18.3 分式的加法与减法 课时作业 2026-2027学年人教版数学 八年级 上册

**基本信息** 人教版八年级数学“分式的加法与减法”同步练，通过A/B/C/D组分层设计，实现从基础运算到综合应用的知识巩固，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|同分母加减、最简公分母确定|选择填空夯实基础，解答题强化基本运算| |B组|异分母加减、混合运算|化简求值结合实际问题，培养应用意识| |C组|分式综合变形、拓展探究|含参数问题提升抽象能力，发展创新意识| |D组|常见错误诊断|符号处理、通分漏乘等易错点分析，强化推理意识|

人教版数学八年级上册 第十八章　分式 18.3　分式的加法与减法　·　课时作业（含答案与解析） 一、学习目标 1．理解同分母分式加减法则，能熟练进行同分母分式的加减运算。 2．理解通分的意义，会确定几个分式的最简公分母，掌握异分母分式的加减法则。 3．能进行分式的加、减、乘、除混合运算，并将结果化为最简分式。 4．会用分式的加减运算解决简单的实际问题，体会数学建模思想。 二、知识梳理 知识点 1 同分母分式的加减法则 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为： （） 易错提醒 当分子是多项式时，减号后面的分子必须先添括号再去括号。如 ，切不可漏掉括号写成 。 知识点 2 最简公分母的确定 通分时所用的公分母，通常取各分母的最简公分母。确定方法： （1）系数：取各分母系数的最小公倍数； （2）字母：取各分母中出现的所有字母（或因式）； （3）指数：相同字母（或因式）取最高次幂； （4）若分母是多项式，应先分解因式，再按上述方法确定。 分 母 分解因式后 最简公分母 与 —— 与 —— 与 与 与 知识点 3 异分母分式的加减法则 异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。用式子表示为： （，） 图 18-3-1 分式加减运算的思路 知识点 4 分式加减运算的一般步骤 ① 分母是多项式的先分解因式；② 确定最简公分母并通分；③ 按同分母分式法则加减；④ 分子去括号、合并同类项；⑤ 约分，把结果化为最简分式或整式。 方法归纳 遇到 与 这样只差一个符号的分母，利用 先统一符号，可以大大简化通分。整式可以看作分母为 1 的分式参与通分。 三、典例精析 【例 1】（同分母加减）计算：。 解：原式 。 点评：同分母加减后一定要检查分子能否分解因式并约分，结果必须是最简分式或整式。 【例 2】（异分母加减）计算：。 解：最简公分母为 ， 原式 。 【例 3】（分母需分解因式）计算：。 解：，最简公分母为 ， 原式 。 【例 4】（整式与分式相加）计算：。 解：原式 。 点评：把整式看成分母是 1 的分式，再与其余分式通分即可。 【例 5】（混合运算）计算：。 解：先算括号内：， 原式 。 点评：混合运算的顺序是先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里面的。 【例 6】（化简求值）先化简，再求值：，其中 。 解：原式 。 当 时，原式 。 思维提升 本题化简结果是常数 2，与 的取值无关。遇到含"大数值"的求值题，先化简往往能避开繁琐计算——这正是化简的价值所在。 【例 7】（实际应用）如图 18-3-2，一段公路全长 a 米，甲队每天修 m 米，乙队每天修 n 米（m > n）。 图 18-3-2 公路施工示意图 （1）甲队单独完成需要多少天？乙队单独完成需要多少天？ （2）乙队单独完成比甲队单独完成多用多少天？ 解：（1）甲队需要 天，乙队需要 天。 （2）（天）。 答：乙队比甲队多用 天。 四、课时作业 A 组 基础巩固（每小题 3 分，共 42 分） （一）选择题 1．计算 的结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．下列各式计算正确的是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 3．分式 ，， 的最简公分母是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 4．化简 的结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 5．若 ，则 的值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 6．计算 的结果是（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 7．已知 ，则 的值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 8．若 对一切使等式有意义的 都成立，则 ， 的值分别为（　　） A．，　　　B．，　　　C．，　　　D．， （二）填空题 9．计算： ____________。 10．计算： ____________。 11．分式 与 的最简公分母是 ____________。 12．化简： ____________。 13．化简： ____________。 14．已知 ，则 ____________。 （三）解答题 15．（12 分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）。 16．（8 分）先化简，再求值： （1），其中 ； （2），其中 。 17．（6 分）如图 18-3-3，某人从甲地到乙地，路程为 s 千米。去时的速度为 a 千米/时，返回时的速度为 b 千米/时。 图 18-3-3 往返路程示意图 （1）用含 s，a，b 的式子表示往返一次所用的总时间； （2）若 s = 60，a = 20，b = 30，求往返一次共用多少小时。 18．（6 分）阅读并解答：由于 ，所以 。请利用这一结论计算： 。 B 组 能力提升（共 40 分） 19．（4 分）若 （），则 的值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 20．（4 分）已知 ，则 的值为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 21．（4 分）已知 ，，，则 ____________。 22．（4 分）化简： ____________。 23．（4 分）若 ，则 ________， ________。 24．（8 分）先化简 ，再从 ，，， 中选一个合适的数代入求值。 25．（8 分）观察下列等式： ，，，…… （1）猜想并写出第 个等式； （2）计算 ； （3）计算 。 26．（8 分）在例 7 的图中，甲、乙两地相距 s 千米。某人骑车从甲地到乙地的速度为 a 千米/时，返回时的速度为 b 千米/时（a ≠ b）。 （1）求他往返一次的平均速度（用含 a，b 的式子表示）； （2）有同学认为平均速度就是 ，你同意吗？请说明理由。 C 组 拓展探究（共 18 分） 27．（8 分）已知 ，求 的值。 28．（10 分）已知 ，求 的值。 D 组 易错诊断（共 8 分） 下面是四位同学的解答，请判断是否正确。若不正确，请指出错在哪里并写出正确结果。 29．小明：。 30．小红：。 31．小刚：。 32．小丽：。 33．（附加）计算：。 34．（附加）已知 ，求 的值。 五、参考答案与解析 A 组 基础巩固 一、选择题 1．A。【解析】，故原式 。本题关键是把 变形为 ，统一分母。 2．B。【解析】A 项分式相加不能"分子加分子、分母加分母"；C 项同分母相加分母不变，应为 ；D 项结果为 。B 项 ，正确。 3．A。【解析】系数 2，3，4 的最小公倍数是 12；字母 的最高次幂是 ， 的最高次幂是 。故最简公分母为 。 4．A。【解析】原式 。 5．B。【解析】，而 。 6．B。【解析】，原式 。 7．C。【解析】两边平方得 ，所以 。 8．A。【解析】通分得 ，故 。由对应项系数相等得 ，，解得 。 二、填空题 9．。【解析】原式 。 10．。【解析】，原式 。 11．。【解析】，，取所有因式的最高次幂即得。 12．。【解析】原式 。 13．。【解析】，原式 。 14．。【解析】。 三、解答题 15．【解析】 （1）原式 。 （2）最简公分母为 。 原式 。 （3）原式 。 （4）原式 。 阅卷提示 第（2）小题中 前面的负号必须作用于整个乘积，展开时先算 ，再整体变号，这是本题最大的失分点。 16．【解析】 （1）原式 。 当 时，原式 。 （2）原式 。 当 时，原式 。（注意 ，， 符合要求。） 17．【解析】 （1）去时用时 小时，返回用时 小时， 总时间为 （小时）。 （2）当 ，， 时，总时间 （小时）。 答：往返一次共用 5 小时。 18．【解析】 原式 。 点评：这种"拆项相消"的方法叫做裂项相消法，是处理连续分式求和的重要技巧。 B 组 能力提升 19．A。【解析】由 ，交叉相乘得 ，即 ，展开得 ，所以 。故 。 20．A。【解析】由 知 ，两边同除以 得 ，即 。两边平方：，所以 。 21．。【解析】三式相加得 ，故 。（进一步可得 ，，。） 22．。【解析】依次合并：；；。每一步都用到平方差公式，这种"逐项归并"的结构值得记忆。 23．，。【解析】右边通分得 ，故 ，得 ，，解得 ，。 24．【解析】 ，，最简公分母为 。 括号内 ， 原式 。 要使原式有意义，需 ，，，所以只能取 或 。 取 时，原式 。（若取 ，原式 。） 25．【解析】 （1）第 个等式为 （ 为正整数）。 （2）原式 。 （3）因为 ，同理可拆其余两项， 所以原式 。 点评：当两个因式相差 2 时，拆项要补上系数 ½，这是易错之处。 26．【解析】 （1）往返总路程为 千米，总时间为 小时， 平均速度 （千米/时）。 （2）不同意。平均速度等于总路程除以总时间，而不是两个速度的算术平均。例如取 ，，则实际平均速度为 千米/时，而 千米/时，两者并不相等。 C 组 拓展探究 27．【解析】 因为 ，所以 。将所求分式的分子、分母同时除以 ： 原式 。 由 得 ， 所以原式 。 方法点拨 分子分母同时除以 ，把 转化为含 的形式，是解决此类"倒数和"问题的通用手段。 28．【解析】 分两种情况讨论。 ① 当 时，由等比性质（或分别写出 ，， 后相加）得 ， 两边同除以 ，得 ，即 。 ② 当 时，，所以 （此时 ，， 均不为 0）。 综上， 或 。 易错警示 很多同学只想到直接相加得到 ½，却忽略了分母 x + y + z 可能为 0 的情形。凡是要"两边同除以某个式子"，都必须先讨论它是否为零。 D 组 易错诊断 29．不正确。【错因】减号后面的分子 是多项式，去括号时必须每一项都变号。 正确解法：原式 。 30．不正确。【错因】把分式加法误当成了"分母相加"，这是初学分式最常见的错误。分式相加必须先通分。 正确解法：原式 。 31．不正确。【错因】 与 互为相反数，通分前必须先变号：。 正确解法：原式 。 32．不正确。【错因】第二个分式的分母只是 ，还没有化成公分母 就直接把分子相加了。通分时分子必须同时乘上相应的因式。 正确解法：原式 。 33．【解析】，最简公分母为 。 原式 。 34．【解析】由 ，得 ，即 。 原式 。 点评：这类题的通法是把条件整理成 a − b 与 ab 的关系，再对所求式的分子、分母整体代换。 六、学习反思 自我评价项目 完全掌握 基本掌握 需再练习 能准确确定几个分式的最简公分母 □ □ □ 通分时不漏乘、不错乘，符号处理正确 □ □ □ 分子是多项式时能正确添括号 □ □ □ 能把运算结果化为最简分式 □ □ □ 能用分式解决简单的实际问题 □ □ □ 本节课我的错题记录（题号）： 我还没有弄懂的问题： 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $