专题 2.1 从自然数到有理数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“从自然数到有理数”核心内容，系统梳理自然数的计数、测量、标号排序作用，分数与有限/无限循环小数的互化规律，正负数表示相反意义的量及有理数的概念与两种分类方式，构建从自然数到有理数的数系扩充学习支架。 该资料以核心素养为导向，知识梳理设“要点提示”强化抽象能力，如辨析0的自然数属性；题型精析结合生活实例，如用正负数表示收支培养应用意识；同步检测分层设计，助力学生通过推理与运算巩固知识，课中辅助教学高效，课后可查漏补缺。

专题 2.1 从自然数到有理数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】自然数的意义与作用 2 【知识点二】分数与小数的关系及互化 2 【知识点三】正数、负数与0的概念 3 【知识点四】有理数的概念与分类 3 三.题型精析 4 【题型1】自然数的意义辨析 4 【题型2】分数与小数互化 4 【题型3】正负数与0的判断 5 【题型4】相反意义的量表示 5 【题型5】有理数的分类 6 【题型6】正负数实际收支应用 7 四.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 8 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 知识目标：理解自然数的意义与作用，掌握分数与小数的互化规律，掌握正数、负数、0的定义与特征，明确有理数的概念及两种分类方式。 能力目标：能准确辨析自然数的不同用途，熟练完成分数与小数互化，会用正负数表示生活中相反意义的量，精准对有理数进行分类。 素养目标：建立数系扩充的数学思维，体会负数产生的实际意义，培养分类讨论、学以致用的数学核心素养。 （二）重难点 重点：1. 正数、负数的意义及应用，用正负数表示相反意义的量；2. 有理数的概念及两种标准分类方法；3. 分数与小数的相互转化。 难点：1. 区分自然数的计数、测量、标号排序三种作用；2. 准确辨析非负数、非正数等特殊数集；3. 理解有限小数、无限循环小数属于分数，明确数系的归属范围。 二.知识梳理与解读 【知识点一】自然数的意义与作用 1. 定义：表示物体个数的数叫做自然数，0、1、2、3、4……都是自然数，0是最小的自然数，自然数没有最大数。 2. 自然数的三大作用： （1）计数：表示物体的具体数量，例如：5个苹果、30名学生。 （2）测量：通过度量得到的结果，例如：身高160厘米、路程5千米。 （3）标号、排序：用于编号、表示次序，例如：3号楼、第6名、2026年。 3. 运算特点：自然数可进行加、减、乘运算，但除法运算结果不一定是自然数，由此衍生出分数、小数，实现数系的初步扩充。 【要点提示】 （1）0是自然数，且是最小的自然数，这是小学数学易忽略的基础知识点； （2）区分三种作用的核心：看数值是表示“数量多少”（计数）、“度量结果”（测量）、“编号/顺序”（标号排序）。 【知识点二】分数与小数的关系及互化 1. 本质关系：分数可以看作两个整数相除，即，分数是整数除法的另一种表达形式。 2. 互化规律： （1）所有分数都可以化为有限小数或无限循环小数； （2）有限小数、无限循环小数都可以化为分数； （3）无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数。 示例：、、 【要点提示】 （1）百分数、有限小数、无限循环小数本质都属于分数，是有理数； （2）只有无限不循环小数（如）不是有理数，无法化成分数。 【知识点三】正数、负数与0的概念 1. 相反意义的量：同类、意义完全相反的两个量，是引入负数的现实依据。 常见相反意义的量：收入与支出、上升与下降、向东与向西、零上与零下、盈利与亏损、增加与减少。 2. 正数：大于0的数，正数前面的“+”号可以省略不写，如、、。 3. 负数：小于0的数，负数前面必须带“-”号，不能省略，如、。 4. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的唯一分界点。 【要点提示】 （1）相反意义的量必须是同类量，且意义相反，单独一个量不能构成相反意义的量； （2）“不一定是负数”，若a为负数，则为正数，若a=0，则。 【知识点四】有理数的概念与分类 定义：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以写成分数形式。 分类一：按整数、分数划分（本质分类） 分类二：按正负性划分（性质分类） 【要点提示】 （1）有理数分类时不重不漏，0是单独类别，既不属于正有理数，也不属于负有理数； （2）非负数=正数+0，非正数=负数+0，该定义是考试高频考点； （3）有限小数、无限循环小数、百分数全部归为分数范畴。 三.题型精析 【题型1】自然数的意义辨析 【例题1】（24-25七年级上·全国·单元测试）往返于甲、乙两地的客车，中途停靠四个站，问： （1）有多少种不同的票价？ （2）要准备多少种不同的车票？ 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）星期天雯雯打算做的家务以及所用时间如下：洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用6分钟，擦家具要用10分钟，晾衣服要用5分钟．经过合理安排，她做完这些家务至少要用（　　）分钟． A．20 B．25 C．41 D．30 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意画3个圆点，涂上白色或红色，然后在这三个圆点处把绳子剪断，这样所得到的各小段两端都有颜色，则两端颜色不同的小段数目一定是_______（填奇数或偶数）． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）在□里填出对应的数． （1） 【题型2】分数与小数互化 【例题2】（24-25六年级上·全国·课后作业）小数化成分数 把下列小数分别化成最简分数． （1）；    （2）；    （3）． 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．计算时，应当把小数化成分数后运算 B．计算时，应当把小数化成分数后运算 C．计算时，应当把分数化成小数后运算 D．计算时，应当把分数化成小数后运算 【变式2】（23-24七年级上·山东德州·开学考试）一个三位小数四舍五入保留两位小数后是，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）． 【变式3】（第06讲分数与小数的互化（2大考点）-2022-2023学年六年级数学上学期考试满分全攻略（沪教版））【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示． 分数、小数进行比较时也需要进行互化． 我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要． 例如：如何将无限循环小数、化成分数． 解1：因为，所以，又因为，所以，从而得． 解2：因为，，两式相减得： ，又，所以，从而得． 用上述方法将无限循环小数化成小数（需要写出过程）． 【题型3】正负数与0的判断 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． （1）正数：______________________． （2）负数：______________________． （3）既不是正数也不是负数：___________． 【题型4】相反意义的量表示 【例题4】（2025七年级上·北京·专题练习）如果向东走3米记作米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 【变式1】（25-26七年级下·云南文山·期末）3月22日是“世界水日”，为了增强同学们的节水意识，学校课外兴趣小组进行用水调查．如果小明家节约了4.5吨水，记作吨，那么小兰家浪费了2.2吨水，可记作（     ） A．6.7吨 B．吨 C．2.2吨 D．吨 【变式2】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 【题型5】有理数的分类 【例题5】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， （1）整数：{ …}； （2）分数：{ …}； （3）非负整数：{ …}； （4）有理数：{ …}． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 【变式3】（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，，，220，，，， 正有理数集合：｛ ｝   整数集合：｛ ｝ 非负数集合：｛ ｝    负分数集合：｛ ｝ 非负整数集合：｛ ｝ 易错提示：非负数包含所有正数和0，百分数、有限小数均属于分数，归类时不可遗漏。 【题型6】正负数实际收支应用 【例题6】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 【变式1】（2026·辽宁鞍山·一模）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（2026·甘肃平凉·二模）《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ （1）补全上面的表格； （2）计算该病人这一天的平均体温． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·广西玉林·模拟预测）下列各数中，是负数的是（     ） A．3 B．0 C． D．2.5 2．（2026·山东菏泽·二模）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 3．（2026·云南楚雄·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（    ） A．5 B． C．0 D． 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 5．（21-22七年级上·新疆哈密·期中）下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 7．（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）下列说法正确的有（　　） A．比2小的整数只有0和1 B．两个不同质数，公因数只有1 C．4.956 精确到十分位是4.96 D．，（和Δ为自然数）最小是60 8．（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）规定向东为正，那么向西走2千米记作___________千米． 10．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图中长方形有__________个． 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 12．（2026·河南商丘·模拟预测）若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． 13．（22-23七年级上·山东菏泽·开学考试）笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______至______． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 16．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 18．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， （1）负数集合{________________________……} （2）正分数集合{________________________……} （3）非负整数集合{________________________……} 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动各应记作什么？运动了6m，运动了，运动了0m各表示什么意义？ 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． （1）这里的含义是什么？ （2）请你算出该商品的最高价格和最低价格． （3）如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 从自然数到有理数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】自然数的意义与作用 2 【知识点二】分数与小数的关系及互化 2 【知识点三】正数、负数与0的概念 3 【知识点四】有理数的概念与分类 3 三.题型精析 4 【题型1】自然数的意义辨析 4 【题型2】分数与小数互化 5 【题型3】正负数与0的判断 7 【题型4】相反意义的量表示 9 【题型5】有理数的分类 10 【题型6】正负数实际收支应用 13 四.同步检测 15 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 18 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 20 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 知识目标：理解自然数的意义与作用，掌握分数与小数的互化规律，掌握正数、负数、0的定义与特征，明确有理数的概念及两种分类方式。 能力目标：能准确辨析自然数的不同用途，熟练完成分数与小数互化，会用正负数表示生活中相反意义的量，精准对有理数进行分类。 素养目标：建立数系扩充的数学思维，体会负数产生的实际意义，培养分类讨论、学以致用的数学核心素养。 （二）重难点 重点：1. 正数、负数的意义及应用，用正负数表示相反意义的量；2. 有理数的概念及两种标准分类方法；3. 分数与小数的相互转化。 难点：1. 区分自然数的计数、测量、标号排序三种作用；2. 准确辨析非负数、非正数等特殊数集；3. 理解有限小数、无限循环小数属于分数，明确数系的归属范围。 二.知识梳理与解读 【知识点一】自然数的意义与作用 1. 定义：表示物体个数的数叫做自然数，0、1、2、3、4……都是自然数，0是最小的自然数，自然数没有最大数。 2. 自然数的三大作用： （1）计数：表示物体的具体数量，例如：5个苹果、30名学生。 （2）测量：通过度量得到的结果，例如：身高160厘米、路程5千米。 （3）标号、排序：用于编号、表示次序，例如：3号楼、第6名、2026年。 3. 运算特点：自然数可进行加、减、乘运算，但除法运算结果不一定是自然数，由此衍生出分数、小数，实现数系的初步扩充。 【要点提示】 （1）0是自然数，且是最小的自然数，这是小学数学易忽略的基础知识点； （2）区分三种作用的核心：看数值是表示“数量多少”（计数）、“度量结果”（测量）、“编号/顺序”（标号排序）。 【知识点二】分数与小数的关系及互化 1. 本质关系：分数可以看作两个整数相除，即，分数是整数除法的另一种表达形式。 2. 互化规律： （1）所有分数都可以化为有限小数或无限循环小数； （2）有限小数、无限循环小数都可以化为分数； （3）无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数。 示例：、、 【要点提示】 （1）百分数、有限小数、无限循环小数本质都属于分数，是有理数； （2）只有无限不循环小数（如）不是有理数，无法化成分数。 【知识点三】正数、负数与0的概念 1. 相反意义的量：同类、意义完全相反的两个量，是引入负数的现实依据。 常见相反意义的量：收入与支出、上升与下降、向东与向西、零上与零下、盈利与亏损、增加与减少。 2. 正数：大于0的数，正数前面的“+”号可以省略不写，如、、。 3. 负数：小于0的数，负数前面必须带“-”号，不能省略，如、。 4. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的唯一分界点。 【要点提示】 （1）相反意义的量必须是同类量，且意义相反，单独一个量不能构成相反意义的量； （2）“不一定是负数”，若a为负数，则为正数，若a=0，则。 【知识点四】有理数的概念与分类 定义：整数和分数统称为有理数，所有有理数都可以写成分数形式。 分类一：按整数、分数划分（本质分类） 分类二：按正负性划分（性质分类） 【要点提示】 （1）有理数分类时不重不漏，0是单独类别，既不属于正有理数，也不属于负有理数； （2）非负数=正数+0，非正数=负数+0，该定义是考试高频考点； （3）有限小数、无限循环小数、百分数全部归为分数范畴。 三.题型精析 【题型1】自然数的意义辨析 【例题1】（24-25七年级上·全国·单元测试）往返于甲、乙两地的客车，中途停靠四个站，问： （1）有多少种不同的票价？ （2）要准备多少种不同的车票？ 【答案】（1）15，详见分析；（2）30，详见分析 【分析】（1）先画出示意图，求出线段的条数，再计算票价即可； （2）根据往返的车票都不相同，计算车票的种数即可． 解：（1）如图，记中途四个车站分别为，则共有， ∴15种不同的票价， （2）因为车票需要考虑方向性，如“”与“”票价相同，但车票不同 所以共有票， 【点拨】本题主要考查运用线段知识解决生活中的问题，需要掌握正确数线段的方法． 【变式1】（23-24七年级上·江苏连云港·开学考试）星期天雯雯打算做的家务以及所用时间如下：洗衣机洗衣服要用20分钟，扫地要用6分钟，擦家具要用10分钟，晾衣服要用5分钟．经过合理安排，她做完这些家务至少要用（　　）分钟． A．20 B．25 C．41 D．30 【答案】B 【分析】根据安排家务的先后顺序合理安排即可． 解：用洗衣机洗衣服的同时可以擦家具，扫地，最后安排晾衣服， 所以需要的时间是（分钟）． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了时间的合理安排，掌握合理安排的顺序是解题的关键． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意画3个圆点，涂上白色或红色，然后在这三个圆点处把绳子剪断，这样所得到的各小段两端都有颜色，则两端颜色不同的小段数目一定是_______（填奇数或偶数）． 【答案】奇数 【分析】分①若中间三个圆点都是红色或白色和②若中间三个圆点有两个红一个白或两个白一个红，两种情况讨论，然后即可得出答案． 解：①若中间三个圆点都是红色或白色，则两端颜色不同的小段数目为1； ②若中间三个圆点有两个红一个白或两个白一个红，则两端颜色不同的小段数目为3； 综上所述：两端颜色不同的小段数目一定是奇数， 故答案为：奇数． 【点拨】本题考查了整数的奇偶性问题，难度适中，关键是用分类讨论的思想解题． 【变式3】（24-25七年级上·全国·单元测试）在□里填出对应的数． （1） 【答案】（1）700，750，900；（2）699，709，807，818 【分析】（1）由后面每一个数比前一个数大50，据此填数即可． （2）通过观察，每小格代表1，一个大格表示10，据此填数即可． 解：（1）解：通过观察，后面每一个数比前一个数大50， 故应填：700，750，900； （2）通过观察，每小格代表1， 故应填：699，709，807，818 【点拨】本题考查整数的认识，简单规律的探究，理解单位长度表示数是解题的关键． 【题型2】分数与小数互化 【例题2】（24-25六年级上·全国·课后作业）小数化成分数 把下列小数分别化成最简分数． （1）；    （2）；    （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】由小数化为分数的方法进行化简，然后化为最简分数，即可得到答案． 解：（1）． （2）． （3）． 【点拨】本题考查了小数化为分数的方法，解题的关键是掌握小数化为分数的方法进行解题． 【变式1】（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．计算时，应当把小数化成分数后运算 B．计算时，应当把小数化成分数后运算 C．计算时，应当把分数化成小数后运算 D．计算时，应当把分数化成小数后运算 【答案】D 【分析】根据有理数的加减运算法则判断即可． 解：A. 计算时，应当把小数化成分数后运算，故正确，不合题意； B. 计算时，应当把小数化成分数后运算，故正确，不合题意； C. 计算时，应当把分数化成小数后运算，故正确，不合题意； D. 计算时，不能化为有限小数，故应当把小数化成分数后运算，故错误，符合题意； 故选D． 【点拨】本题考查了有理数的加减法，解题的关键是注意运算过程中的小数与分数互化． 【变式2】（23-24七年级上·山东德州·开学考试）一个三位小数四舍五入保留两位小数后是，这个三位小数最大是（ ），最小是（ ）． 【答案】 【分析】一个三位小数不能大于，不能小于，这样的数进行四舍五入可得到． 解：一个三位小数，用“四舍五入”法精确到百分位是，这个数最大是，最小是． 故答案为：，． 【点拨】本题考查了取一个数的近似数，解题的关键是掌握两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法． 【变式3】（第06讲分数与小数的互化（2大考点）-2022-2023学年六年级数学上学期考试满分全攻略（沪教版））【阅读理解】根据实际需要，计算的结果有时要用小数表示，有时要用分数表示． 分数、小数进行比较时也需要进行互化． 我们已经学会了一些基本的互化方法，但还有很多知识可能没有学会，但双非常重要． 例如：如何将无限循环小数、化成分数． 解1：因为，所以，又因为，所以，从而得． 解2：因为，，两式相减得： ，又，所以，从而得． 用上述方法将无限循环小数化成小数（需要写出过程）． 【答案】； 【分析】根据题目中的例题的方法解答即可． 解：因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． 因为，； 由②–①得：， 所以． 【点拨】本题考查了无限循环小数转化为分数的运用，解答时理解分数，小数的互化的方法是解答的关键． 【题型3】正负数与0的判断 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请判断下列各数哪些是正数，哪些是负数： ，，19，，0，，，，． 【答案】，19，，，都是正数；，，都是负数 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 解：在这些数中，正数：，19，，，； 负数：，，． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在数，，，0，中，负数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“小于0的数是负数”逐个判断所给数，统计负数个数即可得到结果． 解：，是负数， ，不是负数， ，不是负数， 既不是正数也不是负数， ，是负数， 所以负数共有2个． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中是正数的是________________________，是负数的是__________________，既不是正数也不是负数的是__________________． ． 【答案】 0 【分析】本题考查了正数和负数的认识，熟练掌握正负数的基础知识是关键； 根据正负数的定义和0既不是正数也不是负数解答即可. 解：是正数， 是负数， 0既不是正数也不是负数； 故答案为：；；0 ． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． （1）正数：______________________． （2）负数：______________________． （3）既不是正数也不是负数：___________． 【答案】（1），，，；（2），，；（3）0 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． （1）解：根据正数和负数的概念知，正数有：，，，； （2）负数有：，，； （3）既不是正数也不是负数的是0． 故答案为：（1），，，；（2），，；（3）0． 【题型4】相反意义的量表示 【例题4】（2025七年级上·北京·专题练习）如果向东走3米记作米，那么向西走5米记作什么？原地不动记作什么？ 【答案】向西走5米记作米，原地不动记作0米 【分析】本题考查正负数的实际应用，具有相反意义的量，0的实际意义，掌握相关知识是解决问题的关键．向东走为正，那么与向东相反的方向即向西走就应该用负数表示．原地不动记作0米． 解：题目中规定向东走为正，那么与向东相反的方向即向西走就应该用负数表示， ∴向西走5米记作米； 原地不动没有移动距离，根据0的意义，记作0米． 【变式1】（25-26七年级下·云南文山·期末）3月22日是“世界水日”，为了增强同学们的节水意识，学校课外兴趣小组进行用水调查．如果小明家节约了4.5吨水，记作吨，那么小兰家浪费了2.2吨水，可记作（     ） A．6.7吨 B．吨 C．2.2吨 D．吨 【答案】D 【分析】节约用水量记为正，对应相反意义的浪费用水量应记为负，即可得出答案． 解：∵题目规定节约用水记为正，浪费与节约是相反意义的量， ∴浪费用水应记为负，因此小兰家浪费了吨水，可记作吨． 【变式2】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【答案】 盈利3000元 亏本240元 【分析】本题考查正负数的意义，题目已规定盈利记为正，亏本记为负，只需根据规定判断正负数对应的实际意义即可． 解：根据正负数表示具有相反意义的量， 由题意得，盈利记为正，则正号表示盈利，负号表示亏本， 因此元表示盈利元，元表示亏本元． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）（1）仓库运进、运出物品均需登记．某仓库运进面粉7吨，记为，那么运出面粉应记为 ． （2）在知识抢答中，如果用表示得10分，那么扣20分表示为 ． （3）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动3，记作 ． 【答案】，， 【分析】本题考查的是正负数，具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负．根据此逐项求解即可． 解：具有相反意义的量，规定一方即为正，另一方即为负， ∵运进面粉7吨，记为， ∴运出面粉应记为， 故答案为：； ∵表示得10分， ∴扣20分表示为， 故答案为：； ∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动3，记作， 故答案为：． 【题型5】有理数的分类 【例题5】（25-26七年级上·四川南充·期中）把下列各数分类 6，，，，，0，，，， （1）整数：{ …}； （2）分数：{ …}； （3）非负整数：{ …}； （4）有理数：{ …}． 【答案】（1）6，，0；（2），，，，，；（3）6，0；（4）6，，，，，0，，，． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据非负整数的定义作答即可； （4）根据有理数的定义作答即可． （1）解：整数：{6，，0…}； 故答案为：6，，0； （2）解：分数：{，，，，，…}； 故答案为：，，，，，； （3）解：非负整数：{6，0…}； 故答案为：6，0； （4）解：有理数：{6，，，，，0，，，…}． 故答案为：6，，，，，0，，，． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 解：B选项中 0不是正数． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 【答案】 ，2，13，0 ， 【分析】本题主要考查整数和负分数的定义；根据整数和负分数的定义，整数包括正整数、负整数和零；负分数是负的有理数且不是整数．逐个判断给定数即可得出答案． 解：在给定的数中，是负整数，属于整数； 是负小数，属于负分数； 2是正整数，属于整数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 13是正整数，属于整数； 0是整数，既不是正数也不是负数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 转化为，是负分数； 是正分数，既不是整数也不是负分数． 因此，整数有，2，13，0；负分数有，． 故答案为：，2，13，0；，． 【变式3】（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里： ，，，0，，，，，220，，，， 正有理数集合：｛ ｝  整数集合：｛ ｝ 非负数集合：｛ ｝   负分数集合：｛ ｝ 非负整数集合：｛ ｝ 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了正有理数、整数、非负数、负分数、非负整数的定义． 根据正有理数包括正整数和正分数；整数包括正整数、0和负整数；非负数包括正数和0；分数包括正分数和负分数；非负整数是正整数和0求解即可． 解：正有理数集合：｛，，，220，，｝ 整数集合：｛，0，，，220，｝ 非负数集合：｛，0，，，220，，｝ 负分数集合：｛，，｝ 非负整数集合：｛，0，220｝ 易错提示：非负数包含所有正数和0，百分数、有限小数均属于分数，归类时不可遗漏。 【题型6】正负数实际收支应用 【例题6】（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）《道路交通安全法实施条例》规定：在一个记分周期（12个月）内扣满12分，将扣留其机动车驾驶证．如果超速50%以上扣12分；超速20%以上未达50%扣6分；超速10%以上未达20%扣3分．刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上，前方出现限速标志（如图）．如果他保持原来的速度继续行驶，他将受到扣几分的处罚？（通过计算说明） 【答案】6分 【分析】根据实际背景解决问题，，然后参考条例要求可以查看处罚标准 解：根据图片所示，限速应该是80千米/时，而刘师傅以100千米/时的速度行驶在公路上 ∴刘师傅超速 ∴依照《道路交通安全法实施条例》规定：超速20%以上未达50%扣6分，因此刘师傅超速，应该被扣6分 答：刘师傅将受到扣6分的处罚 【点拨】本题关键是抓住考查百分比，理解百分比的计算方式，通过题意即可解决问题 【变式1】（2026·辽宁鞍山·一模）微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款10元记作元，那么向商家付款20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】收款与付款是相反意义的量，收款记为正，则付款记为负，据此记数即可． 解：∵二维码收款10元记作元， ∴向商家付款应记作负数， 又∵向商家付款20元， ∴记作元． 【变式2】（2026·甘肃平凉·二模）《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______． 【答案】 【分析】根据题干给出的示例，识别出算筹代表的数字及负号标记，结合有理数的概念即可求解． 解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字． 观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ （1）补全上面的表格； （2）计算该病人这一天的平均体温． 【答案】（1）表格见分析；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据每天的体温变化计算即可； （2）根据平均数的计算方法解题即可． （1）解：，，，，； 表格如下： 时间 体温变化 实际体温 _________ _________ _________ _________ _________ （2）解：平均体温为：． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·广西玉林·模拟预测）下列各数中，是负数的是（     ） A．3 B．0 C． D．2.5 【答案】C 【分析】根据“小于0的数是负数”，逐一判断各选项即可得到答案. 解：∵ ， ∴3是正数， 故选项A不符合要求； ∵ 既不是正数也不是负数， 故选项B不符合要求； ∵ ， ∴是负数， 故选项C符合要求； ∵ ，∴2.5是正数， 故选项D不符合要求.综上. 2．（2026·山东菏泽·二模）下列选项中等于7的有理数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题要求选出数值等于的选项，只需直接对比各选项给出的数值即可得到结果 解：选项A的数值为，符合题意； 选项B的数值为，不等于，不符合题意； 选项C的数值为，不符合题意； 选项D的数值为，不符合题意 3．（2026·云南楚雄·二模）中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》是世界上最早系统阐述负数概念的著作．下列各数中，是负数的是（    ） A．5 B． C．0 D． 【答案】D 解：∵，∴A不是负数． ∵，∴B不是负数． ∵既不是正数也不是负数，∴C不符合要求． ∵， ∴是负数，D符合要求 4．（25-26八年级下·吉林长春·期末）如果表示向东走，那么表示（     ） A．向东走 B．向西走 C．向东走 D．向西走 【答案】D 解：∵规定表示向东走，即向东为正方向，正负数表示一组相反意义的量， ∴负数表示与向东相反的方向，即向西， 因此表示向西走. 5．（21-22七年级上·新疆哈密·期中）下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 解：∵非负数是指大于等于的数， ∴在给出的数，，，，，，，中，非负数为，，，，，共个． 6．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 7．（24-25七年级上·广东湛江·开学考试）下列说法正确的有（　　） A．比2小的整数只有0和1 B．两个不同质数，公因数只有1 C．4.956 精确到十分位是4.96 D．，（和Δ为自然数）最小是60 【答案】B 【分析】A. 根据整数的定义：整数是正整数、零、负整数的集合，判断即可； B. 质数的定义：一个自然数,只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；公因数的定义：对于两个或两个以上的整数，如果有一个整数是它们共同的因数，那么这个数就叫做它们的公因数；根据质数及公因数的定义判断即可； C. 利用四舍五入法求近似数，将4.956精确到小数点后第二位数即可判断； D. 根据除法和乘法是互逆运算可得, 当△取最小自然数1时★的值最小,即可判断． 解：A．比2小的整数包含负整数（如,等），因此“只有0和1”错误． B．质数仅有1和自身为因数，不同质数的公因数只能是1，正确． C．4.956精确到十分位需看百分位数字5，四舍五入后为5.0，而非4.96，错误． D．由，当△取最小自然数1时，，故“最小60”错误． 故选：B． 【点拨】本题考查了质数和公因式的定义，求近似数方法，整数的除法，整数的认识，熟练掌握相关知识是解题关键． 8．（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义即可得到答案． 解：“水位下降”应表示为， 故选B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）规定向东为正，那么向西走2千米记作___________千米． 【答案】 【分析】本题考查了相反意义的量，掌握相反意义的量是解决本题的关键． 根据正负数的意义，向东为正，则向西为负，据此求解即可． 解：由题意得，向西走2千米记作：千米． 故答案为：． 10．（22-23七年级上·全国·单元测试）如图中长方形有__________个． 【答案】15 【分析】根据单个长方形，两个长方形组合形成的长方形，三个长方形组合形成的长方形，四个长方形组合形成的长方形，五个长方形组合形成的长方形的个数，相加即可解答． 解：观察图形，可得单个长方形有5个，两个长方形组合形成的长方形4个，三个长方形组合形成的长方形3个，四个长方形组合形成的长方形2个，五个长方形组合形成的长方形有1个，，故有15个长方形． 故答案为：15． 【点拨】本题考查了长方形的概念，了解多个长方形组合成一个长方形是解题的关键． 11．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）我国是最早认识和使用负数的国家，早在东汉时期就提出了正数和负数的概念； 下列各数中：，2，，0，负数的个数为_______． 【答案】 【分析】本题考查负数的概念，根据负数是指小于零的数，通常带有负号，逐个判断即可． 解：，，，， 即负数有，，个数为， 故答案为：． 12．（2026·河南商丘·模拟预测）若某班班委卖出班级的废品收入元，记为元，则购买班级劳动工具花费元，记为______元． 【答案】 解：根据相反意义的量可知，收入记为元，则花费即支出应记为元 13．（22-23七年级上·山东菏泽·开学考试）笑笑在一袋食用糖的包装纸上看到这样的文字：质量，意思是这袋食用糖的质量合格范围是______至______． 【答案】 解：根据正负数的意义可得，表示合格质量的最小值为，合格质量的最大值为，因此这袋食用糖的质量合格范围是至． 14．（24-25七年级上·全国·课后作业）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 【答案】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 15．（2024七年级上·江苏·专题练习）在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 16．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数，1～9的算筹表示如表所示．表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，在个位数上斜放一筹可以表示负数，如可以用算筹表示为“”，则“”表示的数是_________． 【答案】 【分析】对照表格，从左到右，找到每个算筹对应的数，再注意个位数上的斜放的算筹即可． 解： 解：由“”对照表格可得，从左到右，依次对应的数为、、， 又∵个位数上斜放了一筹，表示负数， ∴“”表示的数是． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在中，哪些是正数，哪些是负数？ 【答案】正数有：；负数有：． 【分析】本题是对正数和负数的区分，熟练掌握正数和负数的定义是解题的关键．正数前边有“”或省略“”的形式，比要大，根据定义可以找到符合条件的正数； 负数是比零小的数，有负号“”，据此可找到负数，注意既不是正数，也不是负数． 解：根据正数的定义可得正数有：； 根据负数的定义可得负数有：． 18．（25-26七年级上·云南玉溪·期中）把下列各数填在相应的集合中． 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，， （1）负数集合{________________________……} （2）正分数集合{________________________……} （3）非负整数集合{________________________……} 【答案】（1）负数集合{……}；（2）正分数集合{0.81，，3.14……}；（3）非负整数集合{15，171，0……} 【分析】本题考查了有理数分类，掌握负数、正分数、非负整数的定义是解题的关键． （1）根据负数就是小于0的数，解答即可； （2）根据正分数是分数并且还是正数，注意有限小数也是分数，解答即可； （3）根据非负整数是正整数和0，解答即可． （1）解：负数集合{……}； （2）解：正分数集合{0.81，，3.14……}； （3）解：非负整数集合{15，171，0……}． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个物体沿着东西两个相反的方向运动，如果把向东的方向规定为正方向，那么向东运动5m，向西运动各应记作什么？运动了6m，运动了，运动了0m各表示什么意义？ 【答案】向东运动5米记作＋5米，向西运动6.8米怎样表示−6.8米；运动6m米表示物体向东运动6米，运动−15m米表示物体向西运动15米，运动0m米表示物体没有运动． 解：分析：利用向东前进记为“＋”，向西前进记为“−”，再根据正负数表示相反意义的量，可得结果． 详解：一个物体沿东西两个相反的方向运动时可以用正负数表示它们的运动，如果向东运动5米记作＋5米，那么向西运动6.8米怎样表示−6.8米； 如果运动6m米表示物体向东运动6米，运动−15m米表示物体向西运动15米，运动0m米表示物体没有运动． 点睛：本题考查了正数与负数，正确理解正负数表示相反意义的量是解题关键． 20．（25-26七年级上·全国·课后作业）一种商品的标准价格是300元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动． （1）这里的含义是什么？ （2）请你算出该商品的最高价格和最低价格． （3）如果以标准价格作为参考，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 【答案】（1）见分析；（2）元，元；（3）元 【分析】本题考查了正数和负数的知识． （1）“”表示加价，“”表示降价； （2）根据浮动标准，可计算出最高价格和最低价格； （3）求出所代表的价格，然后即可表示出价格的浮动范围． （1）解：的含义是在标准价格的基础上，加价和降价的幅度不超过10%． （2）最高价格是（元）， 最低价格是（元）． （3）因为（元）， 所以该商品价格的浮动范围又可以表示为元． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $