25.3.3循环问题与销售问题课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心内容为循环问题（单循环、双循环）与销售问题。课堂以足球联赛赛制为情境导入，衔接方程解法，通过排球邀请赛、握手问题等活动，搭建从具体情境到抽象公式的学习支架。 其亮点在于以生活实例（聚会握手、商品销售）培养数学眼光，通过单循环问题从球赛到线段计数的推理发展数学思维，用表格梳理销售数量关系强化模型意识。学生提升应用能力，教师获得结构化教学资源与实践案例。

第二十五章 一元二次方程 第3课时循环问题与销售问题 初中数学人教版九年级上册 学习目标 1.熟练掌握列一元二次方程解应用题. 2.掌握循环、销售等问题的常见应用题解法. 3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型． 足球联赛中，单循环赛制要求每两支球队仅交手1次，而主客场双循环赛制则规定每两队需在双方主场各赛一场，即共进行2场比赛.不同赛制下，比赛总场数与参赛球队数量之间存在着截然不同的数学关系. 今天，我们将透过赛事组织这一生活场景，深入探究单循环与双循环赛制背后的数量奥秘，感受数学在体育领域的巧妙应用. 情 境 引 入 1 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 整理并化简，得：x2-x-56=0. 解方程，得 x1=8，x2=-7(不合题意，舍去) 因此，组织者应邀请 8 支球队参赛. 探 索 新 知 若参加聚会的人数为n(n为正整数)人，则共握手          次. 2 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 3 10 握手问题：甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2. 3人聚会 5人聚会 探 索 新 知 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 若参加聚会的人共握手28次，求出参加聚会的人数. 建立方程 解方程 参加聚会的人数为8人. 探 索 新 知 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点(不含端点A，B)，则线段总数为多少呢？(用含m的式子表示) ∵线段AB上共有m个点(不含端点A，B)， ∴总共有(m+2)个点(包含点A，B) m个点(不含A、B) A B 思路 探 索 新 知 常见的单循环问题(记数不重复)如下： 活动一：探究利用一元二次方程解决单循环问题 归 纳 总 结 活动二：探究利用一元二次方程解决双循环问题 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300. 他算得对吗？为什么？ 3 双循环比赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如：A主场对战B、B主场对战A，共发生两次事件. 探 索 新 知 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 活动二：探究利用一元二次方程解决双循环问题 常见的双循环问题(记数重复)如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、互发信息、比赛问题(每两队之间赛 两场) n (n-1) 归 纳 小 结 新 知 应 用 例题1 某交流群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有多少人？ 设该群一共有x人．依题意，得：x(x-1)=90， 解得：x1=10，x2=-9(舍去)． 答：该群一共有10人． 新 知 应 用 某市要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛． (1)应该邀请多少支球队参加比赛？ 例题2 (2)若某支球队参加3场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛多少场？ (2)利用比赛总场次数=该球队参加的场次数+剩下5支球队实行单循环赛制比赛的场次数，即可求出结论． 例题2 新 知 应 用 变式训练 1. n个人参加聚会，每两人都握1次手，所有人共握手10次，共有多少人？ 【选自教材第23页 练习 第1题】 解：由题意，得 n(n−1)=10. 解方程，得 n1=5，n2= − 4（不合题意，舍去）. 答：共有5人参加聚会. 2.一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？ 是否存在有 18 条对角线的多边形？ 如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个凸多边形的边数为n（n为正整数），则对角线有 条. 当 = 20 时，解得 n1=8，n2= −5（不合题意，舍去）； 当 = 18 时，解得 n = （均不合题意，舍去）. 答：有20条对角线的凸多边形是八边形， 不存在有这条对角线的多边形. 【选自教材第23页 练习 第2题】 知识要点 循环问题分为单循环问题（记数不重复）和双循环问题（记数重复），常见的循环问题如下： 类型 特点 常见实际问题 n个元素情况下的循环总次数 单循环 每两个元素之间算一次 握手问题、签合同问题、两两照相问题、比赛问题（每两队之间赛一场） n(n−1) 双循环 每两个元素之间算两次 互赠贺卡、互发信息、 比赛问题（每两队之间赛两场） n(n−1) 探究3 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？ 分析：设每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 解：设当每件商品降价 x 元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40−x)(20+2x)= 1200. 整理，得 x2−30x+200=0. 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元，所以40−x≥25，解得 x≤15. 所以 x2=20 应舍去. 所以 x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元. 每件盈利/元 销售数量/件 获得利润/元 原来 40 20 40×20 现在 40−x 20+2x (40−x)(20+2x) 知识要点 销售问题中常见的几个等量关系： （1）利润 = 售价 − 进价； （2）利润率 = ×100% = ×100%； （3）售价 = 进价×（1+利润率）； （4）总利润 = 总售价−总成本=单件利润×销售总量. 课堂小结 寻找生活中的两两组合模型 留心生活场景，找出 2 个类似球赛、握手的实例，一个单循环场景，一个双循环场景. 设未知数列出一元二次方程，自主求解，判断解是否为整数.写出对应场景的公式推导过程. 手写完成，清晰写出题干、方程、求解步骤. 简要写出你的感悟，说一说为什么实际问题里方程的解必须是正整数，体会数学的严谨性，字数控制合理. 任务 要求 1 2 1 2 3 特 色 作 业 $