2.3.3 二次根式 课件 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

该初中数学课件聚焦二次根式的混合运算，通过对比二次根式乘除与加减的运算规则，关联整式运算中的单项式与多项式乘除法则，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解运算顺序与法则。 其亮点在于采用多解法对比、变式训练和实际应用问题，如梯形周长面积计算、矩形展示墙涂漆问题，培养学生运算能力、推理意识和应用意识。通过归纳总结分母有理化方法和运算注意事项，学生能提升技能与解决问题能力，教师可高效开展教学。

2.3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 1. 掌握二次根式的混合运算法则. 2. 熟练进行二次根式混合运算. 3. 掌握二次根式分母有理化的方法，并能熟练运用其方法化简二次根式. 运算 二次根式的乘除 二次根式的加减 系数 被开方数 化简 二次根式的乘除与二次根式的加减的对比 系数相乘除 系数相加减 被开方数相乘除 被开方数不变 结果化为最简 二次根式 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 二次根式的混合运算有什么运算规则？ 思考 (1)请你计算： ， . (2)小明是这样计算 的： 分子、分母同乘 的目的是什么？ 将分母化为有理数. （3）计算 ，你有哪些方法？ 方法一： 原式 = = = 方法二： 原式 = = = 变式 我们已经知道 ，因此将 的分子、分母同时乘“ ”，分母就变成了4.请仿照这种方法化简： ， . 解： ； . 归纳总结 分母有理化的方法: 1.分母为单项式时，给分子分母同乘分母后化简即可； 2.分母为多项式时，可以利用平方差公式进行分母有理化. (a、b不为0，且a≠b) (a、b不为0，且a≠b) 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a + b + c) = ma + mb + mc； (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb (ma + mb + mc)÷m = a + b + c 若把字母 a，b，c，m ，n都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，同学们发现了什么？ 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 计算： (1) ； (2) ； 解：(1) ； (2) ； 计算： (3) ； 解：原式 . 你还有 其他解法吗? 解法二： 原式 = = = = = (3) ； 解法三： 原式 = = = = = 解法四： 原式 = = = = 计算： (4) ； 解：原式 ； 如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化. 还可以继续化简吗？ 变式 计算： 解：原式 = = = 3 + 5 = 8 . 尝试·思考 化简 ，其中 a = 28，b = 7. 你是怎么做的？ 解法二：先化简再代入 原式 = = 把 a = 28，b = 7代入代数式中， 原式 = 解法一：先代入再化简 把 a = 28，b = 7 代入代数式中， 原式 = = = = 哪种方式更简便？ 解二次根式化简求值题目时，直接代入求值往往很麻烦，一般应先化简所求式子，再用代入数字求值. 归纳总结 进行二次根式的混合运算时要注意以下几点: （1）运算顺序； （2）运算法则； （3）运算律与乘法公式的灵活运用； （4）最后结果要化到最简． 已知 ，求 解：因为 ， 变式 ， 所以 ， . 所以 思考·交流 如图，方格纸中小方格的边长均为 1. (1)求梯形 ABCD 的周长. D C B A 解：因为小正方形的边长为1， 所以 AD = 6 ， AB = ， BC = ， CD = . 所以C梯形ABCD = . 思考·交流 如图，方格纸中小方格的边长均为 1. (2)求梯形 ABCD 的面积.你有哪些求解方法？ D C B A D C B A 方法1：分割法 可把梯形 ABCD 分割成一个三角形和一个平行四边形，如图所示. S梯形ABCD = S1 + S2 = ×6×4 + 6×1 = 12 + 6 = 18. S1 S2 方法2：补图法 通过补图，可把梯形 ABCD 变成一个长方形，如图所示. S梯形ABCD = S长方形AEFG ﹣ S1﹣S2 ﹣ S3 = = = 18. D C B A S1 S2 S3 E F G 方法3：公式法 连接 DE， 因为DE2 =32 +32=18， AE2 = 32 +32 = 18， AD2 =62=36， 所以，DE2 + AE2 =AD2. 所以，△ADE 为直角三角形，即 DE⊥AB. D C B A E S梯形ABCD = 1.下列计算中正确的是( ) B 3.设 则a b(填“>”“ < ”或“= ”). = 2. 10 4.已知 试求 x2+2xy+y2 的值. 解： 因为 x2+2xy+y2=(x+y)2， 所以把 代入上式得， 原式= . 5.某文化公园内有一面矩形艺术作品展示墙，如图，矩形艺术作品展示墙的长AD= m，宽AB= m，现要在艺术作品展示墙中绘出一幅矩形的“丝绸之路”图画(即图中阴影部分)，矩形图画的长为( +1)m，宽为( ﹣1)m，除去图画部分，其余部分都要涂上彩色的油漆． (1)求矩形艺术作品展示墙ABCD的周长(结果化为最简二次根式)； 解：矩形ABCD的周长为2(AD＋AB)＝2×( ) ＝2×( )＝2×12 ＝24 (m)； 5.某文化公园内有一面矩形艺术作品展示墙，如图，矩形艺术作品展示墙的长AD= m，宽AB= m，现要在艺术作品展示墙中绘出一幅矩形的“丝绸之路”图画(即图中阴影部分)，矩形图画的长为( +1)m，宽为( ﹣1)m，除去图画部分，其余部分都要涂上彩色的油漆． (2)若一桶彩色油漆可以涂15.5m2的展示墙，那么除去图画部分，涂满其余部分需要多少桶彩色油漆？ 解：涂满其余部分需要彩色油漆的桶数为 [( )﹣( +1)( ﹣1)]÷15.5＝[(7 ×5 )﹣(75﹣1)]÷15.5 ＝(105﹣74)÷15.5 = 2． 加、减、乘、除、乘方（或开方）. 1. 运算结果一定要化成最简形式. 2. 化简求值时，一般应先化简所求式子，再代入数字求值. 种类 注意 1.先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的； 2.有理数的运算律、多项式乘法法则、除法法则仍然适用. 顺序 与法则 二次根式 的混合运算 $