2.3.3二次根式的四则运算（课件）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦二次根式的四则运算，涵盖运算法则、混合运算顺序、常用公式及最简结果要求。通过“$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{6}}{2}$”等问题导入，结合小明解题过程引出分母有理化，衔接前期化简知识，搭建从基础到混合运算的学习支架。 其特色在于分知识点设计例题与提优题，如分母有理化提供三种方法，结合梯形周长面积等实际问题。通过运算步骤规范和易错总结，培养学生运算能力与推理意识，帮助学生掌握技能，教师可利用分层练习提升教学效率。

北师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月29日 2.3.3二次根式的四则运算 第二章 实数 北师大版八年级上册2.3.3 二次根式的四则运算 练习题 【核心知识点回顾】 1. 运算法则汇总：乘法$$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)$$；除法$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b>0)$$；加减先化简、再合并同类二次根式。 2. 混合运算顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内；能运用乘法交换律、结合律、分配律简便运算。整式的平方差、完全平方公式在二次根式运算中完全适用。 3. 常用公式：平方差$$(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b$$；完全平方$$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2=a+b\pm2\sqrt{ab}$$。 4. 运算要求：所有计算结果必须化为最简二次根式，分母不含根式。 ### 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列计算正确的是（） A. $$\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{5}$$ B. $$\sqrt{8}\div\sqrt{2}=2$$ C. $$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{10}$$ D. $$3\sqrt{2}-\sqrt{2}=3$$ 2. 计算$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$的结果是（） A. 1 B. -1 C. 7 D. $$4-2\sqrt{3}$$ 3. $$\sqrt{12}\times\sqrt{3}+\sqrt{18}\div\sqrt{2}$$的结果为（） A. 9 B. 15 C. $$6+3\sqrt{2}$$ D. $$9\sqrt{3}$$ 4. 化简$$(\sqrt{5}-1)^2$$的结果是（） A. $$6-2\sqrt{5}$$ B. 4 C. $$5-2\sqrt{5}$$ D. 6 5. 二次根式四则运算最终结果必须是（） A. 整数 B. 小数 C. 最简二次根式 D. 带根号式子即可 ### 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 二次根式混合运算顺序是先________，后________。 2. 计算：$$\sqrt{6}\times\sqrt{24}=$$________。 3. 计算：$$\sqrt{54}\div\sqrt{6}=$$________。 4. $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=$$________。 5. $$3\sqrt{12}-2\sqrt{3}=$$________。 ### 三、解答题（共60分） 1.（20分）基础四则运算：（1）$$\sqrt{27}\times\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{12}\div\sqrt{4}$$ （2）$$\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}$$ 2.（20分）乘法公式简便运算：（1）$$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$$ （2）$$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$$ 3.（20分）综合混合运算：$$\sqrt{48}\div\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{2}}\times\sqrt{18}-\sqrt{25}$$ ### 参考答案与解析 选择题答案：1.B 2.A 3.A 4.A 5.C 填空题答案：1.乘除、加减 2.12 3.3 4.$$5+2\sqrt{6}$$ 5.$$4\sqrt{3}$$ 解答题解析 1. 解：（1）原式$$=\sqrt{9}+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$$；（2）原式$$=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$。 2. 解：（1）原式$$=3^2-(\sqrt{5})^2=9-5=4$$；（2）原式$$=(2\sqrt{3})^2-2\times2\sqrt{3}\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=12-4\sqrt{6}+2=14-4\sqrt{6}$$。 3. 解：原式$$=\sqrt{16}+\sqrt{9}-5=4+3-5=2$$。先依次完成乘除运算，再化简合并，最后做加减计算。 ### 易错知识总结 1. 严禁非同类根式直接加减合并；2. 混合运算严格遵守运算顺序，不跳步、不错序；3. 运用完全平方公式时不要遗漏中间的交叉项；4. 结果务必化为最简二次根式，保证分母无根式、无开方不尽的因数。 进一步进行二次根式(根号下仅限于数)的简单四则运算，并解决简单的实际问题. 发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生应用法则的灵活性和解决问题的能力. 问题 请你计算： + ， - . 小明是这样计算 + 的： + = + = + = . 分子、分母同乘的目的是什么? 分子分母同乘的目的是将分母转化为有理数2. 知识点1 分母有理化 4 计算 - - = - = 2- = . 方法二 - = - = 2- = . 方法三 - = - = 2- =2- = . 知识点1 分母有理化 5 例1 计算： (1) - ； (2) - + ； 解：(1) - = - = - = ； (2) - += - + = 3- 2+ = ； 知识点2 二次根式的四则运算 6 例1 计算：(3) (- )÷ ； (4) + - . (3) (- )÷ = ÷ - ÷ = - = - = - = - = ； 知识点2 二次根式的四则运算 7 例1 计算：(3) (- )÷ ； (4) + - . (4) + - = = - = - . 化成最简二次根式后与，化简后的被开方数不可能相同，因此，结果中可以保留，不必将它化成最简二次根式. 知识点2 二次根式的四则运算 8 思考 化简( - ) ·，其中a=3，b=2.你是怎么做的? ( - ) · = · - · = - = -. 把a=3，b=2代入 -中，得原式= - 2. 知识点2 二次根式的四则运算 9 思考 如图，方格纸中小方格的边长均为 1. (1)求梯形 ABCD 的周长. (2)求梯形 ABCD 的面积. (1)由勾股定理，得AB=，BC=，CD=. 由网格可知 AD=6， 所以梯形 ABCD 的周长为 + + + 6 = 5 + 2 + +6 =6 + 2 + 6. 知识点2 二次根式的四则运算 10 思考 如图，方格纸中小方格的边长均为 1. (1)求梯形 ABCD 的周长. (2)求梯形 ABCD 的面积. (2)梯形 ABCD 的面积为 ( + )×3 = (5+ )×3 =18. 还可以通过数格子，割补法求梯形 ABCD的面积. E 知识点2 二次根式的四则运算 11 思考 如图，方格纸中小方格的边长均为 1. (1)求梯形 ABCD 的周长. (2)求梯形 ABCD 的面积. 可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. S梯形ABCD=S1+S2+S3=×3×1+×3×2+×(3+6)×3=+3+=18. 知识点2 二次根式的四则运算 12 知识点1 分母有理化 1.化简的结果是(　　) A.－　　 B.－　　 C.－　　 D.－ 返回 D 【点拨】＝＝＝＝－.故选D. 基础提优题 2.已知a＝，b＝＋3，则a与b的关系是(　　) A.互为相反数　　 B.相等 C.互为倒数　　 D.互为负倒数 返回 A 基础提优题 3.下列各数中，与－2互为倒数的是(　　) A.＋2　　 B.－－2　　 C.2＋2　　 D.＋2 返回 【点拨】－2的倒数是＝＝＋2. A 基础提优题 4.已知＋(b－3)2＝＋，则化简的结果为　　　　　. 返回 【点拨】由题意得c－4≥0，4－c≥0，所以c＝4，所以＋(b－3)2＝0.所以a＝5，b＝3.所以＝＝＝＋. ＋ 基础提优题 知识点2 二次根式的混合运算 5.如图，点A，B，C，D在数轴上，则可以近似表示×－÷的运算结果的点是(　　) A.点A　　　　B.点B　　　　C.点C　　　　D.点D 返回 C 基础提优题 【点拨】×－÷＝－2× ＝6－3＝3＝.因为42＜18＜52，所以4＜＜5，所以可以近似表示×－÷的运算结果的点是点C. 返回 基础提优题 6.［2026西安碑林区模拟］如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则△ABC中边BC上的高为(　　) A. 　　 B. 　　 C. 　　 D. 返回 (第6题) B 基础提优题 7.如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为　　　　. (第7题) 返回 2 基础提优题 8.计算： (1)－＋3； 返回 【解】原式＝5－＋3×＝5－＋＝5－(－)＋＝5－＋＋＝6. 基础提优题 (2)－4－÷； 返回 【解】原式＝3－4×－＝3－2－＝3－2－2＝－. (3)｜－2｜＋(2 027＋π)0＋－－2. 【解】原式＝2－＋1＋3－4＝2－. 基础提优题 对于二次根式的除法，把分母中的根号化去的过程，叫作分母有理化 分母有理化 二次根式的四则运算 二次根式混合运算 化简求值 解决实际问题 课堂小结 $