湖南长沙市2026届高三上学期模拟考试数学试题

长沙市2026年高三年级模拟考试 数学参考答案 →、 选择题；本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 5 6 7 8 A D B C B C C 8.【解析】由题意可知，该船空船时不受水深影响. 设其卸货前的吃水深度为d, 在xh时的安全水深为ym, 则y=d+1.5-(r-4x≥4)(*). =2s(gx5.5 =gc401.5d 0 1012 设=5sm爱+50x∈12D,则了倒-cos爱x.当方程（对应的 8 直线与曲线y=)相切时，d达到最大值.此时，f()=一冬，解得x=10或x=6(舍)： 由f0)=45,可得d+1.5-Q0-4)=4.5,解得d=3+3平，则d≈5.35m. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】ABD 10.【答案】AC 11.【答案】AC 10.【解析】令x=y=1,则f1)=2f),解得fI)=0,即A正确. 令x=y=-1,则fI)=-f(-1)-f(-1)=-2f(-1),，解得f(-1)=0:令y=-1,则 f()=-f)+fD=-),可得f)为奇函数，即B错误. 肾0<<1时，令y,有f和=网+2，则=f付>0，可 1 f(x)<0.而f(x)为奇函数，则-1<x<0时，f(x)>0,即C正确 将f)=f四+f两边同时乘以w,得到yf=+0,可设 数学试题与参考答案第1页（共7页） f)=nxc≠0，则f=血.当x>0肘，f9=nx,则f=1-nx, 可得f(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，此时，x=1不为f(x)的极值点， 即D错误. 11.【解析】 |MP=VMCP-PCP=V(:M-5)2+y2-9=VM-5)2+2.xw-9xw-4|,可知选 项A正确 如下两图所示，过点M,作直线x=4的垂线，垂足为H1,作准线x=-的垂线， 垂足为H,:过点V,作直线x=4的垂线，垂足为H,作准线x=号的垂线，垂足 为H4 y4 M H H 根据左图，当点P在直线x=4的左侧时，可知MN=MH+WH|,为直角梯 形MHH,N的中位线长的两倍.若M,N在x轴的两侧时，MN有最小值为4：若M, N在x轴的同一侧时，当xp→4时，|N→0，即选项B错误. 如左图，根据以上证明，可知MPMH,|NP日H3；再根据抛物线定义， 可知|MF=HM2|,|NF月NH4|.从而，△MWF的周长为 1H,H2+|H,H4=2引4-（非9，即选项C正确. 如右图，当点P在直线x=4的右侧时，同理可得|M+|NF|-|MN=9.若M, N在x轴的两侧时，而|MNMH+|H3|,为直角梯形MHH,N的中位线长的两 倍，则|MN|有最小值为8，此时，则△MNF的周长为9+2MN|,其最小值为25； 若M,N在x轴的同一侧时，当xp→4时，|MN→0，△MNWF的周长趋于9，此时 不存在最小值，即选项D错误 数学试题与参考答案第2页（共7页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】(2k-1,0),其中k∈Z.任写一个满足条件的都可以， 13.【答案】-号 【解折】由A证=AC+AD,CD=AD-AC，且AD=1,可知 征而-4c+4D而-40)-=而4c=1:-}2=2 14.【答案】3+5 6 【解析】如图所示，由题意可知，点A在以BC为直径的截面圆O'上运动，则 AB2+AC=4,可得Sa4e=2ABAC≤B2+AC2)=1,当且仅当AB=AC=V2 时取等号. D 连接OA,OD,在△OAD中，AD=√6，OA=OD=√2，由余弦定理可得 c0s∠OAD=5,则点D的轨迹是以直线O4为中心轴的圆锥与该球面的截面圆B, 2 其半径DB=V6sin∠DAB=5,且AB=V6cos∠DAB=32 2 2 当AB=AC时，(S△ABc)max=1,此时过点D,作DH⊥平面ABC于点H.根据 对称性，垂足H必在AO'上，易知∠OAO'=45°，则∠DAH=75°.当点D到平面ABC 的距离最大时，DH=AD-sin75°=3+5，故四面体D-ABC的体积的最大值为 2 枚0c=分DH=-x1x3计5-35 6 数学试题与参考答案第3页（共7页） 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本题满分13分) 【解析】(1)由sinB+sin(A-B)=sinC,可得sinB+sin(A-B)=sin(A+B)，即 sin B+sin Acos B-cos Asin B=sin AcosB+cos Asin B,sin B=2cos Asin B, c0sA=号又Ae0,),则A=T .6分 3 (2)记△ABC的角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,由AB·AC=2,可得 |AB‖4C|cos A=2,则bC=4. 由余弦定理，a2=b2+c2-2bcc0sA=(b+c)2-3bc,而a=3,可得b+c=√21. 设△ABC的内切圆半径为r,则SABc=be sinA=a+b+c少，可得 2 r=bcsinA= 4x3 -，E,故△ABC的内切圈半径为5,5 a+b+c3+√21 2 2 .13分 16.(本题满分15分) 【解析】(1)证明：在△ABC中，AC=2,AB=2W2,∠BAC=45°，由余弦定 理可得，BC2=AC2+AB2-2AB.AC.c0S45°=4，即BC=2,有BC2+AC2=AB2, 则BC⊥AC. 由平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,且BC⊥AC,则BC⊥面 PAC;又PAC平面PAC,则BC⊥PA. 6分 (2)取AC,AB中点分别为O,M,连接OP,OM.易知OP⊥AC;结合(1) 中BC⊥面PAC,由OM∥BC,可知OM⊥平面PAC,则AC,OM,OP两两垂直. 如图所示，以O为原点，OA,OM,OP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建 立空间直角坐标系，则A(,0,0),C(-1,0,0),B(-1,2,0), P(0,0,V3),可得CP=1,0,3),AP=(-1,0,V5),AB=(-2,2,0). 设C0=C亚=（亿，0，V5)0≤元≤1），则Q(元-1,0，V5), 且B0=(元，-2，V3),可得 COs<AP.BO>= AP.BO 22 ,由 |AP||BQ12×V422+4 1o<丽顶+，部得2-或A=合).则Q(0.且40=（←209 10 故点Q到直线AB的距离d= 40P-(40.4 2):-13--3o 8 15分 数学试题与参考答案第4页（共7页） 17.(本题满分15分) 【解析】依题意，直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=+t,联立直线l与 y=kx+t 双曲线方程，即 2--1可得62-2)2-2-2-2=0. 由△=4k2t2+4b2-k2)b2+2)>0,可得k2<t2+b2，且M+w=b2k2, .2t XMXN=- 2+t2 2-2 4分 (1)当k=2时，结合题意可知5wv=-+<0,即b2-4>0,解得b>2或 b2-4 b<-2,又b>0,故b的取值范围是(2，+m). 6分 2）直线4M的方程为-，令=0，期y兰即 yp=-Yu ·同理，e=二7、 因t,1m0m-竿4小 =+0aw-&-0w2++.而=+1. XMXN XMXN 则t2+1=t2+b2,解得b=1.故双曲线C的方程为x2-y2=1. 15分 18.(本题满分17分) 【解析】1)A=0,B=1}:A=1,B=0:A=0,B={2};A={2},B=0: A={1},B={1};A={2},B={2}. .3分 (2)根据集合U的子集个数，可知集合A的可能情况有2”种；同理，集合B也 可能有2m种.因此，两集合的所有可能情况数为2m×2m=4. X的所有取值为0,1，…，n.当X=k(k=0,1,,)时，先从n个元素中选出k 个元素，记为x位=1,2，，k),有C种可能情况；对于这k个元素中的每个元素 x=1,2,,),满足X∈AUB时，只可能满足x∈CAB,x∈CaA,X∈A∩B这三 种情况之一，有3种可能情况. 因此，事件“X=k(k=0,1,)”的所有可能情况数为C3,则P(X=)= C3 42 由2rx=-C年=C字r,可知X-0争，则)架.10分 数学试题与参考答案第5页（共7页） (3)若m=0,由PX=0=,PX==,PX=)>PX=0),矛盾， 若m=,由x=-)-,PX=川圣梨，可：当1=2时，满足 P(X=n-1)<P(X=m;当n≥3时，满足P(X=n-1)≥P(X=m. [P(X=m≥P(X=m-1) C%3”≥C13-1 42 3C≥Cm-1 若1≤<n,由 ,即 4为 ,即 P(X=m)≥P(X=m+1) C 3m Cm13m C≥3Cm1 42 42 解得3-1≤m≤3+3 4 4 E(X),n=4j; ()+子n=4j+ 从而，= 其中j为自然数. ..17分 B(0+号n=4+2 8W-4或E0+n=4j+3 19.(本题满分17分) 【解折】函数的定义域为0，+0).当0<x<1时，)=}是=-华2： x2 当x21时，f)=子是=2 2分 (1)若a=l,当xe(0,1时，f(x)=-lnx+1,可得f()单调递减；当xe1,+o) 时，f")=1>0,可得f)单调递增。故f()的最小值为1.5分 (2)当x∈(01)时，若a≤-1，f'(x)>0,则f(x)单调递增.若-1<a<0,当 x∈(0，-时，x+a<0,即f'(x)>0,则f(x)单调递增；当x∈(-a,1)时，x+a>0, 即f'(x)<0,则f(x)单调递减.若a>0,f'(x)<0,则f()单调递减. 当x∈L,+o)时，若a<0,f'(x)>0,则f(x)单调递增.若0<a≤1，f'(x)>0, 则f(x)单调递增.若a>1,当x∈1，)时，f'(x)<0,则f(x)单调递减；当x∈(a,+o) 时，f(x)>0,则f(x)单调递增. 综上所述，当a≤-1时，f(x)在(0，+o)上递增；当-1<a<0时，f(x)在(0，-上 递增，在（←-a,1)上递减，在(1，+o)上递增；当0<a≤1时，f(x)在(0,1）上递减，在1，+o) 上递增；当a>1时，f(x)在(0，a)上递减，在(a,+o)上递增. .10分 数学试题与参考答案第6页（共7页） (3)若f(x)有且仅有三个不同零点为x1,x2,·由(2)可知，必有-1<a<0, 假设<x2<x3,且0<1<-a<x2<1<x3· 当x→0时，f(9=血x+-o:当x→+o时，fw)=lnx+g→+o.由 f(o极小值=f0=a<0,f(x)极大值=f(-ad=-ln(-a)-1>0,解得-<a<0. e 先证不等式：x1+x2>-2a. 由-l血x+g=-l血2+g,可得a=2h点，则只需证： X1 X2-为1X2 当+>-n,即证：n立>点-2). 2 X2-2 x22x21 令1=是，则0<1<1，不等式转化为证明血t>-. 令g0-1-2-0<1<).则g0-}空六=%少<0，可得g0在 2t2 (0,)上单调递减，有g0>g0=0,即血t>-)成立. 再证明不等式：飞>1-24 1-a 由于>没-1品。>1，且在Qo)上单调道增，则只需证： 1-a1 f9<0. 令p=hx-x+1(x>1),则p(=是-1=1<0，可得以)<=0，即 血<x-1.而片9=m2+2<12a-1+0-a。ad -<0, 1-a1-2a1-a 1-2a(1-a01-2） 则5>1-2a 1-a 综上，可得+5+3>-2a+-2a=202-4a+1. 1-a1-a .17分 数学试题与参考答案第7页（共7页）长沙市2026年高三年级模拟考试 科目：数学 (试题卷) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填 写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把 答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案编号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.本试卷共4页，如缺页，考生须及时报告监考 老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 姓 名 准考证号 况你考试顺利！ 长沙市2026年高三年级模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将 答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.己知命题p:x∈R,cosx≤1，则p为 A.3x∈R,cosx>1 B.3x∈R,coSx≤1 C.R,cosx>1 D.3xER,coSx≤1 2.复数了的共轭复数是 A.-1+2i B.-1-2i C.1+2i D.1-2i 3.已知a+b=6,若在ab之间插入3个数，：，，使得这5个数成等差数列， 则方+七2+七3= A.6 B.9 C.12 D.18 4.“x<0”是“x+1≤-2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.己知椭圆的长轴长、短轴长与焦距依次成等比数列，则其离心率为 A.月 B. 3-1 c.」 5-1 D.5+1 2 2 2 (2a-1)x+4a,x<1, 6.己知函数f(x)= 若f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的 x2-ax+5,x≥1. 取值范围是 A.号) B.] C.2 D.[,+) 数学试题第1页（共4页） 7.己知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且8条棱的长度构 成的集合为1，√2，√3}，则满足条件的四棱锥的个数为 注：若两个几何体经过调整位置后重合或者关于某平面对称，算同种形状. A.2 B.4 C.6 D.8 8.根据预报数据，某港口某一天的水深y(单位：m)与时间x(单位：h)的关系 可以用函数y=√2sin匹x+5.5来近似描述.现有一艘货船准备在这天4：00进入港 口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为2.5m,在卸 货过程中，其吃水深度以m/h的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离） 8 为1.5m.若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为 A.3.85m B.4.85m C.5.35m D.5.40m 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。 9.在军训打靶测试中，四位同学各射靶5次，分别记录每次射击所命中的环数.根据 这四名同学射击成绩的统计结果，可以判断出可能出现10环的是 A.平均数为8，极差为3 B.中位数为8，平均数为8 C.中位数为7，众数为9 D.平均数为7，方差为2.4 10.已知函数f)的定义域为，0)U0,+0),且f)=f四+f四.当x>1时， f(x)>0,则 A.f(1)=0 B.f(x)是偶函数 C.当-1<x<0时，f(x)>0 D.x=1为f(x)的极值点 11.己知直线l与圆C:(x-5)2+y2=9相切于点P,与抛物线E:y2=2x相交于M,N 两点，点F为抛物线E的焦点.下列说法正确的是 A.记点M的横坐标为xM,则|MP曰xM-4 B.N|的最小值为4 C.当点P在直线x=4的左侧时，△NF的周长为定值9 D.当点P在直线x=4的右侧时，△NF的周长有最小值25 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f)=tam(牙x+平)的一个对称中心为 13.在△ABC中，AD=}AB,点E为CD中点.若AC=2,AB=3,则 AE.CD= 14.已知点A,B,C,D均在半径为√2的球O的球面上，AB⊥AC,BC=2, AD=√6，则四面体D-ABC的体积的最大值为 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 己知△ABC的三个内角A,B,C满足sinB+sin(A-B)=sinC. (1)求A: (2)若AB.AC=2,且BC=3,求△ABC的内切圆半径. 16.(本题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC,△PAC是边长为2的等边 三角形，AB=2V2,∠BAC=45°. (1)证明：BC⊥PA; (2)若线段PC上的点Q满足直线AP与直线BO所成角的余弦值为 10 求点Q到直线AB的距离. 数学试题第3页（共4页） 17.(本题满分15分) 已知4为双曲线C:x2-常-16>0)的右顶点，过点T0,)的直线1与双曲线C的 左右两支分别相交于M,N两点. (1)若直线1的斜率为2，求b的取值范围； (2)设直线AM,AN分别与y轴相交于P,Q两点，若|AT2=|PT|QT|, 求双曲线C的方程. 18.(本题满分17分) 己知集合U含有n个元素，其中n≥2，先后两次随机、独立地选取集合U的两个 子集，记为A与B.设X为集合AUB中元素的个数， (1)若U={1,2},且X=1,请列举所有满足条件的A和B: (2)求随机变量X的数学期望E(X): (3)设P(X=)在k=m处取得最大值，试建立与E(X)的函数关系. 19.(本题满分17分) 己知函数f(x)=nx+(a≠0). (1)若a=1,求f(x)的最小值： (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f)有且仅有三个不同零点为5，x,x,证明：x++5>24和+1 1-a 数学试题第4页（共4页）