1.1 从自然数到有理数 讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“从自然数到有理数”核心内容，先以自然数为基础引入正数和负数，明确其定义、符号及相反意义的量表示，再系统梳理有理数分类（整数、分数），构建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如微信账单收支、运动方向）培养数学眼光，通过典例与变式题（如判断负数个数、有理数分类）发展推理意识，课中助力概念理解，课后过关验收题巩固知识，提升运算能力与应用意识。

第一章 1.1 从自然数到有理数 内 容 导 航 题型1 正数和负数 题型2 有理数 考 点 演 练 题型1 正数和负数 解｜题｜知｜识 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 【典例1】手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元 【答案】B 【解答】解：14﹣8﹣9＝﹣3（元）， 即王老师当天微信收支的最终结果是支出3元， 故选：B． 【变式1】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动80米可记作（　　） A．80米 B．﹣80米 C．100米 D．﹣100米 【答案】B 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若向北运动100米记作+100米，则向南运动80米可记作﹣80米． 故选：B． 【变式2】下列一组数：﹣8、2.6、0、﹣（﹣5.5）、﹣（+3）、﹣|﹣10|、|﹣6|．其中是负数的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【解答】解：﹣8＜0，是负数； 2.6＞0，是正数； 0既不是正数，也不是负数； ﹣（﹣5.5）＝5.5＞0，是正数； ﹣（+3）＝﹣3＜0，是负数； ﹣|﹣10|＝﹣10＜0，是负数； |﹣6|＝6＞0，是正数； ∴负数有﹣8，﹣（+3），﹣|﹣10|，共3个． 故选：C． 【变式3】在50%，0，2.5，中，正数的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【解答】解：50%＞0，是正数； 0既不是正数，也不是负数； 2.5＞0，是正数； 0，是负数； ∴正数有50%，2.5，共2个． 故选：B． 题型2 有理数 解｜题｜知｜识 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数. 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括分数 C．正分数和负分数统称为分数 D．不带“﹣”号的数就是正数 【答案】C 【解答】解：A．整数分为正整数、零和负整数，原说法错误，故本选项不合题意； B．整数和负数统称有理数，原说法错误，故本选项不合题意； C．正分数和负分数统称为分数，说法正确，故本选项符合题意； D．不带“﹣”号的数就是正数，说法错误，如0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意． 故选：C． 【变式1】下列各数中，不是有理数的是（　　） A．2.25 B． C．π D． 【答案】C 【解答】解：2.25，﹣1.，﹣3是分数，都是有理数，π不是有理数． 故选：C． 【变式2】下列各数中，﹣6，3.14，π，，0.1010010001，0.2，有理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解答】解：下列各数中，﹣6，3.14，π，，0.1010010001，0.2，π不是有理数，其余都是有理数， ∴有理数的个数是5， 故选：D． 【变式3】下列各数中，属于负有理数的是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．π 【答案】A 【解答】解：负有理数：是负数，同时又是有理数． A．﹣3：负数、整数，属于负有理数； B.0：既不是正数也不是负数； C.：正分数，是正数； D．π：无限不循环小数，是无理数． 故选：A． 过 关 验 收 1．冰箱保鲜室的温度零上5℃记作+5℃，则冷藏室的温度零下1℃记作（　　） A．﹣1℃ B．﹣6℃ C．+1℃ D．+6℃ 【答案】A． 【解答】解：“正”和“负”相对，所以，冰箱保鲜室的温度零上5℃记作+5℃，则冷藏室的温度零下1℃记作﹣1℃． 故选：A． 2．下面不具有相反意义的量是（　　） A．前进5m和后退5m B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．身高增加3cm和体重减少3千克 【答案】D 【解答】解：前进5m和后退5m是具有相反意义的量，则A不符合题意， 节约3吨水和浪费2吨水是具有相反意义的量，则D不符合题意， 存入800元和支出500元是具有相反意义的量，则C不符合题意， 身高增加3cm和体重减少3千克不是具有相反意义的量，则D符合题意， 故选：D． 3．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示（　　） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 【答案】A 【解答】解：∵收入300元记作+300元， ∴﹣90元表示支出90元． 故选：A． 4．下列四组量中，具有相反意义的量是（　　） A．海拔“上升”与“下降” B．温度计上“零上15℃”与“零下5℃” C．盈利100元与支出25元 D．向东走3千米与向南走5千米 【答案】B 【解答】解：由题知， 因为海拔“上升”与“下降”，只是意义相反，但没有数值， 所以A选项不符合题意； 因为温度计上“零上15℃”与“零下5℃”，是具有相反意义的量， 所以B选项符合题意； 因为盈利的相反意义是亏损，而支出的相反意义是收入， 则盈利与支出不是具有相反意义的量， 所以C选项不符合题意； 因为一般来说，向东与向西是相反意义， 则向东与向南不是具有相反意义的量， 所以D选项不符合题意； 故选：B． 5．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，制作了精美的纪念章，其质量要求是“50±0.20克”，则下列纪念章质量符合标准的是（　　） A．49.70克 B．50.30克 C．50.25克 D．49.85克 【答案】D 【解答】解：∵精美的纪念章的质量要求是“50±0.20克”， ∴其标准质量的范围为49.8克～50.2克， 那么只有49.85克符合题意， 故选：D． 6．凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是（　　） 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3412℃ ﹣38.87℃ ﹣47℃ 0℃ A．钨 B．水银 C．煤油 D．水 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，|﹣38.87℃|＝38.87℃，|﹣47℃|＝47℃， ∴0℃＜38.87℃＜47℃＜3412℃， ∴凝固点最低的是煤油． 故选：C． 7．如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示﹣723．则“”所表示的数是（　　） 纵式： 横式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A．223 B．﹣223 C．263 D．﹣262 【答案】D 【解答】解：根据算筹计数法，“”表示的数是：﹣262． 故选：D． 8．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，3.5＞2.5＞0.7＞0.6 ∴最接近标准的是C． 故选：C． 9．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 【答案】D 【解答】解：由题意可得合格尺寸的范围为4.3mm～4.7mm， 则A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D． 10．某品牌酸奶外包装上标明“净含量：200±5ml”．现随机称量四种口味，结果如下表．其中，净含量不合格的是（　　） 种类 黄桃味 草莓味 芒果味 海盐味 净含量/ml 204 200 196 210 A．黄桃味 B．草莓味 C．芒果味 D．海盐味 【答案】D 【解答】解：∵净含量为200±5ml，200+5＝205ml，200﹣5＝195ml， ∴净含量合格的标准在195ml﹣205ml之间， 观察四个选项，210不在净含量合格的标准范围内． 故选：D． 11．在中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：在，0，125中，非负整数是0和125，共2个， 故选：B． 12．下列说法正确的是（　　） A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括小数 C．可以写成分数形式的数称为有理数 D．不带“﹣”号的数就是正数 【答案】C 【解答】解：由题知， 因为整数分为正整数、零和负整数， 所以A选项不符合题意； 因为有理数包括有限小数和无限循环小数， 所有B选项不符合题意； 因为有理数的定义为“能表示为两个整数之比的数（分母不为零）”，即分数形式， 所有C选项符合题意； 因为0不带“﹣”号，且0不是正数， 所有D选项不符合题意． 故选：C． 13．下列说法正确的是（　　） A．0是最小的整数 B．任何数的绝对值都是正数 C．﹣a是负数 D．绝对值等于它本身的数是正数和0 【答案】D 【解答】解：A、0是最小的整数，错误，因为整数包括正整数、0和负整数； B、任何数的绝对值都是正数，错误，因为0的绝对值是0； C、﹣a是负数，错误，例如a＝﹣2时，﹣a＝2是正数； D、绝对值等于它本身的数是正数和0，正确； 故选：D． 14．下列说法正确的是（　　） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．正数和负数统称为有理数 C．0既不是正数也不是负数 D．非负数就是正数 【答案】C 【解答】解：A、一个正数前面加上“﹣”号这个数就是负数，故A错误； B、正数、零和负数统称为有理数，故B错误； C、0既不是正数也不是负数，故C正确； D、非负数是就是大于或等于零的数，故D错误； 故选：C． 15．下列说法正确的是（　　） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．0既不是正数，也不是负数 D．正数和负数统称为有理数 【答案】C 【解答】解：A、一个数前面加上“﹣”号，这个数不一定是负数，如﹣2，错误； B、非负数就是0和正数，错误； C、0既不是正数，也不是负数，正确； D、零和正数和负数统称为有理数，错误； 故选：C． 16．与相等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：A． 17．下列四个数中，是负数的是（　　） A．|﹣1| B．（﹣2）2 C．﹣（﹣3） D．﹣|﹣4| 【答案】D 【解答】解：A．|﹣1|＝1，故A不符合题意； B．（﹣2）2＝4，故B不符合题意； C．﹣（﹣3）＝3，故C不符合题意； D．﹣|﹣4|＝﹣4，故D符合题意． 故选：D． 18．下列7个数：、1.010010001、、0、﹣2π、﹣3.141441444…（每两个1之间依次多一个4）、3.，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：、1.010010001、、0、都是有理数，共5个， 故选：C． 19．有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④正分数一定是有理数；⑤﹣a一定是负数，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①一个有理数不是正数就是0或负数，原来的说法错误； ②整数和分数统称为有理数是正确的； ③没有最小的有理数，原来的说法错误； ④正分数一定是有理数是正确的； ⑤﹣a不一定是负数，原来的说法错误． 故其中正确的个数是2个． 故选：B． 20．在﹣8，0.3，0，，﹣10.8，这六个数中，分数有　3　 个． 【答案】3． 【解答】解：由题知， 在所给各数中，分数有：0.3，，﹣10.8，共3个． 故答案为：3． 1．观察下列两个等式：，．给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对，都是“共生有理数对”． （1）判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”，并写出计算过程． （2）如果（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求﹣5mn的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）将a＝1，b＝2代入等式a﹣b＝ab+1， 左边：1﹣2＝﹣1， 右边：1×2+1＝3， 左边≠右边， ∴（1，2）不是“共生有理数对”； （2）根据题意得， m﹣n＝mn+1， ∵m﹣n＝4，所以：4＝mn+1， ∴mn＝3， ∴﹣5mn＝﹣5×3＝﹣15． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 1.1 从自然数到有理数 内 容 导 航 题型1 正数和负数 题型2 有理数 考 点 演 练 题型1 正数和负数 解｜题｜知｜识 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 【典例1】手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），王老师当天微信收支的最终结果是（　　） A．收入14元 B．支出3元 C．支出18元 D．支出10元 【变式1】中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作+100米，则向南运动80米可记作（　　） A．80米 B．﹣80米 C．100米 D．﹣100米 【变式2】下列一组数：﹣8、2.6、0、﹣（﹣5.5）、﹣（+3）、﹣|﹣10|、|﹣6|．其中是负数的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式3】在50%，0，2.5，中，正数的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2 有理数 解｜题｜知｜识 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数. 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括分数 C．正分数和负分数统称为分数 D．不带“﹣”号的数就是正数 【变式1】下列各数中，不是有理数的是（　　） A．2.25 B． C．π D． 【变式2】下列各数中，﹣6，3.14，π，，0.1010010001，0.2，有理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】下列各数中，属于负有理数的是（　　） A．﹣3 B．0 C． D．π 过 关 验 收 1．冰箱保鲜室的温度零上5℃记作+5℃，则冷藏室的温度零下1℃记作（　　） A．﹣1℃ B．﹣6℃ C．+1℃ D．+6℃ 2．下面不具有相反意义的量是（　　） A．前进5m和后退5m B．节约3吨水和浪费2吨水 C．存入800元和支出500元 D．身高增加3cm和体重减少3千克 3．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作+300元，那么﹣90元表示（　　） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 4．下列四组量中，具有相反意义的量是（　　） A．海拔“上升”与“下降” B．温度计上“零上15℃”与“零下5℃” C．盈利100元与支出25元 D．向东走3千米与向南走5千米 5．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，制作了精美的纪念章，其质量要求是“50±0.20克”，则下列纪念章质量符合标准的是（　　） A．49.70克 B．50.30克 C．50.25克 D．49.85克 6．凝固点是晶体物质凝固时的温度，则在标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是（　　） 物质 钨 水银 煤油 水 凝固点 3412℃ ﹣38.87℃ ﹣47℃ 0℃ A．钨 B．水银 C．煤油 D．水 7．如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种．古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示﹣723．则“”所表示的数是（　　） 纵式： 横式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A．223 B．﹣223 C．263 D．﹣262 8．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 9．两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为4.5mm的零部件，其中（4.5±0.2）mm范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A．4.4mm B．4.5mm C．4.6mm D．4.8mm 10．某品牌酸奶外包装上标明“净含量：200±5ml”．现随机称量四种口味，结果如下表．其中，净含量不合格的是（　　） 种类 黄桃味 草莓味 芒果味 海盐味 净含量/ml 204 200 196 210 A．黄桃味 B．草莓味 C．芒果味 D．海盐味 11．在中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．下列说法正确的是（　　） A．整数分为正整数和负整数 B．有理数不包括小数 C．可以写成分数形式的数称为有理数 D．不带“﹣”号的数就是正数 13．下列说法正确的是（　　） A．0是最小的整数 B．任何数的绝对值都是正数 C．﹣a是负数 D．绝对值等于它本身的数是正数和0 14．下列说法正确的是（　　） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．正数和负数统称为有理数 C．0既不是正数也不是负数 D．非负数就是正数 15．下列说法正确的是（　　） A．一个数前面加上“﹣”号这个数就是负数 B．非负数就是正数 C．0既不是正数，也不是负数 D．正数和负数统称为有理数 16．与相等的是（　　） A． B． C． D． 17．下列四个数中，是负数的是（　　） A．|﹣1| B．（﹣2）2 C．﹣（﹣3） D．﹣|﹣4| 18．下列7个数：、1.010010001、、0、﹣2π、﹣3.141441444…（每两个1之间依次多一个4）、3.，其中有理数有（　　）个． A．3 B．4 C．5 D．6 19．有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④正分数一定是有理数；⑤﹣a一定是负数，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 20．在﹣8，0.3，0，，﹣10.8，这六个数中，分数有　 　 个． 21．观察下列两个等式：，．给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如数对，都是“共生有理数对”． （1）判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”，并写出计算过程． （2）如果（m，n）是“共生有理数对”，且m﹣n＝4，求﹣5mn的值． 学科网（北京）股份有限公司 $