北京师范大学附属实验中学2026-2027学年第一学期高三年级摸底测试数学试卷

北师大实验中学2026-2027学年度第一学期高三年级摸底测试 数学试卷 班级 姓名 学号 成绩 1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分，考 考 试时间120分钟。 生 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号。 须 3. 试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。 知 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字 迹签字笔作答。 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.若全集U={x∈N0<x<7},集合A={1,3,4,5,6},B=红，2,4,5}，则Bn(CA)= A.{2 B.{2,3 C.{1,2 D.{1,2,4,5} 2.若复数z=a-1+(a-ai是纯虚数，则a的值是 A.1 B.-1 C.0 D.0,1 3.已知ā=(1,2)，b=(亿，k2-3,若a和6方向相同，则k= A.-1 B.3 C.-1或3 D.1或-3 4.现国有六大行五年期定期存款年利率为1.3%即10000元存款5年后本息合计10650 元。小明误按复利进行计算，则他算出5年后的利息最接近 A.642元 B.650元 C.659元 D.667元 S.双曲线C:> =1a>0,b>0的一条渐近线倾斜角为亏π，则双曲线C的离心率为 A.2 B.3 G 2V5 3 D. 3 6.函数y=tan 元6 的图象的一个对称中心为 B.x=- 2π D.x=- 6 7.已知a,b,c都是正数，则三数a b+1,c 1 6, ,C+ A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 第1页（共4页） 8.已知ā=(1,4)，向量6满足b-d=1,抛物线x2=4y的焦点为P,点P在抛物线上， 则b-o+op-0丽的最小值为 A.V10-1 B.10+1 C.4 D.3 9.三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的 礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm,外径长3cm,筒高 4cm,中部为棱长是3c的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该 玉琮的体积为 A. 〔-m.(+m 3 l0.己知函数f()=x-a+a,g(x)=e因-1，若对x∈R,都有y>f(x)是y>8()的 必要条件，则α的取值范围是 A.0 B.(-0,0] C.[0,+m) D.(-0,0) 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.函数f(x)=√1ogx-1的定义域为 12.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而 也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”， 整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个 -2 半圆.已知直线1：y=α(x-2).若直线1与黑色阴影区域的边界曲线有 2个公共点.则a的取值范围是. .2 13.已知等比数列a}满足：a<a<4(n=3,4,5,…),请写出符合上述条件的一个 等比数列{a}的通项公式： 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ccosA+acosC=2 bcos 4,则角A的大小 一·若角C为钝角，则兰的取值范围为 为 第2页（共4页） 15.已知函数f(x)=sin(x+马)， 则下列命题正确的是 ①f(x)在1,4)上单调递减： ②若x是f(x)小于1的最大零点，x2是f(x)大于1的最小零点，则x1x3=1: ③若x1x2为∫(x)的两个相邻零点，则川x-x3kπ： ④l>0,xo,使得f(x)在(x,x+)上有两个零点. 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.(木小意13分尼知向量a-(m2xcos2),6=(co6.sm创q<引若f创-a.6, 且函数f)的图象关于直线x=匹对称. 6 ()求函数)的解析式，并求使/)>成立的x的取值范围： (②若将f)的图象先向左平移霄个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标 不变)，得到函数g(x)的图象，设函数h(x)=g(x)·cosx,求h(x)在 _，0 41 上的值域 17.(本小题13分)如图，在五面体ABCDEF中，四边形 E ABCD是矩形，AB=2AD=2EF=4,AE=DE=√2. (1)求证：AB∥EF: (2)从下面三个条件中选择一个作为已知，使五面体ABCDEF 存在.求直线AE与平面BCF所成角的正弦值. 条件①：平面CDEF⊥平面ABCD 条件②：平面ADE⊥平面ABCD 条件③：CD⊥AE 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 18.(本小题14分)某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充 电桩（每个充电桩只支持一种充电方式），该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的 使用情况，从中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 充电桩的个数 日均使用情况 不超过5次 超过5次 充电方式 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 第3页（共4页） (1)从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不超过5 次的概率； (2)假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、10 元、30元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取2个，设X为抽取的2个充电 桩的日均维护费用之和，求X的分布列和数学期望E(X): (3)电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公 司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7：3.在日均使用不超过5次 的快充充电桩中，公用充电桩的占比为α：在日均使用超过5次的快充充电桩中，公用充 电桩的占比为0.75.试比较a与0.75的大小.（结论不要求证明) 19(本小题15分)已知椭圆c:+ =1,耳、分别为左、右焦点，直线1过 84 交椭圆于A、B两点 (1)求椭圆的离心率： (2)若直线A交y轴于M,直线B耳交y轴于N,是否存在直线I,使得S.B4B=Sw? 若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由. 20.(本小题15分)已知函数f(x)=ex-2. (1)若f(x)在(0，+w)上单调递增，求a的最大值： (2)若a=2,是否存在，x2∈(0,2)，使得曲线y=f(x)在点(，f(x)和点(x3,f(x) 处的切线互相垂直？说明理由，（参考数据：e≈2.72，n2≈0.69) 21.（本小题15分)己知{4，a2,a4,,4}=1,2,3.,其中n≥2且n∈N,一个n元排 列记为(4,4,43，，a4).如果排列(4,4，a3,,4)满足任意k∈1,2，.n-1},存在m∈N, 且k<m≤n使得4，-am=1,称其为凝聚排列. (1)写出n=4时的所有凝聚排列： (2)求证：凝聚排列(4，a,a3,,4)必有4=1或n; (3)求n元凝聚排列的个数. 第4页（共4页） 北师大附属实验中学2026-2027学年度第一学期开学检测 高三年级数学参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 7 9 10 答案 A B D D A D C C B 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.[2,+∞)； 12刘 13.答案不唯一，如a,=((满足4>0，g∈(10)即可) 4302 15.①②④ 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.(1)依题意可得f(x)=sin2xcos8+cos2xsin6=sin(2x+8),1分 又函数f)的图象关于直线x=名对称，所以2×名+0=m+受ke2,2分 解得0=m+女e2列，何受6=吾)=m2x+引 3分 令f>分即m2+引即2+名2+2m+ge2.4分 6 解得π<x<π+ keZ5分 所以不等式)>的解集为m,m+写》ke26分 2将侧能图像先向左平格号个单位得列y-加副月-m2哥。7分 将y=am2:+所有点的横坐标为原来的2得到=+)】 5π 即g(x)=sinx+ 6,8分 又6)-g6创eoax,所以6)=n+gs=(inxc+csmg sinx+x1+cos2x 2 因为利小，所以2x+骨[后司引所以o2x引}剖， 所以e引，所以40在利上的值为引1分 17.(1)因为四边形ABCD为矩形，所以AB11CD, 又AB丈平面CDEF,CDc平面CDEF, 所以AB/1平面CDEF,3分 又平面ABEFO平面CDEF=EF,ABc平面ABEF, 所以AB1/EF.5分 (2)若选条件①：第二问0分 若选择条件②：平面ADE⊥平面ABCD 取AD的中点O,BC的中点M,连接OE,OM, 则OM⊥AD,由AE=DE=√5，得OE⊥AD,且OE=1, 因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADEO平面ABCD=AD,OEc平面ADE, 所以OE⊥平面ABCD,由OMc平面ABCD,得OE⊥OM,..7分 建立如图空间直角坐标系O-5,O(0,0,0),A0,0,0),B1,4,0),C(-1,4,0),(0,0,1),F(0,2,1), 则AE=(-1,0,1),BC=(-2,0,0),BF=(-1,-2,1）,.8分 设n=(c,y,=)为平面BCF的一个法向量， mF=-X-2y+=0令y=1,得x=0,5=2,所以i=01,2),…d1分 n·BC=-2x=0 则 1os(元，A②1i.@-20 n‖AE√5x√5 5，.12分 设直线AE与平面BCF所成角为a,则sina&=0 所以直线AE与平面所成角的正弦值为0 ...13分 5 若选择条件③：CD⊥AE 由于CD⊥AE,CD⊥AD,ADOAE=A,AD,AEC平面AED, 所以CD⊥平面AED,CDC平面ABCD,所以平面ADE⊥平面ABCD, 以下如选择条件②相同. 18.(1)随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数不超过5次的有：140+200+60=400个， 设事件A:“从该公司运营的所有电动车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用不超过5次”， 则利=-子…4分 (2)设事件B:“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10元”， 依题意可得，P(B)-140+60+200+400-1,P()=60+140-} 1000 10005 随机变量X的所有可能取值有20、40、60，.5分 P(X=20) 418 所以随机变量X的分布列如下表所示： X 20 40 60 16 8 25 25 (分布列正确..9分) 故E(X)=20 16+40× 8 25 25 +60× 1 25 =28.11分 =420, (3)快充充电桩共600个，公用和专用充电桩数量之比为7：3，故公用充电桩的个数为600×10 日均使用超过5次的快充充电桩的个数为400个，其中公用占比为0.75， 故公用充电桩的个数为400×0.75=300， 日均使用不超过5次的快充充电桩的个数为200个， 设公用占比为a,则公用充电桩的个数为200a, 由题意可得200a+300=420,解得a=0.6,故a<0.75..14分 19.(1)由椭圆方程知，a=2√2，b=2, 所以c=Va2-b2=2, 所以离心率e=c=2=巨 M a22=23分 (2)设A(x11),B(x23),M(0,为)，N0,y4), 直线l:x=my+2,4分 [x=my+2 联立任+上-1得m+2少+4-4=05分 .84 则片+为=-4m -4 m2+2,乃y= m2+2.6分 直线A的方程：y十2+2，令x=0得M纵坐标乃 2y +2:8分 直线职的方程上2+2，令x=0得N的纵坐标线9分 则8a=3-为=2-，8m--g=-小1分 若SB=Sw,即21-y=by3-y4, 24-2y222y2 8(h-J2） x1+2x2+2m%+4my2+4(m1+4)(my2+4) =2y1-y, m%1+4)(my2+4=4,m2h2+4m(+y2)+16=4,.13分 代入根与系数的关系，得 -4m2 m2+2 +4m.-4m mm+2+164,解得m=士5…14分 .存在直线x+√5y-2=0或x-V5y-2=0满足题意..15分 20.(1)由f(x)=e-ax2,得f(x)=e-2,..1分 由于f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f'(x)=e-2ax≥0在x∈(0，+∞)时恒成立，.…2分 即2as在(0，+m)上恒成立， 设g=￡，则g)=ex- 2,3分 x2 当0<x<1时，g'(x)<0,则g(x)在(0,1)上单调递减， 当x>1时，g(x)>0,则g(c)在(1，+)上单调递增，.5分 故g(x)≥g1)=e,6分 放2a5ca登即a得最大值为7分 (2)a=2时，f(x)=e-2x2,，则f'(x)=e-4x,.8分 令h(x)=e-4x,则h'(x)=e-4..9分 若存在x1,x2∈(0,2)，使得曲线y=fx)在点(1，f(x1)和点x2,∫(x2)处的切线互相垂直， 则存在x,x2e(0,2),使得hc)h(c2)=-1,.10分 令h'(x)=e-4=0.x=n4∈(0,2），.11分 当0<x<n4时，h'(x)<0,则h(x)在(0，ln4)上单调递减， 当1n4<x<2时，h'(x)>0,则h(x)在(ln4,2)上单调递增，.13分 h(0)=1,h(ln4)=4-4ln4-1.52,h(2)=e2-8w-0.6016..14分 即x∈(0,2)时，hx)∈[-1.52,1)，故存在x1,x2∈(0,2)，使得h)hc)=-1, 例如6)=名)=名符合题意15分 21.(1)当41=2，此时a2,4,a4必有一项为1，另两项为3、4， 对于为1的项，显然1-3≠1、1-4≠1，不符： 同理41=3，有a2,43,44必有一项为1，另两项为2、4， 对于为4的项，显然12-4≠1、11-4≠1，不符： 当41=1时，a3=3，则a3=2,a4=4或a3=4,a4=2, 显然|2-4≠1不符，所以a2≠3， a=2,此时1,2,3,4)，1,2,4,3)均满足要求： a2=4,此时1,4,3,2)，1,4,2,3)均满足要求； 当41=4时，a2=2,则a3=1,a4=3或a3=3,a4=1, 显然1-3≠1不符，所以a2≠2， a2=1,此时(4,1,2,3)，(4,1,3,2)均满足要求： 42=3,此时(4,3,1,2)，(4,3,2,1)均满足要求；， 综上：1,2,3,4)，1,2,4,3)，4,4,3,2)，1,4,2,3)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)..4分 （2)证明：假设a1=k,k∈{2,3,4，…，n-1},am=t, ①当t>k时，因为a1=k,所以存在a=k-1,其中m。≥2， 由题意得存在m∈N,m。<m1≤n使得a-a=1, 因为a1=k,所以am=k-2,继续存在m2∈N,m1<m,≤n使得a-a,=1, 因为a=k,a%=k-1,所以0m=k-3,.可得a3=2，am=1, 因为am=t>1,所以mk-2≤n-1, 此时不存在meN,m-2<m≤n使得1-a=1,矛盾..7分 ②当t<k时，因为a1=k,所以存在a,=k+1,其中m,≥2， 由题意得存在m∈N,m。<m:≤n使得a-a=1, 因为4=k,所以am=k+2,继续存在m,∈N,m1<m≤n使得-a,=1, 因为4=k,Qw=k+1,所以am=k+3,可得0-，=n-1,0-4=n, 因为an=t<n,所以m,-k-1≤n-1, 此时不存在m∈N,m,-k-1<m≤n使得h-a=1,矛盾. 所以有a1=1或n成立...9分 (3)设n元凝聚排列的个数为xm,则x3=2,下面考虑n+1元凝聚排列的个数为x,+1, 由(2)得a1=1或a1=n+1, ①当4=n+1时，(a,4,,a1)为1,2，，n的一个凝聚排列，所以此时有xm种不同排列，11分 ②当3=1时，{a2,a3,,0*1}={2,3,4,,n+1}, 记b=a:-1,i∈{2,3,4.，n+1}，则排列(b,b3,…,b1)为1,2，…，n的一个凝聚排列， 所以此时a,，a3,,1有xn种不同排列，.13分 所以x1=2x,所以之1=2，且，=2，得x=21.15分