精品解析：湖南湘潭市2027届高三第一次模拟考试数学试题

2027届湘潭市高三第一次模拟考试 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据6，8，4，5，12的第一四分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】先对样本数据进行从小到大的排序：4，5，6，8，12，共5个数据， 因为，不是整数，所以第一四分位数为第2位，即5. 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以，解得. 3. 点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用点坐标计算出，再根据焦点到准线的距离公式即可求解. 【详解】点在抛物线上，代入可得：， 解得：，所以焦点到准线的距离为. 4. 已知函数，若，则（ ） A. 0 B. C. 6 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由题设，令，定义域为， ， 所以. 5. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题设，， 令，得，故项的系数为， 所以. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，，整理，得， 则，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故的最小值为. 7. 某同学类比双曲线的定义研究平面上到点，距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点是该轨迹上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由题意可得，由三角不等式可得，当，，三点共线时，等号成立，计算可得最大值. 【详解】设，由题意可得，即， 由三角不等式，平面上任意一点满足， 要使有最大值，则，此时，即 当取最大值，即，，三点共线时，三角不等式等号成立，此时， 所以，即， 解得（舍去），，故的最大值为， 验证：当的最大值为时，点的坐标为， 此时，代入条件， 满足条件，所以的最大值为. 8. 若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，则存在实数使得 C. 若，则 D. 已知是等比数列的前项和，，则不存在等比数列，使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的“极差”的定义逐项分析计算可判断其正误. 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以， ，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以，当且仅当，时等号成立， 由，得，令， 求导得，所以函数在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为， 所以，故C正确； 对于D，等比数列的公比为，首项， 所以等比数列的前项和为， 所以的最大值为，最小值为， 所以，所以存在等比数列，使得，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用三角函数的周期进行求解；B选项，利用图像的特殊值求出函数的解析式，再利用对称轴进行求解；C选项，利用函数的平移和三角转化进行求解；D选项，利用零点的存在性结合列举进行求解. 【详解】A选项，由图可知：，解得：，所以A选项正确； B选项，由图可知：，， 且，则，其中， 解得：，又因为，所以，则， 将代入得：，由三角函数图像性质得不是正弦函数的对称轴，所以B选项错误； C选项，函数的图象向左平移个单位长度为， 所以C选项正确； D选项，令，得：，求的零点， 当时，，当时，，当时，，当时，， 零点依次为：第3个零点必须在内， 第4个零点不能在区间内，所以，所以D选项错误. 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心在曲线上 B. 存在两个不同的实数，使圆过点 C. 存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D. 存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合指对互化判断A选项，再结合圆与直线的位置关系、函数的单调性以及零点存在性定理等逐一判断选项. 【详解】因为圆，所以圆心为，满足， 所以即，选项A正确； 若圆过点，则， 设函数，其函数图象连续不断，且， ，， 根据零点存在性定理可知方程恰有两个实数根，选项B正确； 若圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，化简得，即或者， 令，则，令得 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以方程有唯一解，方程有两个解， 所以存在三个不同的实数，使圆与直线相切，选项错误； 直线平分圆的面积，等价于直线过圆心，即， 令函数，则，令得， 所以在单调递减，在单调递增， 且，， 函数图象连续，由零点存在性定理，共有两个零点， 所以存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积，所以选项正确. 11. 某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 记，满足的最小 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据繁殖规律推导递推关系，结合初始值逐项计算即可得到对应项的值即可判断A选项，利用递推关系将偶数项转化为相邻奇数项的差，裂项相消后求和即可判断B选项，对前项和进行裂项相消，得到，将不等式转化为，通过查找数列项的值确定最小即可判断C选项，用数学归纳法证明平方和等式，关键是利用递推关系 完成从到的递推即可判断D选项． 【详解】首先根据题目给出的特殊繁殖规律： 雄虫由未受精的卵细胞发育而来，只有母亲；雌虫由受精卵发育而来，有父亲和母亲，由此可以推导祖辈数量的递推关系： 第代的雄虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的母亲的祖辈数量； 第代的雌虫（祖辈），它的上一代（第代）祖辈数量 = 它的父亲的祖辈数量 + 它的母亲的祖辈数量； 最终可以得到递推公式：，这是斐波那契型数列， 结合已知的，，可以依次算出前几项： ， 接下来逐个验证选项： 选项A：根据递推结果，，所以A正确； 选项B：利用递推关系 ， 对偶数项求和：，故B正确； 选项C：计算前项和， ， 要求，即， 已知， 因此，，最小是10不是11，所以C错误； 选项D：当时，，成立； 假设当时等式成立，即， 当时， ， 所以等式对也成立，由数学归纳法，等式对所有正整数成立，即D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可． 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：． 13. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，又，所以，解得， 所以，所以切线方程为，即. 14. 四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器（容器壁厚度不计）完全罩住这四个小球，则这个容器最小的半径为_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过将球心构建成正四面体来求解上球所需的半径，并与下球进行比较求得最小所需半径. 【详解】由题意可知，四个球体球心所围出来的图形为棱长为的正四面体， 可知四面体底面中心到底面顶点距离，上顶点到底面中心距离， 若要满足上球可以被罩住，， 对于底部三个球体，若能被罩住，则，因此最小半径为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角形内角和与两角和的正弦公式化简等式，根据得到，在三角形内角范围内求出角； （2）代入已求角运用余弦定理建立关于边长的一元二次方程，解出后通过符号取舍增根，最后代入三角形面积公式算出面积. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 由，得， 所以， 得，又，得， ，所以． 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理得， 整理得，解得或者． 时，舍去， 时符合， 所以，． 16. 如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明：连结，过作，垂足为，于． ，中，，． 中，，，即， 所以，又，,平面,平面， 平面，又因为平面， 平面平面． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，如图所示以为原点，过点与垂直的直线 为轴，，为，轴建立坐标系．由（1）知，， ，，． 所以，．设平面法向量， 由，，，取，得，有， 又，，设平面法向量， 由，，，取，得，有， 设平面与平面的夹角为，则， 所以． 17. 已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． （1）求椭圆的离心率； （2）过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）．设，，设切线的方程为， 联立整理得， 由，得， 因为在椭圆上，所以，则， 所以过与相切的直线方程为，即的方程为， 同理的方程为， 又因为，都经过点，所以， 显然，在直线上，即直线方程为，所以直线过定点. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆通径公式求出基本量，计算离心率； （2）（i）借助切点处切线方程，利用点在两条切线上，得到切点弦的直线方程，证明直线过定点； （ii）将三角形面积表达为参数t的函数，通过换元，结合对勾函数性质求解面积的最大值. 【小问1详解】 此椭圆，过焦点垂直于轴的弦即通径， 长为，得，，故． 【小问2详解】 （i）略 （ii）联立直线与椭圆方程得． ，. ， 设，原式 ， 所以当即，点，切线，关于轴对称时， 取最大值为． 【点睛】本题重点考查椭圆切点弦（极线）模型，利用切点切线方程快速写出切点弦直线，是简化运算的关键.定点问题需整理直线方程分离参数；面积借助根与系数的关系表示，换元后利用对勾函数求最值.注意换元后变量的取值范围，避免最值误判. 18. 在一个不透明箱子内装有个大小相同，质地均匀的小球，其中有个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止．记为取球次数，表示在标记了个球的情况下，第个小球是标记球的概率，表示是最后一个标记球的概率． （1），，求； （2）求和； （3）求，，． 【答案】（1） （2）； （3）；； 【解析】 【分析】(1)不放回抽样，每次的概率均等 (2)对题目进行转化，分步进行计算 (3)对题目转化后经过计算即可解出答案. 【小问1详解】 ，表示第次才取出这1个标记球的概率，：第一次取非标记球，第二次取标记球；. 【小问2详解】 不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等，，共n个球，; 求，即满足在前次共拿到1个标记球，第i次拿到第2个标记球,i的取值范围为. ，； 当时，； 所以，. 【小问3详解】 不放回抽样：每次拿到标记球的概率相等；； 求，即满足在前次共拿到个标记球，第i次拿到第k个标记球,i的取值范围为. ，； ，. 所以， . 19. 已知，． （1）求证：图象关于直线对称； （2）当时，存在最大值，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求的值． 【答案】（1）证明： 关于直线对称． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数对称性的定义式证明即可； （2）由对称性转化为研究时函数有最大值，求导后分类讨论，结合函数极值及函数单调性判断函数是否存在最大值即可得解； （3）利用函数的导数，分别分析三种情况，即可由不等式恒成立求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知关于直线对称，故仅考虑． ，设，． （i）当时，恒成立．在单调递增， 此时，在单调递减． 所以，此时在不存在最大值. （ii）当时，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，， 所以 ①当时，的大致图象如下图所示， 可知时，，在单调递增， 此时存在最大值，符合题意； ②当时，使，的大致图象如下图所示， 可知时，，在单调递减， 可知时，，在单调递增， 当时，在存在最大值，即，即. 综上时有最大值. 【小问3详解】 由（2）知：当时，不成立，时，， ，，、， 使，且 在单调递增，单调递减，单调递增， ，，，，，在单调递增，单调递减，在成立， 时，，成立， 时，，成立， 所以，对时，恒成立． 当时，、使，且 在单调递增，单调递减，单调递增， ，，， ，，在单调递增， 时，不成立，综上，对时，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届湘潭市高三第一次模拟考试 数学 本试卷共4页，19个小题．满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条码粘贴区”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．涂写在本试卷上无效． 3．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 4．保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据6，8，4，5，12的第一四分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2. 已知向量，，若，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 点在抛物线上，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 已知函数，若，则（ ） A. 0 B. C. 6 D. 4 5. 已知展开式中项的系数为，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 7. 某同学类比双曲线的定义研究平面上到点，距离的倒数之差的绝对值等于1的点的轨迹，设点是该轨迹上一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数集中存在最大元素和最小元素，则定义集合的“极差”．下列说法正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，，则存在实数使得 C. 若，则 D. 已知是等比数列的前项和，，则不存在等比数列，使得 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D. 若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 10. 已知圆，则下列说法正确的有（ ） A. 圆心在曲线上 B. 存在两个不同的实数，使圆过点 C. 存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D. 存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 11. 某种昆虫存在特殊世代交替繁殖规律：受精卵发育为雌虫，兼具父本和母本；未受精卵细胞发育为雄虫，雄虫仅有母本、无父本．下图是该类昆虫雄性的家系图，假定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推．记表示一只该类雄性昆虫上溯第代祖辈数量，例如，，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 记，满足的最小 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 函数的图象在点处的切线与直线平行，则该切线方程为______． 14. 四个半径为1的小球两两相切地堆放在水平桌面上，用一个半球容器（容器壁厚度不计）完全罩住这四个小球，则这个容器最小的半径为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，，求的面积． 16. 如图在四棱锥中，，，，，． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 已知椭圆：，过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为1． （1）求椭圆的离心率； （2）过直线上一点作椭圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）证明直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 18. 在一个不透明箱子内装有个大小相同，质地均匀的小球，其中有个小球做了标记，现从该箱子中不放回地随机取球，直至所有的标记球取完为止．记为取球次数，表示在标记了个球的情况下，第个小球是标记球的概率，表示是最后一个标记球的概率． （1），，求； （2）求和； （3）求，，． 19. 已知，． （1）求证：图象关于直线对称； （2）当时，存在最大值，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $