吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

高二数学开学考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若m，n是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 4. 二进制是以2为基数代表系统的二进制，通常用0和1表示.二进制化为十进制的计算公式如下：.若从二进制数，，，，，中任选一个，则二进制数所对应的十进制数大于3的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 6. 已知向量满足且，，，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 黄山市境内风光奇绝，拥有12处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特旅游魅力．对于两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择景点出游的概率为，选择景点出游的概率为，两个景点都不选的概率为，则两个景点都选的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 一封闭圆锥容器的轴截面是边长为的等边三角形，一个半径为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（ ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的众数<平均数<中位数 C. 图（2）的众数<中位数<平均数 D. 图（3）的中位数平均数众数 10. 如图，在正四棱柱中，底面正方形边长为， ，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 已知直线为平面和平面ABCD 的交线，则平面内存在直线与平行 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角最大时， D. 的最小值为 11. 在中，角所对的边分别为且 ，为角的平分线交BC于D，则（ ） A. B. 的面积为 C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________． 13. 已知函数是幂函数，则的值为__________． 14. 在圆中，已知弦，则的值为_________． 四、解答题（共5大题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求 （2）若，面积为，求的周长． 16. 某学校为了解本校历史､物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图： 已知乙样本中数据在的有10个. （1）求和乙样本直方图中的值； （2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）； 17. 如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面 （Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值. 18. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． （1）求角B； （2）若，求面积的最大值； （3）求的取值范围． 19. 图所示，在直角梯形中，分别是上的点，且，，，将四边形沿向上翻折，连接，在翻折的过程中，设，记几何体的体积为． （1）求证：平面； （2）若平面平面． ①求证：平面； ②当取得最大值时，求的值． BADCC CBA 9AC 10BC 11ACD 12 13 或 14 2 15【1】 因为，，（为外接圆的半径）， 又因为， 所以，即， 所以， 由余弦定理得， 因为，所以． 【2】 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以的周长为6 16【1】 由直方图可知，乙样本中数据在的频率为， 则，解得； 由乙样本数据直方图可知，， 解得. 【2】 甲样本数据的平均值估计值为 ； 乙样本数据直方图中前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为，所以乙样本数据的中位数在第4组. 设中位数为，，解得，所以乙样本数据的中位数为82. 【3】 乙样本中数学成绩在85分以上的学生频率为， 由样本估计总体得（人）， 故历史方向的学生数学成绩在85分以上的有114人. 17：（Ⅰ）以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，. ∴，，， ∴，， ∴，， 又，平面，平面， ∴平面，∵平面， ∴平面平面 （Ⅱ），， 设是平面的一个法向量，则， ∴， 令，则，，即， ∴，，， ∴. ∴直线与平面所成角的正弦值为. 18【1】 因为， 根据正弦定理得：， 且， 可得， 即， 又因为，则， 可得，整理可得， 且，则， 可得，解得. 【2】 由余弦定理得：，即， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积为：， 故面积的最大值为. 【3】 根据正弦定理得： ， 令，则， 可得， 将原式化为：， 因为，则，可得， 根据二次函数的图像性质得到， 当时，原式取得最小值，； 当时，原式取得最大值，； 故的取值范围为. 19【1】 证明：根据题意可知， 因为平面，平面，所以平面， 同理，因为平面，平面，所以平面， 又因为是平面内的两条相交直线，所以平面平面， 因为平面，所以平面 【2】 ①证明：过点作交于点， 因为平面平面，平面平面，所以平面 又平面，则； 根据题意平面图形翻折后，且是平面内两条相交直线， 所以平面. 又平面，则 因为是平面内两条相交直线，所以平面 ②法一： 直角梯形中，，且在平面上， 由①可知平面.所以平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以到底面的距离为， 在中，设点到的高，即 因平面，所以， 因为，所以平面， 设点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式 几何体的体积为 取的中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，所以平面，又因为平面，所以 在中，， 在中，， 在中，，化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立 故当取得最大值时，即取得最小值， 所以几何体体积 法二： 直角梯形中，，且在平面上， 由①可知平面.所以平面， 由（1）可知由题意平面平面， 所以点到底面的距离为， 在中，设点到的高，即 因为平面，所以， 因为，所以平面， 设点到底面的高为， 在中，根据三角形的面积公式 几何体的体积为 ． 过点作的垂线交直线于，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， 令，可得， 设平面的法向量为， 令，可得， 因为平面平面，所以， 化简得到， 因为，所以，当且仅当时等号成立 故当取得最大值时，即取得最小值， 所以几何体体积 学科网（北京）股份有限公司 $