精品解析：山东日照第一中学西校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

2026年日照一中西校高三开学考试数学试卷 一、单选题 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以，所以． 2. 已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义分析判断. 【详解】当时，数列不一定为递增数列，如数列，公比，而此数列为递减数列， 当为递增数列时，，则 或， 所以当为递增数列时，成立， 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义，再利用任意角的正弦函数值求解 【详解】当时，，故当时，有周期. 故. 而 故选： 4. 已知角的终边在第一象限，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 又的终边在第一象限，，所以， 所以． 5. 若以点，，为元素构成的集合有个子集，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：由条件可得集合只有两个元素，讨论列方程求. 方法二：代入选项依次验证条件即可. 【详解】因为以点，，为元素构成的集合有个子集，则集合只有两个元素， 所以三个点中恰有个相同，另外一个不同， 当与相同时，则， 所以，， 此时或，，满足条件， 当与相同时，则，，解得，， 此时，，满足条件， 当与相同时，则，，满足条件的不存在， 故选项B正确， 方法二： 当时，集合满足条件，故B正确; 当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意； 当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意； 当时，三点的坐标依次为，集合M有三个元素，不满足题意； 综上，可以是. 6. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用可以求解的向量来表示. 【详解】记圆心为，则， 因为互为相反向量， 所以， 因为正六边形ABCDEF的边长为2，为正六边形的中心， 所以当与正六边形顶点重合时，有最大值2， 当在正六边形边上的中点处时，有最小值，此时. 所以. 故选：B 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，分析可知函数为增函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性及单调性可得恒成立，换元令，结合函数最值运算求解. 【详解】令，函数的定义域为，为增函数， 且， 所以函数为奇函数， 所以若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 即， 令， 则恒成立， 因为在区间上的最大值为， 所以的取值范围是. 8. 若方程的三个根成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，转化问题为直线与图象的交点问题，结合导数作出函数图象，进而求解即可. 【详解】由，得，所以. 设. 方程的根等价于直线与图象的交点的横坐标. 因为函数的导数为， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又时，，时，， 作出的大致图象，如下图： 则（*）， 因为成等比数列，设公比为， 所以，， 代入（*）式得， 由，得，即， 所以，解得， 代入，可得， 整理得，解得或（舍去），则公比为. 二、多选题 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互相垂直 B. 与向量共线的单位向量为 C. ，可以作为平面内的一组基底 D. 向量在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查平面向量的核心性质，结合向量垂直判定、共线单位向量求解、基底定义、投影向量公式即可求解. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，向量共线的单位向量为，故B错误； 对于C，平面向量，，所以，不共线，所以，可以作为平面内的一组基底，故C正确； 对于D，向量在上的投影向量，故D错误. 10. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合三角形内角性质、余弦函数单调性、正弦定理及三角恒等变换，逐一判断各选项的正确性. 【详解】在中，若，由大角对大边得， 根据正弦定理，可得，即，选项A错误； 在中，因为，所以函数在上单调递减， 所以，选项B正确； 在中，若，则、、中至少有一个为负数， 那么角，，中至少有一个钝角，所以为钝角三角形，选项C正确； 在中，若，所以由正弦定理可得，即 又，所以， 得或，即或所以为等腰三角形或直角三角形，选项D正确. 11. 已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 的个位数字为7 D. 为完全平方数 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，根据韦达定理推导数列的递推关系，并求出即可；选项B，将的表达式代入，利用韦达定理化简得到通式后判断；选项C，计算前若干项的个位数字，找到周期，再根据周期取余得到对应个位数字；选项D，利用的表达式，结合的幂次的变形推导其结构，再代入判断是否为完全平方数. 【详解】由于是方程的根，则有： 两边同乘，可得递推关系：， 则，即 等式两侧同除以2，可得 故数列的递推公式：， ，. 选项A：，A正确. 选项B：化简，结合展开得： ，B错误. 选项C：依次计算可得：，，， ，， ， 经过计算，从往后，可得个位数循环节为：，即周期为6， 所以，余数为，对应个位数字为，C正确. 选项D：由 代入得： ，可得，是完全平方数，D正确. 三、填空题 12. 已知角的终边经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义，由终边上一点的坐标求该点到原点的距离，再求正弦值． 【详解】因为角的终边经过点，所以． 因此． 13. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 14. 已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是___. 【答案】 【解析】 【分析】作出的大致图象，令，再根据二次函数零点分布列不等式组即可求解. 【详解】当时，，， 当时，，函数单调递增； 当，，函数单调递减； 当时，，，此时函数为增函数， 作出函数的图象如图： 设，则时，有3个根， 当时，有2个根 当时，有1个根， 当时，有0个根， 则有四个相异的实数根， 等价为有2个相异的实数根， 其中，， 设， ，解得 故答案为: 四、解答题 15. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式； 【答案】（1）因为, 所以有, 当时,, 所以, 所以数列是以12为首项，4为公比的等比数列. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， ， 所以， 等式两边同除， ， 令，则， 构造：， 则数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以， 还原. 16. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【小问1详解】 ∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 ∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． （1）若，求边上的角平分线长； （2）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理结合两角和的正弦求出，再根据余弦定理及已知得，然后利用面积分割法列方程求解即可； （2）利用向量加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 即， 即， 所以，因为，所以. 因为，所以. 由余弦定理得，又，所以， 由得， 所以，所以，解得. 【小问2详解】 因为为的中点，所以， 则， 由正弦定理得 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以， 即边上的中线的取值范围为. 18. 已知函数，． （1）若，求的极值点； （2）若，都有，求的取值范围； （3）证明：，有． 【答案】（1）有极小值点，无极大值点． （2） （3）由（2）知， 令，则， 所以， 即， 所以． 【解析】 【分析】（1）代入求导并通分，解导数零点，根据定义域舍去负根，再由导数正负划分单调区间，判定极小值点； （2）化简导数分子为二次函数，以分界分类：时导数恒非负，函数在递增，；时处导数为负，存在正区间函数递减致，舍去，得； （3）借用（2）结论，令作放缩证明，对到累加，左边对数合并化简为，右边即为待证求和式，得证． 【小问1详解】 当时，，， ， 令，则，， 解得，（舍去）， 时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以有极小值点，无极大值点． 【小问2详解】 ，， 由基本不等式知， 当时，，， 则函数在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，， 记， 则是开口向上，对称轴为的二次函数． 又， 所以在上单调递减，则. 所以时，，单调递减，， 不符合题意， 综上． 【小问3详解】 略 19. 若将图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则称为“旋转函数”． （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【小问1详解】 函数不是“旋转函数”，理由如下： 的斜率为，倾斜角为，逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，不满足函数定义， 因此函数不是“旋转函数”. 【小问2详解】 由题意可知，函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 即函数与函数最多有1个交点， 所以函数在上单调， 因为，所以， 若恒成立，则恒成立，则， 因为，所以，矛盾， 所以，所以， 即，得，所以的最大值为. 【小问3详解】 由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当趋于0时，趋于， 所以， 令，则， 因为在上单调递减，且， 所以存在，使得， 即， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，即， 所以的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年日照一中西校高三开学考试数学试卷 一、单选题 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是公比为q的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边在第一象限，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若以点，，为元素构成的集合有个子集，则可以是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若方程的三个根成等比数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 3 二、多选题 9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 与互相垂直 B. 与向量共线的单位向量为 C. ，可以作为平面内的一组基底 D. 向量在上的投影向量为 10. 在中，角，，的对边分别是，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 11. 已知，为方程的两个实根，设，下列结论正确的是（ ） A. B. 存在，使得 C. 的个位数字为7 D. 为完全平方数 三、填空题 12. 已知角的终边经过点，则________． 13. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 14. 已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是___. 四、解答题 15. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式； 16. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，若且，求周长的取值范围． 17. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． （1）若，求边上的角平分线长； （2）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18. 已知函数，． （1）若，求的极值点； （2）若，都有，求的取值范围； （3）证明：，有． 19. 若将图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则称为“旋转函数”． （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $