3.4实数的运算 同步讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“实数的运算”核心知识点，系统梳理实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算范围，明确运算顺序（先乘方开方、再乘除、后加减，括号优先）及有理数运算律的适用性，承接有理数运算知识，构建从有理数到实数的运算学习支架。 资料通过“典例-变式-过关验收”梯度设计，涵盖概念辨析（如判断无理数性质）、计算应用（如实数混合运算）及新定义运算（如※、⊕运算）等题型，培养运算能力、推理意识与模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生自查练习，有效查漏补缺。

第三章 3.4 实数的运算 内 容 导 航 题型1 实数的运算 考 点 演 练 题型1 实数的运算 解｜题｜知｜识 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【典例1】下列判断正确的是（　　） A．不带根号的数一定是有理数 B．若a2＞b2，则a＞b C．比大且比小的实数有无数个 D．两个无理数的和一定是无理数 【变式1】下列说法正确的是（　　） ①无理数是无限不循环小数； ②所有无理数都能用数轴上的点表示； ③绝对值等于其本身的数是0； ④两个无理数的和可能为有理数． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式2】下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】若实数x，y，使得这四个数中的三个数相等，则|y|﹣|x|的值等于（　　） A． B．0 C． D． 过 关 验 收 1．若a2＝9，2，则a+b＝（　　） A．﹣5 B．﹣11 C．﹣5或﹣11 D．±5或±11 2．若，，则a+b＝（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 3．实数a，b的位置如图，化简： 　 ． 4．若实数a，b满足：a是﹣8的立方根，，则a2+2b的值是　 　 ． 5．阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律、结合律与交换律．已知i2＝﹣1，则（i﹣1）（i+1）（i2+1）（i4+1）（i8+1）﹣i2的值是 　 　 ． 6．用“※”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，如．则m*（m*16）＝ ． 7．若对于实数x、y定义一种新运算：，则4⊕8＝　 　 ． 8．定义新运算：对于a，b有a☆b，如4☆2+3＝5，根据定义新运算，计算：9☆（﹣125）＝　 　 ． 9．计算： （1）； （2）． 10．计算：． 11．对于任意实数a，b，定义一种新运算⊕：a⊕b＝（a+1）2+（b+1）2，例如：1⊕2＝（1+1）2+（2+1）2＝13． （1）（﹣2）⊕3＝ 　 　 ； （2）求2⊕[（﹣1）⊕（﹣3）]的平方根； （3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 12．计算：． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 14．计算： （1）﹣8÷4+3×（﹣5）． （2）． 15．计算： （1）； （2）． 16．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 3.4 实数的运算 内 容 导 航 题型1 实数的运算 考 点 演 练 题型1 实数的运算 解｜题｜知｜识 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【典例1】下列判断正确的是（　　） A．不带根号的数一定是有理数 B．若a2＞b2，则a＞b C．比大且比小的实数有无数个 D．两个无理数的和一定是无理数 【答案】C 【解答】解：2，它不是无理数，则A不符合题意， 当a＝﹣2，b＝1时，a2＞b2，a＜b，则B不符合题意， 比大比小的实数有无数个，则C符合题意， ，0是有理数，则D不符合题意， 故选：C． 【变式1】下列说法正确的是（　　） ①无理数是无限不循环小数； ②所有无理数都能用数轴上的点表示； ③绝对值等于其本身的数是0； ④两个无理数的和可能为有理数． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【解答】解：无理数是无限不循环小数，则①正确； 实数与数轴上的点是一一对应关系，则所有无理数都能用数轴上的点表示，那么②正确； 绝对值等于其本身的数是0和正数，则③错误； 与的和为0，它是有理数，则④正确； 综上，正确的是①②④， 故选：D． 【变式2】下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵2， ∴选项A不符合题意； ∵2， ∴选项B不符合题意； ∵2， ∴选项C符合题意； ∵， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 【变式3】若实数x，y，使得这四个数中的三个数相等，则|y|﹣|x|的值等于（　　） A． B．0 C． D． 【答案】C 【解答】解：因为有意义，所以y不为0，故x+y和x﹣y不等 （1）x+y＝xy解得y＝﹣1，x， （2）x﹣y＝xy解得y＝﹣1，x， 所以|y|﹣|x|＝1． 故选：C． 过 关 验 收 1．若a2＝9，2，则a+b＝（　　） A．﹣5 B．﹣11 C．﹣5或﹣11 D．±5或±11 【答案】C 【解答】解：∵a2＝9，2， ∴a＝3或﹣3，b＝﹣8， 则a+b＝﹣5或﹣11， 故选：C． 2．若，，则a+b＝（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【答案】D 【解答】解：∵5，1， ∴a+b＝﹣5﹣1＝﹣6， 故选：D． 3．实数a，b的位置如图，化简： 　﹣2b ． 【答案】﹣2b． 【解答】解：由数轴可知a＜0＜b，|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0，a+b＜0， ∴原式＝﹣（a+b）+（a﹣b）＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b． 故答案为：﹣2b． 4．若实数a，b满足：a是﹣8的立方根，，则a2+2b的值是　14或﹣6　 ． 【答案】14或﹣6． 【解答】解：∵a是﹣8的立方根， ∴a＝﹣2， ∵， ∴b2＝25， ∴b＝±5， ∴当b＝5时，a2+2b＝4+2×5＝14； 当b＝﹣5时，a2+2b＝4﹣2×5＝﹣6． 故a2+2b的值是14或﹣6． 故答案为：14或﹣6． 5．阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律、结合律与交换律．已知i2＝﹣1，则（i﹣1）（i+1）（i2+1）（i4+1）（i8+1）﹣i2的值是 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：∵i2＝﹣1， ∴（i﹣1）（i+1）（i2+1）（i4+1）（i8+1）﹣i2 ＝（i2﹣1）（i2+1）（i4+1）（i8+1）﹣i2 ＝（i4﹣1）（i4+1）（i8+1）﹣i2 ＝（i8﹣1）（i8+1）﹣i2 ＝i16﹣1﹣i2 ＝（i2）8﹣1﹣i2 ＝（﹣1）8﹣1﹣（﹣1） ＝1﹣1+1 ＝1． 故答案为：1． 6．用“※”表示一种新运算：对于任意正实数a，b，都有，如．则m*（m*16）＝　　 ． 【答案】 【解答】解：m*（m*16） ＝m*（1） ＝m*5 1． 故答案为：1． 7．若对于实数x、y定义一种新运算：，则4⊕8＝　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：根据题意得：． 故答案为：6． 8．定义新运算：对于a，b有a☆b，如4☆2+3＝5，根据定义新运算，计算：9☆（﹣125）＝　8　 ． 【答案】8 【解答】解：由题意得： 9☆（﹣125） ＝3﹣（﹣5） ＝3+5 ＝8， 故答案为：8． 9．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣8；（2）7． 【解答】解：（1）原式＝9÷（﹣3）﹣5 ＝﹣3﹣5 ＝﹣8； （2）原式＝4+4+1﹣2＝7． 10．计算：． 【答案】17． 【解答】解： ＝﹣1+1+9﹣（﹣8） ＝17． 11．对于任意实数a，b，定义一种新运算⊕：a⊕b＝（a+1）2+（b+1）2，例如：1⊕2＝（1+1）2+（2+1）2＝13． （1）（﹣2）⊕3＝ 　17　 ； （2）求2⊕[（﹣1）⊕（﹣3）]的平方根； （3）我们知道，实数的加法运算和乘法运算都满足交换律，试问实数a，b的这种新运算⊕是否也满足交换律？请说明理由． 【答案】（1）17； （2）±； （3）满足，理由见解答． 【解答】解：（1）根据题中的新定义得： （﹣2）⊕3＝（﹣2+1）2+（3+1）2＝1+16＝17； 故答案为：17； （2）原式＝2⊕[（﹣1+1）2+（﹣3+1）2]＝2⊕4＝9+25＝34， 则34的平方根是±； （3）满足交换律，理由为： ∵a⊕b＝（a+1）2+（b+1）2，b⊕a＝（b+1）2+（a+1）2＝（a+1）2+（b+1）2， ∴a⊕b＝b⊕a． 12．计算：． 【答案】． 【解答】解： ＝﹣1 ． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）0； （2）﹣13； （3）； （4）﹣13； （5）6； （6）16． 【解答】解：（1） ＝4﹣4 ＝0； （2） ＝﹣1﹣6﹣6 ＝﹣13； （3） ； （4） ＝﹣4+3﹣6﹣6 ＝﹣13； （5） ＝2+3+1 ＝6； （6） ＝7+7（2） ＝142 ＝16． 14．计算： （1）﹣8÷4+3×（﹣5）． （2）． 【答案】（1）﹣17； （2）﹣1． 【解答】解：（1）﹣8÷4+3×（﹣5） ＝﹣2+（﹣15） ＝﹣17； （2）原式＝4﹣2+（﹣3） ＝﹣1． 15．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣4；（2）﹣13． 【解答】解：（1） ＝﹣8+8﹣4 ＝﹣4． （2） ＝121216 ＝9﹣6﹣16 ＝3﹣16 ＝﹣13． 16．实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为5，求代数式的值． 【答案】26． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是5， ∴a+b＝0，cd＝1，|x|＝5，即x2＝25， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $