吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高二数学开学考聚焦立体几何、向量、三角函数等核心知识，通过动态几何情境（如正方体动点）、实际应用问题（如容器盛水）考查空间观念、运算能力与推理意识，实现基础巩固与能力提升的分层检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|三棱柱结构、向量共线、三角函数平移|结合容器盛水情境考查空间几何体识别| |多选题|3/18|向量夹角、解三角形多解性、正方体动点|通过正方体动态问题设计探究性选项| |填空题|3/15|三角函数对称轴、向量化简、外接球表面积|设置开放性问题（如对称轴方程）| |解答题|5/77|三角恒等变换、直三棱柱证明、函数零点、翻折问题|19题翻折问题综合考查空间想象与转化思想|

高二数学开学考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知分别为的三个内角的对边，若，则角（ ） A. 或 B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. 若为非零向量，则与同向 D. 在等边三角形中，与的夹角为 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出函数的一个对称轴方程为__________. 13. 化简：__________. 14. 在三棱锥中，与都是边长为的等边三角形.若，则三棱锥外接球的表面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）求和的值； （2）若，求的值． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点， （1）求证:平面; （2）求证:; （3）若，求三棱锥的体积． 17. 已知为锐角，且. （1）求； （2）求. 18. 已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）求在上的单调递减区间； （3）若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 19. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． BCCDB BDC 9ACD 10BCD 11ABC 12 13 1 14 ## 15 【小问1详解】 由，且， 将两边同时平方并整理得：，所以， 故，， 方法一：由， 解得：， 方法二：由题意可得， 于是， 所以， 解得：，. 【小问2详解】 由（1）知，， 可得， 又， 所以． 16 【答案】（1）证明：在中，，分别为，的中点， 于是， 由直三棱柱可得：， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：在中，为的中点且， 可得， 由直三棱柱可得，平面， 又平面，， 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （3）当，且，D，E分别为的中点， 所以是边长为1的正三角形， 由直三棱柱可得，平面，即为三棱锥的高 则 17【小问1详解】 因为为锐角，且，可得，所以， 则. 【小问2详解】 . 18【小问1详解】 由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； 【小问2详解】 由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； 【小问3详解】 因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 19【答案】（1）证明：连接， 因为底面，平面， 所以，， 因为，，平面，所以⊥平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以平行四边形为正方形， 所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以； （2） 【小问2详解】 在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示： 因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 学科网（北京）股份有限公司 $