）求证：； （2）求． 25. 福鼎市某商店准备购进两种商品，种商品每件进价20元，种商品每件进价15元．将种商品的每件售价定为65元，种商品的每件售价定为45元． （1）商店计划用不超过700元的资金购进两种商品共40件，请问：种商品的进货数量不超过多少件？ （2）“五一”期间，商店决定开展优惠活动，准备对每件种商品的售价优惠（）元，但种商品售价不变；已知种商品的进货数量不低于16件，在（1）的条件下，求销售这40件商品商店获得利润最大时的进货方案． 26. 如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求直线的表达式； （2）求的面积； （3）点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $