1.2 数轴 同步讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“数轴”核心知识点，系统梳理数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）、点与数的对应关系及比较大小方法，进而衔接相反数概念，通过数轴揭示其几何意义（关于原点对称），构建从形到数的学习支架。 资料以“题型分类+解题知识+典例变式”设计，如数轴动点问题、圆滚动周期题培养几何直观与抽象能力，相反数多重符号化简题强化推理意识。过关验收融入出租车里程等实际情境，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升数学应用能力。

第一章 1.2 数轴 内 容 导 航 题型1 数轴 题型2 相反数 考 点 演 练 题型1 数轴 解｜题｜知｜识 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【典例1】下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数12，且AB＝18，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，PB的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确结论的个数是（　　） ①B对应的数是﹣6； ②点P到达点B时，t＝9； ③BP＝2时，t＝8； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】在数轴上，一点从原点开始，先向右移动2个单位，再向左移动7个单位后到达终点，这个终点表示的数是（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【变式3】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 题型2 相反数 解｜题｜知｜识 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 【典例1】2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 【变式1】的相反数是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【变式2】下列化简，正确的是（　　） A．﹣（﹣7）＝﹣7 B．﹣[﹣（﹣15）]＝﹣15 C．﹣（+2）＝2 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+8）与﹣（﹣8） B．﹣（+8）与﹣8 C．﹣（﹣8）与8 D．﹣8与+（﹣8） 过 关 验 收 1．如图，有理数a、b在数轴上分别对应点A、B，下列各式正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D． 2．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 3．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣18，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（　　） A．3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 4．数轴上的点A到原点的距离为9，则点A表示的数是（　　） A．9 B．﹣9 C．9或﹣9 D．4.5或﹣4.5 5．如图所示，下列关于a，b，c的说法中正确的个数是（　　） ①1＜a＜2 ②c＜﹣1 ③b＞﹣2 ④b＜a ⑤﹣1＜c＜2 ⑥a到原点的距离大于b到原点的距离 ⑦在a与c之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（　　） A．a+b＞0 B． C．c+1＜0 D．abc＞0 7．如图，在数轴上点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知AB＝5，则点B表示的数为 　 　 ． 8．出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，表中是上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 ﹣3 ﹣15 +19 ﹣1 +5 ﹣12 ﹣6 +12 载客 × O O × O O O O （1）刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ （2）已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于2升则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； （3）已知载客时3千米以内收费15元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.8元，问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 9．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： 14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的位置； （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 10．计算：﹣（﹣2）＝（　　） A．﹣2 B． C．±2 D．2 11．相反数等于其本身的数有（　　） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 12．的相反数是（　　） A．﹣2024 B． C． D．以上都不是 13．下列各对数中，互为相反数的有（　　） （﹣1）与+1；﹣（﹣2）与+（﹣2）；与；﹣（+1）与+（﹣1）；﹣（+2）与﹣（﹣2） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 14．如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 　 　 ． 15．a+2和b﹣3互为相反数，那么a+b＝ 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 1.2 数轴 内 容 导 航 题型1 数轴 题型2 相反数 考 点 演 练 题型1 数轴 解｜题｜知｜识 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【典例1】下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、没有正方向，故A选项不符合题意； B、没有单位长度，故B选项不符合题意； C、原点、正方向、单位长度三要素正确，故C选项符合题意； D、没有原点，正数和负数的位置错，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式1】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数12，且AB＝18，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，PB的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确结论的个数是（　　） ①B对应的数是﹣6； ②点P到达点B时，t＝9； ③BP＝2时，t＝8； ④在点P的运动过程中，线段MN的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且AB＝18， ∴B对应的数为12﹣18＝﹣6，故①正确； ∵18÷2＝9， ∴点P到达点B时，t＝9，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵BP＝2， ∴AP＝16， ∴t＝16÷2＝8； 当点P在点B左边时， ∵BP＝2， ∴AP＝18+2＝20， ∴t＝20÷2＝10， ∴BP＝2时，t＝8或10，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 【变式2】在数轴上，一点从原点开始，先向右移动2个单位，再向左移动7个单位后到达终点，这个终点表示的数是（　　） A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5 【答案】D 【解答】解：根据向右移动用加法，向左移动用减法进行计算可得： 从原点开始，先向右移动2个单位，表示的数是2， 再向左移动7个单位后，终点表示的数是：2﹣7＝﹣5， 故选：D． 【变式3】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：2025﹣（﹣1）＝2026， 2026÷4＝506……2， 所以数轴上表示2025的点与圆周上的数字2重合， 故选：C． 题型2 相反数 解｜题｜知｜识 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 【典例1】2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　） A．﹣2025 B． C．2025 D． 【答案】A 【解答】解：2025的相反数是﹣2025． 故选：A． 【变式1】的相反数是（　　） A． B． C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：的相反数是， 故选：A． 【变式2】下列化简，正确的是（　　） A．﹣（﹣7）＝﹣7 B．﹣[﹣（﹣15）]＝﹣15 C．﹣（+2）＝2 D．﹣[﹣（+8）]＝﹣8 【答案】B 【解答】解：A、﹣（﹣7）＝7，故此选项不符合题意； B、﹣[﹣（﹣15）]＝﹣（+15）＝﹣15，故此选项符合题意； C、﹣（+2）＝﹣2，故此选项不符合题意； D、﹣[﹣（+8）]＝﹣（﹣8）＝8，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式3】下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．﹣（+8）与﹣（﹣8） B．﹣（+8）与﹣8 C．﹣（﹣8）与8 D．﹣8与+（﹣8） 【答案】A 【解答】解：A、﹣（+8）＝﹣8，﹣（﹣8）＝8，即﹣（+8）与﹣（﹣8）互为相反数，故此选项符合题意； B、﹣（+8）＝﹣8，即﹣（+8）与﹣8不互为相反数，故此选项不符合题意； C、﹣（﹣8）＝8，即﹣（﹣8）与8不互为相反数，故此选项不符合题意； D、+（﹣8）＝﹣8，故两数不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：A． 过 关 验 收 1．如图，有理数a、b在数轴上分别对应点A、B，下列各式正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．a•b＞0 D． 【答案】B 【解答】解：∵有理数a、b在数轴上分别对应点A、B， ∴a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴a+b＞0，a﹣b＜0，ab＜0，， ∴选项A，C，D不正确，不符合题意，选项B正确，符合题意， 故选：B． 2．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，且，则原点O的位置在（　　） A．点A的右边 B．点B的左边 C．A，B两点之间，且靠近点A D．A，B两点之间，且靠近点B 【答案】C 【解答】解：∵， ∴a与b异号（即一正一负）， ∴b＜0＜a， ∵a+b＜0， ∴|b|＞|a|， ∴原点O的位置在A，B两点之间，且靠近点A． 故选：C． 3．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣18，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（　　） A．3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 【答案】C 【解答】解：设点A落在数轴上的点表示的数为a，点C表示的数为c， a﹣c+8＝20﹣c，a＝12， ﹣18+[12﹣（﹣18）]÷2 ＝﹣18+15 ＝﹣3， 或a﹣c﹣8＝20﹣c，a＝28， ﹣18+[28﹣（﹣18）]÷2 ＝﹣18+23 ＝5， ∴C点表示的数是5或﹣3． 故选：C． 4．数轴上的点A到原点的距离为9，则点A表示的数是（　　） A．9 B．﹣9 C．9或﹣9 D．4.5或﹣4.5 【答案】C 【解答】解：数轴上的点A到原点的距离为9，则点A表示的数是﹣9或9． 故选：C． 5．如图所示，下列关于a，b，c的说法中正确的个数是（　　） ①1＜a＜2 ②c＜﹣1 ③b＞﹣2 ④b＜a ⑤﹣1＜c＜2 ⑥a到原点的距离大于b到原点的距离 ⑦在a与c之间有2个整数 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解答】解：1＜a＜2，①正确； c＞﹣1，②错误； b＜﹣2，③错误； b＜a，④正确； ﹣1＜c＜2，⑤正确； a到原点的距离小于b到原点的距离，⑥错误； 在a与c之间有2个整数，⑦正确． ∴正确的有4个． 故选：B． 6．已知数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则下列各式错误的是（　　） A．a+b＞0 B． C．c+1＜0 D．abc＞0 【答案】B 【解答】解：由数轴可得：c＜b＜0＜a，|a|＞|b|，|c|＞1， ∴a+b＞0，，c+1＜0，abc＞0故A、C、D正确，B错误， 故选：B． 7．如图，在数轴上点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知AB＝5，则点B表示的数为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：3﹣5＝﹣2， ∴点B表示的数为﹣2． 故答案为：﹣2． 8．出租车司机刘师傅某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运，表中是上午每次行驶的里程记录（单位：千米）（规定向东走为正，向西走为负；×表示空载，O表示载有乘客，且乘客都不相同）： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 里程 ﹣3 ﹣15 +19 ﹣1 +5 ﹣12 ﹣6 +12 载客 × O O × O O O O （1）刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ （2）已知出租车每千米耗油约0.06升，刘师傅开始营运前油箱里有8升油，若少于2升则需要加油，请通过计算说明刘师傅这天上午中途是否可以不加油； （3）已知载客时3千米以内收费15元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.8元，问：刘师傅这天上午最高一次的营业额是多少元？ 【答案】（1）刘师傅走完第8次里程后，他在A地的西边，离A地有1千米； （2）刘师傅这天上午中途可以不加油； （3）刘师傅这天上午最高一次的营业额是59.8元． 【解答】解：（1）﹣3﹣15+19﹣1+5﹣12﹣6+12＝﹣1， 答：刘师傅走完第8次里程后，他在A地的西边，离A地有1千米． （2）刘师傅这天上午行驶的总路程为：|﹣3|+|﹣15|+|+19|+|﹣1|+|+5|+|﹣12|+|﹣6|+|+12|＝73（千米）， 耗油量为：0.06×73＝4.38（升）， 8﹣4.38＝3.62＞2， 答：刘师傅这天上午中途可以不加油． （3）由表可知，刘师傅这天上午第3次的里程营业额最高． 第3次的营业额为：15+（19﹣3）×2.8＝59.8（元）， 答：刘师傅这天上午最高一次的营业额是59.8元． 9．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： 14，﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5． （1）请你帮忙确定B地相对于A地的位置； （2）若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵14﹣9+8﹣7+13﹣6+12﹣5＝20， 答：B地在A地的东边20千米； （2）这一天走的总路程为：14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12|+|﹣5|＝74千米， 应耗油74×0.5＝37（升）， 故还需补充的油量为：37﹣28＝9（升）， 答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充9升油． 10．计算：﹣（﹣2）＝（　　） A．﹣2 B． C．±2 D．2 【答案】D． 【解答】解：﹣（﹣2）＝2，D选项正确． 故选：D． 11．相反数等于其本身的数有（　　） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 【答案】A 【解答】解：0的相反数是0， 故选：A． 12．的相反数是（　　） A．﹣2024 B． C． D．以上都不是 【答案】B 【解答】解：的相反数是． 故选：B． 13．下列各对数中，互为相反数的有（　　） （﹣1）与+1；﹣（﹣2）与+（﹣2）；与；﹣（+1）与+（﹣1）；﹣（+2）与﹣（﹣2） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【解答】解：（﹣1）与+1互为相反数； ∵﹣（﹣2）＝2，+（﹣2）＝﹣2， ∴﹣（﹣2）与+（﹣2）互为相反数； ∵，， ∴与相等，不互为相反数； ∵﹣（+1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1， ∴﹣（+1）与+（﹣1）相等，不互为相反数； ∵﹣（+2）＝﹣2，﹣（﹣2）＝2， ∴﹣（+2）与﹣（﹣2）互为相反数； 即互为相反数的有3对． 故选：C． 14．如图，数轴上A，B两点表示的数是互为相反数，且点A与点B之间的距离为4个单位长度，则点A表示的数是 　﹣2　 ． 【答案】﹣2 【解答】解：4÷2＝2， 则这两个数是+2和﹣2． 故答案为：﹣2． 15．a+2和b﹣3互为相反数，那么a+b＝ 　1　 ． 【答案】1 【解答】解：由题意得：a+2+b﹣3＝0， ∴a+b＝1， 故答案为：1． 学科网（北京）股份有限公司 $