精品解析：湖南省长沙市2026届高三第一次模拟考试数学试题

2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”成立的 A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：当时，，当一正一负时， ，当时，，所以，故选C． 考点：充分必要条件． 2. 非空集合A、B满足，，，则（ ） A. B. R C. A D. B 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，再结合集合交集理解辨析． 【详解】∵，则， ∴， 故选：C． 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】因为，所以 所以在上的投影向量为 故选：B 4. 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，结合充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】当是奇函数时， 因为， 所以是偶函数. 当是偶函数时， ，而， 所以， 当是偶函数时，显然成立， 所以是偶函数成立，不一定能推出是奇函数， 所以“是奇函数”是“是偶函数”的充分不必要条件， 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系分别求出，利用，由两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以， 又，所以，， 所以， 所以， 故选：C. 6. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径列方程，解出半径后计算外接球表面积. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 因为下底面边长为，几何体的高为， 故，，， ，，，，. 设几何体外接球的球心为，外接球半径为. 在中，， 在中， 则，解得. 所以. 故该几何体的外接球的表面积 故选：B. 7. 已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三点共线得到的关系式，再代入，利用导数求得函数最值即可. 【详解】因为为的重心， 所以， 又因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 因为在线段上，所以与同向且， 于是，同理， 结合得. 目标函数为， 记，， 求导，得：， 所以在上单调递增， 故选：C 8. 已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数形结合法求解. 【详解】由， 令， 在同一坐标系中作出其图象，如图所示： 由上图可知，选项ABC都成立，D不成立. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 有一组数据，则（ ） A. 该组数据的极差为6 B. 该组数据的中位数为5 C. 该组数据的平均数为4 D. 将数据1均改为3后，方差会变大 【答案】AC 【解析】 【分析】直接计算数据的极差，中位数，平均数及方差，并判断可得. 【详解】数据的极差为，所以A正确；数据的中位数为，故B错误； 数据的平均数为，故C正确； 原数据的方差 . 数据1均改为3后的数据为，平均数为 . 因为，所以数据1均改为3后，方差会变小，故D错误. 故选：AC 10. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据所给条件长度判断A，由余弦定理判断B，过点作，解三角判断C，利用求三角形面积判断D. 【详解】如图所示，过点作， 则，又因为， 并且在中， 所以，所以是等腰三角形，所以， 由，可知为中点， 所以是的中位线，所以为线段的中点，所以，则A项错误. ，在中：，则B项正确. 过点作，， ，所以，的面积为，则C､D项正确. 故选：BCD 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件及抛物线的对称性，结合几何图形求出直线的斜率，进而求出点的坐标，再逐项求解判断即可. 【详解】由抛物线：的焦点为，得抛物线， 设，由对称性，不妨令点在第一象限， 连接并延长交抛物线于点，连接并延长交抛物线于点， 直线，由消去得，则，即， 直线，由消去得， 则，即，因此，点与关于轴对称，则， 同理得，点与关于轴对称，， 由与关于轴对称，得平分，则， 而，且，则， 于是，直线的斜率，直线， 由消去得，而， 解得，则，，点， 对于A，直线的斜率为，由对称性知，也是直线的斜率，A正确； 对于B，点或到轴的距离均为，B错误； 对于C，由，得 ，C正确； 对于D，直线的倾斜角，由对称性知，也是直线的倾斜角，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用指数函数的性质化简集合，再利用交集的概念运算. 【详解】得，则，则 故答案为： 13. 已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求解的最小值，结合圆的特点可得答案. 【详解】椭圆的左焦点，圆化为， 圆心为，半径为1，因为点在圆上，所以; 的最小值为； 因为,当且仅当三点共线时，取到等号，而， 所以的最小值为. 故答案为： 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】法1：由题意得，令，求导可得，则，再分、、三种情况求最值即可；法2：利用几何意义，表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和，作于，根据，即求的最值即可． 【详解】法1：由题意得， 令，则， 所以当时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当时，取得最小值2. 当时，，当且仅当，时，取得最小值2. 综上所述，的最小值为2. 法2：表示点，横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和. 作于，， 令，则， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 故的最小值为2． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， ，， ，，，，或. ，，，即. 【小问2详解】 如图： ， ，①， 又在中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 16. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 因为，且是公差为2的等差数列，所以， 即， 当，且时，， 所以，因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）先应用已知转化为得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求解； （2）先应用累乘法求出通项公式，再应用裂项相消法计算证明. 【小问1详解】 由数列各项均不为零，且，所以， 因为是公比为的等比数列，所以， 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以； 【小问2详解】 略 17. 社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. （1）若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； （2）若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第 1 局甲胜或乙胜两种情况，计算每种情况下第 2 局负者轮空、第 3 局再由前一轮轮空者先手获胜的概率，最后将两种情况的概率相加；（ii）先确定第 2 局的参与者为第 1 局胜者与丙，再分第 1 局甲胜或乙胜两种大情况，枚举第 2、3 局的胜负结果，筛选出第 4 局参与者与第 2 局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率相加； （2）确定甲出场次数的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望，最后解不等式 得到的取值范围. 【小问1详解】 （i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉， 若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为， 所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为； （ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙. 第①种情形概率为；第②种情形为. 若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲. 第①种情形概率为；第②种情形为. 所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为 ； 【小问2详解】 设甲在前4局的参与次数为随机变量，则， ， ， ， 所以 由得， 令，则，整理得， 解得，所以，又， 所以的取值范围为. 18. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）可推得，进而利用裂项相消法求即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 得. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； （3）设为在内的极小值点，求证：. 【答案】（1） （2） （3）由题知，，即， 要证，即证， 令，则， 令 ，得， 再令，， 当时，，则单调递减， 所以，单调递减， 所以，从而，可得单调递减， 所以有 ， 则有， 因此. 【解析】 【分析】（1）利用导数求函数最大值即可； （2）先分析的单调性，再分类讨论分析的零点，据此分析的单调性得出是否存在唯一极值即可； （3）原不等式可转化为证明，构造函数，利用导数求函数的最值即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 时，，故，单调递增， 故. 【小问2详解】 由题，，令，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减. ①当时，，则在上恒成立，此时单调递减，不存在极值点； ②当时，， 由零点存在性定理知，存在，当时，单调递减， 当时，单调递增，当时，单调递减，此时有唯一极小值点，极大值点； ③当时，， 存在唯一，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，此时在上有唯一极大值点； ④当时， 恒成立，在上单调递增，此时无极值点. 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省长沙市高三第一次模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则“”是“”成立的 A. 充要不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要也不必要条件 2. 非空集合A、B满足，，，则（ ） A. B. R C. A D. B 3. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则“是奇函数”是“是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 或 6. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为的重心，过的直线与，边分别交于，点，若，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 有一组数据，则（ ） A. 该组数据的极差为6 B. 该组数据的中位数为5 C. 该组数据的平均数为4 D. 将数据1均改为3后，方差会变大 10. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 已知抛物线C：的焦点为，过点的直线与C交于两点，其中，，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 点M到y轴的距离为7 C. 的面积为 D. 直线的倾斜角为30°或150° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若集合，则__________. 13. 已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为______. 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习.在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式.设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数.若，，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若的角平分线交边于点，，，求的周长. 16. 已知各项均不为零的数列，且满足. （1）若是公比为的等比数列，求数列的前项和； （2）若是公差为2的等差数列，记数列前项和为，证明：. 17. 社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. （1）若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； （2）若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 18. 已知等差数列的前n项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在区间上的最大值； （2）若在上有且仅有一个极值点，求实数的取值范围； （3）设为在内的极小值点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $