5.1 认识二元一次方程组 课后巩固卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册“5.1认识二元一次方程组”同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展应用”三阶分层设计，覆盖从概念理解到综合应用的知识进阶路径，培养数学抽象、模型意识与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|二元一次方程（组）定义、解的概念|单选1-5直接考查定义，填空9-11强化解的应用，夯实基础| |能力提升|几何图形与实际问题建模|单选6-7结合长方形分割、《算学启蒙》情境，解答15-16聚焦面积与达标率问题，培养模型意识| |拓展应用|规律探索与新定义问题|解答17通过方程组规律推导发展推理能力，18以“满分数”新定义考查抽象思维，提升创新意识|

5.1 认识二元一次方程组 课后巩固卷2026-2027学年 北师大版八年级数学上册 一、单选题 1．下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x、y的二元一次方程的一个解，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 4．以为解的方程组是（   ）． A． B． C． D． 5．已知是的一组解，则的值为（    ） A．3 B． C．5 D． 6．如图，在长为，宽为的长方形中，有形状、大小完全相同的个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为，宽为，根据题意，下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 7．《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文．问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为x文，绫类丝绸每尺的价格为y文，则可以列出的方程组为（   ） A． B． C． D． 8．某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有（    ）种购买方案． A．3 B．6 C．7 D．8 二、填空题 9．在方程①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是______．（填序号） 10．写出一个解为的二元一次方程组____________． 11．若是关于、的二元一次方程，则________． 12．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为，十位数字为，则用代数式表示原两位数为______，根据题意得方程组______． 13．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，可列出不同的方程组为________． 三、解答题 14．如图，是线段的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和是厘米，线段的长度与线段的长度都是整数，则线段的长度为多少厘米． 15．如图，在长为，宽为的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的小长方形花圃，其分割图如图所示．求三个小长方形花圃的总面积． 16．一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生？ 设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，填写下表并求出x，y的值． 一班 二班 两班总和 学生人数 达标学生人数 17．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 18．材料阅读：对于一个四位自然数N，它的各数位上的数字互不相等且均不为0，将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数A，将它的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数B，若，则称该四位数N为“满分数”．如：四位数，∵，∴是“满分数”；四位数，∵，∴不是“满分数”．问题解答： (1)最小的“满分数”N为______； (2)若把一个“满分数”N的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为，能被5整除，请求出满足条件的N的最大值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C D D C A A 1．【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握“二元一次方程需同时满足含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程这三个条件”是解题的关键． 根据二元一次方程的定义（含两个未知数、未知数最高次数为1、整式方程），逐一判断选项是否符合条件． 【详解】解：二元一次方程需满足：①含两个未知数；②未知数最高次数为1；③整式方程． 选项A、，的次数为2，不符合； 选项B、，含分式，不是整式方程，不符合； 选项C、，含两个未知数，未知数次数均为1，是整式方程，符合； 选项D、，项次数为2，不符合． 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程的解的应用，解题的关键是掌握解的定义． 将方程的解代入原方程，得到关于a的一元一次方程，求解即可得到a的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得：， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．【答案】C 【知识点】判断是否是二元一次方程组 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组是二元一次方程组，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； B、方程组中含x、y、z三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； C、方程组中两个方程均为一次方程，且只含x和y两个未知数，故方程组是二元一次方程组； D、方程组中不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 4．【答案】D 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】根据方程组的解的定义，将方程组的解代入各个选项中的方程组，判断其是否成立即可．本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的前提． 【详解】解：当，时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解 将给定的解代入方程组，分别求出m和n的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵，是方程组的解， ∴代入得：， ∴． 代入得：， ∴． ∴． 故选：D． 6．【答案】C 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找对等量关系是列方程组的关键．根据图形体现的小矩形的长与宽的两倍的和是，长是宽的倍，即可得到方程组． 【详解】解：设小矩形的长为，宽为， 则可得， 故选：C． 7．【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】根据题意找出两个等量关系，即可列出对应方程组． 【详解】解：∵设罗类丝绸每尺价格为文，绫类丝绸每尺价格为文， 根据“7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸价格相等”，可得， 根据“每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文”，可得， ∴所列方程组为，对应选项A． 8．【答案】A 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键；设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据总花费列出方程，结合x、y为正整数且每种奖品至少1件的条件，找出符合条件的整数解即可确定购买方案的种数． 【详解】解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品， 依题意得：， ∴， 又∵x，y均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案. 故选：A 9．【答案】②④ 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将、分别代入每个方程，判断是否符合方程即可得出答案． 【详解】解：当、时， ①； ②； ③； ④； 所以是方程组的解， 故答案为：②④． 10．【答案】（答案不唯一） 【知识点】判断是否是二元一次方程组的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 11．【答案】1 【知识点】二元一次方程的定义 【详解】解：∵ 方程是关于、的二元一次方程， ∴ 未知数的次数等于，即． 12．【答案】 【知识点】列代数式、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题主要考查了列代数式，列二元一次方程组，把原两位数的十位数字乘以10再加上个位数字可得原两位数，把原两位数的个位数字乘以10再加上十位数字可得新两位数，再根据原两位数的两个数字之和为11，新两位数比原两位数大63建立方程组即可． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，十位数字为， ∴原来的两位数为，现在的两位数为， ∴， 故答案为：；． 13．【答案】，， 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据图形找到等量关系.分三种情况找到等量关系，再列出二元一次方程组即可. 【详解】解：设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，就从右边长方形的宽60入手，找到相对应的两个等量关系：4×小长方形的宽＝60；一个小长方形的长＋一个小长方形的宽＝60.可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据2个小长方形的长等于1个小长方形的长加上3个小长方形的宽，一个小长方形的长＋一个小长方形的宽，可得方程组； 设每块长方形地砖的长和宽分别是x和y，，找到相对应的两个等量关系：根据1个小长方形的长等于3个小长方形的宽，4个小长方形的宽，可得方程组； 故答案为：，， 14．【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程，解题关键是正确理解题意并列出相应方程． 设，，由题意得出二元一次方程后，根据线段的长度与线段的长度都是整数得出、的值即可得解． 【详解】解：是线段的中点， ， 设，， 则依题意得：， 即， 得， 线段的长度与线段的长度都是整数， 则最大为，此时为小数，不符合题意； 时，，符合题意； 时，为小数，不符合题意． ． 15．【答案】三个小长方形花圃的总面积为24m2 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据大长方形的长与宽的长度即可得出关于 x 、 y 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设小长方形花圃的长为 xm ，小长方形花圃的宽为 ym ，根据题意得： ， 解得： ， ∴小长方形花圃的长为 4m ，小长方形花圃的宽为 2m ， 三个小长方形花圃的总面积为：3×（4×2）=24m2， 答：三个小长方形花圃的总面积为24m2. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据大长方形长与宽的长度列出关于 x 、 y 的二元一次方程组是解题的关键． 16．【答案】见解析；一班有48人，二班有52人 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据“一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%．如果一班学生的体育达标率为87.5%，二班学生的体育达标率为75%，”，列出二元一次方程组，解出即可求解． 【详解】解：设一、二两班分别有学生人数为x名、y名，根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ， 所以一班有48人，二班有52人； 一班达标人数为（人）， 二班达标人数为（人）， 两班达标人数总和为 （人）， 表格如下所示： 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 17．【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【知识点】数字类规律探索、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 18．【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减的应用、二元一次方程的解 【分析】本题考查了整式的加减运算，掌握新定义，掌握“满分数”的定义是解题的关键． （1）设“满分数”N为，根据“满分数”的定义，求出最小的“满分数”． （2）根据题意，可得，则，再根据 能被5整除，得出当a最大时，“满分数”最大，进而求出N的最大值． 【详解】（1）解：设“满分数”N为，则， 由题意可知，“满分数”各数位上的数字互不相等且均不为0， 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴，不合题意； 当，时， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴最小的“满分数”N为． 故答案为： （2）解：根据题意，若把一个“满分数”的千位数字与个位数字交换后得到的新数记为， ∴， ∴ ， ∴， ∵ 能被5整除， ∴ 能被5整除， ∴ 为整数． ∵，a、d为正整数， ∵， ∴当a为最大时，N的值最大， 当时， 为整数，且，则， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）， ∴当时， 为整数，且，则， ∴， ∴， ∴， ∴“满分数”N的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $