专题 2.5 有理数的乘方 基础知识专项突破讲与练- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方定义（底数、指数、幂）、符号法则（正负数及0的乘方规律）、与的区别（底数及运算顺序）、科学记数法（表示与还原），构建从乘法到乘方应用的完整知识链。 资料以知识梳理+分层题型+同步检测为特色，通过高频易错总结（如负数底数括号问题）培养抽象能力，基础计算与辨析提升运算能力，实际应用题（如银行存款摞高度）发展模型意识，课中辅助分层教学，课后助学生查漏补缺。

专题 2.5 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】乘方的定义 2 【知识点二】有理数乘方符号法则 2 【知识点三】与的区别 2 【知识点四】科学记数法 2 【知识点五】高频易错总结 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型1】连乘算式与乘方形式互化 3 【题型2】基础乘方计算 4 【题型3】乘方式子辨析 4 【题型4】科学记数法的表示与还原 5 四.题型精析（综合提升） 5 【题型5】乘方实际应用题 5 五.同步检测 6 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 6 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 7 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 8 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解有理数乘方的定义，掌握底数、指数、幂的概念，能熟练进行连乘算式与乘方形式的互化。 2. 掌握有理数乘方的符号法则，能准确计算正数、负数、0的乘方运算。 3. 明确区分与的区别，规避易错运算问题。 4. 掌握科学记数法的概念，能正确表示大数、还原原数并进行简单运算。 5. 学会运用乘方知识解决生活中的实际应用问题。 （二）重难点 重点：有理数乘方的定义和符号规律；科学记数法的运用。 难点：区分与；负数、分数底数的规范书写；科学记数法指数的确定。 二.知识梳理与解读 【知识点一】乘方的定义 求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作。其中是底数，是指数。即 【要点提示】一个数的一次方，指数1省略不写；一个数的二次方也叫平方，三次方也叫立方；底数为负数或分数时，必须添加括号。 【知识点二】有理数乘方符号法则 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 的奇次幂为，的偶次幂为。 【知识点三】与的区别 1. ：底数是，表示个相乘； 2. ：底数是，表示的相反数，先算乘方，再取反。 举例：，，二者底数、运算顺序、结果均不同。 【知识点四】科学记数法 把一个绝对值大于10的数表示成（，为正整数）的形式，叫做科学记数法。 【要点提示】的值等于原数的整数位数减1；将科学记数法还原为原数时，将的小数点向右移动位。同指数的科学记数法可以直接合并运算，运算后需规范的取值范围。 【知识点五】高频易错总结 1. 负数、分数作底数时，遗漏括号，导致底数判定错误； 2. 混淆与的运算顺序，计算符号出错； 3. 科学记数法中取值不规范，指数统计错误。 三.题型精析（基础夯实） 【题型1】连乘算式与乘方形式互化 解题技巧：相同因数作为底数，因数个数作为指数；负数、分数作为底数必须添加括号，保证式子意义准确。 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【变式1】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）； （2）； （3）． 【题型2】基础乘方计算 解题技巧：先根据符号法则判断结果正负，再计算底数绝对值的乘方，简化运算步骤。 【例题2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·陕西·期末）下列四个数：，，，，其中负数有_________个． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题： （1）； （2）． 【题型3】乘方式子辨析 解题技巧：重点观察式子是否带有括号，区分底数差异，严格按照先乘方后取相反数的顺序计算。 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）有下列算式：①；②；③；④；⑤，其中计算错误的是_______．（填序号） 【变式3】（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【题型4】科学记数法的表示与还原 解题技巧：改写大数时找准的范围，通过整数位数确定指数；还原原数时，按指数位数移动小数点即可。 【例题4】（25-26七年级上·全国·单元复习）下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 【变式1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长．展现出我国邮政快递业强劲的增长动力．将“645.7亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【变式3】（25-26七年级下·北京·课后作业）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 四.题型精析（综合提升） 【题型5】乘方实际应用题 解题技巧：找准事物变化的次数与变化规律，用乘方列式计算，最后结合题意作答。 【例题5】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） （1）经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ （2）一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【变式3】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： （1）________；（写出结果） （2）________； （3）计算的值． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果a与b互为相反数，x与y互为倒数，且有，那么代数式的值为（　　） A．3 B． C． D．或 4．（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江丽水·模拟预测）数据2200000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 7．（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 10．（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 12．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知，则的值是________． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）一个数的倒数等于它本身，这个数的立方也等于其本身，这个数是______． 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知，则______． 15．（25-26六年级上·上海静安·期末）有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 16．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）某数用科学记数法表示为，请写出原数__________________． 17．（2025·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 18．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一个人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录摘得的果子的数目．请根据图，计算他一共摘了____________个果子． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级上·全国·课前预习）讨论：观察下面两个式子有什么不同？ （1）（－4）2与－42； （2）与 20．（本小题满分8分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）把下列各数序号按各数从小到大的顺序号填入相应的括号内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                      } 整数集：{                      } 负分数集：{                      } 有理数集：{                      } 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： （1）； （2）． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）一次数学测验中有一道题：若，求的值．试卷发下来后，小刚发现自己的答案是错误的： 解：由，得， ∴，， ∴； 小刚怎么也找不出错误的原因．聪明的同学，请你帮助小刚同学找出错误的步骤并改正过来． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． （1）请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； （2）请仿照小亮的做法验证（1）的结论； （3）在上面的两种做法中任选一种计算的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.5 有理数的乘方（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】乘方的定义 2 【知识点二】有理数乘方符号法则 2 【知识点三】与的区别 2 【知识点四】科学记数法 2 【知识点五】高频易错总结 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型1】连乘算式与乘方形式互化 3 【题型2】基础乘方计算 5 【题型3】乘方式子辨析 7 【题型4】科学记数法的表示与还原 10 四.题型精析（综合提升） 11 【题型5】乘方实际应用题 11 五.同步检测 13 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 13 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 20 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解有理数乘方的定义，掌握底数、指数、幂的概念，能熟练进行连乘算式与乘方形式的互化。 2. 掌握有理数乘方的符号法则，能准确计算正数、负数、0的乘方运算。 3. 明确区分与的区别，规避易错运算问题。 4. 掌握科学记数法的概念，能正确表示大数、还原原数并进行简单运算。 5. 学会运用乘方知识解决生活中的实际应用问题。 （二）重难点 重点：有理数乘方的定义和符号规律；科学记数法的运用。 难点：区分与；负数、分数底数的规范书写；科学记数法指数的确定。 二.知识梳理与解读 【知识点一】乘方的定义 求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作。其中是底数，是指数。即 【要点提示】一个数的一次方，指数1省略不写；一个数的二次方也叫平方，三次方也叫立方；底数为负数或分数时，必须添加括号。 【知识点二】有理数乘方符号法则 1. 正数的任何次幂都是正数； 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 3. 0的任何正整数次幂都是0； 4. 的奇次幂为，的偶次幂为。 【知识点三】与的区别 1. ：底数是，表示个相乘； 2. ：底数是，表示的相反数，先算乘方，再取反。 举例：，，二者底数、运算顺序、结果均不同。 【知识点四】科学记数法 把一个绝对值大于10的数表示成（，为正整数）的形式，叫做科学记数法。 【要点提示】的值等于原数的整数位数减1；将科学记数法还原为原数时，将的小数点向右移动位。同指数的科学记数法可以直接合并运算，运算后需规范的取值范围。 【知识点五】高频易错总结 1. 负数、分数作底数时，遗漏括号，导致底数判定错误； 2. 混淆与的运算顺序，计算符号出错； 3. 科学记数法中取值不规范，指数统计错误。 三.题型精析（基础夯实） 【题型1】连乘算式与乘方形式互化 解题技巧：相同因数作为底数，因数个数作为指数；负数、分数作为底数必须添加括号，保证式子意义准确。 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请指出下列各式表示的意义： ，，，，． 【答案】表示3个4相乘．表示10个3相乘．表示4个5相乘．表示10个相乘．表示4个相乘． 【分析】本题考查幂的意义，即乘方运算表示多个相同因数相乘． 解：∵ 表示 n 个 a 相乘， ∴表示3个4相乘． 表示10个3相乘． 表示4个5相乘． 表示10个相乘． 表示4个相乘． 【变式1】（25-26七年级上·广东肇庆·期中）表示（   ） A．与5相乘的积 B．5个相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个2相乘的积 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解题的关键． 根据乘方运算的定义， 表示n个a相乘判断即可． 解：A、与5相乘的积：，故选项不符合题意； B、5个相乘的积：，故选项符合题意； C、3个5相乘的积的相反数：，故选项不符合题意； D、5个2相乘的积：，故选项不符合题意． 故选： B． 【变式2】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测），，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【分析】本题考查了有理数乘方的定义． 根据有理数乘方的定义，表示底数为的4次幂，读法强调底数是负数；表示2的4次幂的相反数，读法有两种，一种强调负号与指数的关系，另一种强调相反数的意义． 解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”； 故答案为：负2的4次方，负的2的4次方，2的4次方的相反数． 【变式3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数；（2），底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数；（3），底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数 【分析】此题考查的是有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的意义． （1）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （2）首先仔细观察给出的几个因数，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义； （3）首先仔细观察给出的几个因数，先处理符号，再写成乘方的形式，并指出底数、指数表示的含义． （1）解：原式， 底数表示相同的因数；指数3表示相同因数的个数； （2）解：原式， 底数表示相同的因数，指数4表示相同因数的个数； （3）解：原式 底数表示相同的因数，指数5表示相同因数的个数． 【题型2】基础乘方计算 解题技巧：先根据符号法则判断结果正负，再计算底数绝对值的乘方，简化运算步骤。 【例题2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 【变式2】（25-26七年级上·陕西·期末）下列四个数：，，，，其中负数有_________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查有理数的运算性质及负数的判断，核心是掌握相反数、绝对值、乘方的计算规则． 解：先分别计算各数： ，为正数； ，为正数； ，为负数； ∵表示5个相乘，∴为负数． 因此负数有和，共2个． 故答案为：2． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：； （2）解：． 【题型3】乘方式子辨析 解题技巧：重点观察式子是否带有括号，区分底数差异，严格按照先乘方后取相反数的顺序计算。 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了一个数的负整数指数幂的运算性质，以及一个数的0指数幂的值，熟练掌握运算方法是解决本题的关键． （1）根据一个数的0指数幂等于1，解答即可； （2）（3）（4） 根据公式（，是正整数）计算出正确结果解答即可； 解：（1）不正确；改正为：； （2）不正确；改正为：； （3）不正确；改正为：； （4）不正确；改正为：． 【变式1】（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数的混合运算法则解题即可． 解：A：，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）有下列算式：①；②；③；④；⑤，其中计算错误的是_______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方、乘法和除法，掌握它们的运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘方、乘法和除法分别计算即可． 解：， 计算错误； ， 计算错误； ， 计算错误； ， 计算错误； ， 计算正确； 综上，计算错误． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东聊城·期中）（1）下列有理数中，互为相反数的是________________________． ，3，，0，， （2）请写出上面有理数的相反数，化简后将其表示在数轴上，并将化简后的数按从小到大的顺序用“＜”连接起来． 【答案】（1）和；（2）将其表示在数轴上如图所示： ． 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数的乘方，在数轴上表示有理数，相反数，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简各个数，再结合相反数的定义进行分析，即可作答． （2）先分别得出各个数的相反数，再按要求在数轴上表示出来，结合越在数轴的右边的数越大进行分析，即可作答． 解：（1）依题意，得， ， ，， ∵和互为相反数， ∴六个有理数中，互为相反数的是和； （2）由（1）得， ， ，， ∴的相反数为，的相反数为，的相反数为，3的相反数是，0的相反数是0， ∴． 【题型4】科学记数法的表示与还原 解题技巧：改写大数时找准的范围，通过整数位数确定指数；还原原数时，按指数位数移动小数点即可。 【例题4】（25-26七年级上·全国·单元复习）下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？，，，，． 【答案】10000000，4500000，704000，39600， 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数． 解：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级下·广东茂名·期末）国家邮政局数据显示，今年前4个月，我国快递业务量累计完成645.7亿件，同比增长．展现出我国邮政快递业强劲的增长动力．将“645.7亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：亿． 【变式2】（25-26八年级上·上海闵行·期中）若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有_____个． 【答案】7 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 【变式3】（25-26七年级下·北京·课后作业）用科学记数法表示下列各数：①2021；②576万；③；④． 【答案】解：用科学记数法表示各数分别为： ①；②576万；③；④． 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将各个数写成其中，n为整数的形式即可． 解：略 四.题型精析（综合提升） 【题型5】乘方实际应用题 解题技巧：找准事物变化的次数与变化规律，用乘方列式计算，最后结合题意作答。 【例题5】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段检测）某银行去年新增加居民存款10亿元人民币．（结果用科学记数法表示） （1）经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高？ （2）一台激光点钞机的点钞速度是张/时，按每天点钞5小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天？ 【答案】（1）厘米；（2）天 【分析】本题考查了科学记数法及其计算，正确表示各数是解题的关键； （1）先求出10亿元人民币的总张数，再计算高度； （2）用10亿元人民币的张数除以1天点钞机点的张数列式求解即可． （1）解：10 亿， 所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为， （厘米）； 答：将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有厘米高． （2）解：； 答：点钞机大约要点天． 【变式1】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）一根长的木棍，第1次截取，接下来每次截取剩余部分的一半，第5次截取的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，需先依次计算前几次的截取长度，总结出第n次截取长度的规律，再代入求解，即可作答． 解：∵木棍原长，第1次截取后，剩余长度为， 第2次截取剩余部分的一半，截取长度为. 第3次截取剩余部分的一半，截取长度为. 以此类推，第n次截取的长度为. 当时，第5次截取的长度为， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）我们知道，3的正整数次幂：，，，，，，，，…，观察归纳，可得的个位数字是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了根据乘方运算求解．观察3的正整数次幂的个位数字，发现其以3、9、7、1四个数字为一个循环周期．2025除以4的余数为1，故的个位数字与的个位数字相同，据此即可求解． 解：由题意得的个位数字按3、9、7、1顺序循环， ， 因此个位数字为3． 故答案为：3． 【变式3】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： （1）________；（写出结果） （2）________； （3）计算的值． 【答案】（1）900；（2）；（3）1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． （1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）对乘积记法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方定义即可判断； 解：∵根据乘方定义，个相同因数相乘，记作，其中为底数，为指数， 本题中共有个相同因数相乘， ∴底数为，指数为，正确记法为． 2．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）下列各组数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 解：选项A：，， ，符合要求； 选项B：，， ，不符合要求； 选项C：，， ，不符合要求； 选项D：，， ，不符合要求． 3．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果a与b互为相反数，x与y互为倒数，且有，那么代数式的值为（　　） A．3 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，乘方的逆运算，利用相反数和倒数的定义得，根据乘方的逆运算可得，代入代数式求值即可． 解：∵a与b互为相反数，x与y互为倒数， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：D． 4．（25-26七年级上·海南三亚·期末）计算，，，，联系这类具体的数的乘方，你认为当时，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 解：当时，∴，故A选项错误； 根据有理数乘方法则，互为相反数的两个数的偶次幂相等，，故B选项正确； 当时，，而，故C选项错误； 当时，，而，故D选项错误． 故选B． 5．（2024·浙江丽水·模拟预测）数据2200000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 解：． 6．（2026·河南周口·三模）2026年省内乡村振兴项目投入资金约元，该科学记数法表示的数还原为原数是（     ） A．21500000 B．215000000 C．2150000 D．2150000000 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法还原原数，根据科学记数法的定义，对于（，为正整数），还原时只需将的小数点向右移动位即可得到原数。 解：∵题目中给出的科学记数法为，其中， ∴将的小数点向右移动位，得到原数为． 7．（26-27六年级上·上海长宁·开学考试）已知的位置如图，下面选项中结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴确定的取值范围取一个值，分别代入代数式求值，再进行比较即可． 解：设， ， ， ， ， ， 则，即结果最大的是． 8．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 9．（25-26七年级上·四川眉山·期中）已知x、y为有理数，如果规定一种新运算，则（    ） A． B．5 C．8 D．13 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，按照有理数混合运算顺序，先计算括号内的新运算，再计算括号外的，根据给定的运算法则逐步计算即可． 解：． 10．（25-26九年级下·河北石家庄·阶段检测）神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级上·河北保定·期末）为了简便，可以将记为_____． 【答案】 【分析】n个相同因数相乘可以写成该数的n次方形式，据此进行解答． 解：根据乘方的定义， n个相同的因数5相乘，记为5的n次方，即． 12．（25-26七年级上·广西南宁·期中）已知，则的值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值与偶次幂的非负性及代数式的值，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性及代数式的值是解题的关键；根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零，则每个部分必须同时为零，然后问题可求解． 解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）一个数的倒数等于它本身，这个数的立方也等于其本身，这个数是______． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了倒数的概念及立方的运算，熟记一些特殊数的性质是解题的关键． 先依据倒数的定义确定倒数等于本身的数，再结合立方的定义筛选出同时满足立方等于本身的数． 解：根据题意，一个数的倒数等于它本身，则这个数为1或， 又，满足立方等于本身， ，满足立方等于本身， 所以这个数是1或． 故答案为：1或． 14．（2025·西藏拉萨·一模）已知，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性、代数式求值，熟练掌握绝对值和偶次方的非负性是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，再代入计算即可得． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 15．（25-26六年级上·上海静安·期末）有一根2米长的木棒，第一次截去它的一半，第二次截去剩下的一半，以此方式进行下去，则第六次截去之后剩下的木棒的长度是_____米 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 每次截取后剩余长度均为前一次长度的一半，经过六次截取，剩余长度是原长乘以． 解：原长为2米，经过次截取后，剩余长度为， 故答案为：． 16．（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）某数用科学记数法表示为，请写出原数__________________． 【答案】80900000 【分析】本题考查科学计数法，用科学计数法表示的数还原为原数时，关键是确定原数的整数位数，原数的整数位数比的指数多一位，当整数部分不足时，要在末尾添补足． 解：科学计数法表示为，则原数为80900000， 故答案为：80900000． 17．（2025·甘肃武威·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______． 【答案】4 【分析】观察已知等式可知，以2为底的幂的个位数字按，，，依次循环，计算得到余数，根据余数即可确定的个位数字． 解：观察给出的等式，，，，，…， ∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，． ， ∴的个位数字与的个位数字相同，是． 18．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一个人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录摘得的果子的数目．请根据图，计算他一共摘了____________个果子． 【答案】274 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据题意“满6进1”可知，从右到左第一根绳子上一个结代表一个1，第二根绳子上一个结代表6，第三根绳子一个结代表，再进行计算即可． 解：， 故答案为：274． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级上·全国·课前预习）讨论：观察下面两个式子有什么不同？ （1）（－4）2与－42； （2）与 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据乘方的定义，即可求解； （2）根据乘方的定义，即可求解； （1）解：∵（－4）2表示－4的平方，－42表示4的平方的相反数， ∴（－4）2与－42互为相反数； （2）解：表示的平方，表示除以5． 【点拨】本题主要考查了乘方的定义，熟练掌握n个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作，其中a叫做底数，n叫做指数；注意的意义是-a的n次方”， 的意义是“a的n次方的相反数”是解题的关键． 20．（本小题满分8分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算题 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：． （2）解：． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）把下列各数序号按各数从小到大的顺序号填入相应的括号内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                      } 整数集：{                      } 负分数集：{                      } 有理数集：{                      } 【答案】正数集：②①⑧⑤；整数集：⑨⑦④⑤；负分数集：⑥③；有理数集：⑨⑦⑥③④②①⑧⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，熟练掌握正数、整数、负分数，有理数的定义是解题的关键；根据有理数的分类填空，即可求解． 解：，，， 正数集：3，，，；， 即正数集：{②①⑧⑤}； 整数集：，，，；， 即整数集：{⑨⑦④⑤}； 负分数集：，；， 即负分数集：{⑥③}； 有理数集：，，，，，，，，， ， 即有理数集：{⑨⑦⑥③④②①⑧⑤}． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数乘方逆运算，解题的关键是熟练运用运算律和乘方逆运算法则． （1）利用加法结合律，将同分母的分数结合起来进行计算； （2）利用有理数乘方逆运算的法则进行计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·寒假作业）一次数学测验中有一道题：若，求的值．试卷发下来后，小刚发现自己的答案是错误的： 解：由，得， ∴，， ∴； 小刚怎么也找不出错误的原因．聪明的同学，请你帮助小刚同学找出错误的步骤并改正过来． 【答案】解：小刚同学计算错误，应是． ∴． 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方运算，求代数式的值．利用非负数的性质求得和的值，再代入计算即可求解． 解：略 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． （1）请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； （2）请仿照小亮的做法验证（1）的结论； （3）在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】（1）， （2）设， 则， 因为，所以． （3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； （1）解：略． （2）解：略． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $