北京市第四中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

高三数学 （试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知二项式的展开式中的系数是，则实数的值为 A． B． C． D． 3．已知点在圆上，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 A． B． C． D． 4．若，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 5．设等差数列的前项和为，若，，，成等比数列，则 A． B． C． D． 6．已知正实数，满足．则 A． B． C． D． 7．设，为双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线交双曲线的右支于点，交轴于点，若是正三角形，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8．已知奇函数在上单调递增，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图，直三棱柱中，，，．点在线段上（不含端点），则 A．不存在点，使得 B．的最小值为 C．面积的最小值为 D．三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 10．已知，，为坐标原点，则使得数对唯一的条件是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．复数=________． 12．设抛物线的准线为，为上一点，则点到直线的距离为________． 13．已知函数，当时，的值域是________；若没有最大值，则的取值范围是________． 14．在中，，，，，为边的三等分点，则=________． 15．已知是直角三角形，角是直角，角，，所对的边分别为，，，面积为，，．给出下列四个结论： ①当，时，； ②，； ③存在，使得，为等腰直角三角形； ④任取，为递增数列． 其中所有正确的结论是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16．（本小题13分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求． 17．（本小题13分） 为帮助高三学生科学备考，某校设计了两种学科指导方案： 方案一：每周集中进行一次专题辅导； 方案二：按学科分散预约教师进行个性化答疑． 为调查学生对两种方案的支持情况，该校对高三学生按性别进行进行分层抽样，获得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对学科指导方案是否支持是相互独立事件． （Ⅰ）分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率，和该校女生支持方案一的概率； （Ⅱ）从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率； （Ⅲ）将该年级学生支持方案二的概率估计值记为，假设该年级某班有20名男生和30名女生，除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 18．（本小题14分） 如图，在四棱锥中，侧面底面，且底面是矩形，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，求平面与平面成角的大小． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．（本小题15分） 已知椭圆的长轴长为4，点在上． （Ⅰ）求的方程和离心率； （Ⅱ）设，分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴交点的横坐标． 20．（本小题15分） 已知函数的定义域为，，函数．对任意，曲线在点处的切线方程为． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）求的最小值； （Ⅲ）已知，求过点且与曲线相切的直线的条数 21．（本小题15分） 已知是无穷数列．给出两个性质： ①对于中任意两项，，在中都存在一项，使； ②对于中任意项，在中都存在两项，，使得． （Ⅰ）若，判断是否满足性质①，说明理由： （Ⅱ）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由： （Ⅲ）若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $