专题07平方根精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦平方根与算术平方根核心知识点，从平方运算逆向引入概念，系统梳理定义、符号表示及性质，明确平方与开平方的逆运算关系，突出被开方数与算术平方根的双重非负性，为实数学习搭建基础支架。 资料通过十大分层题型设计，涵盖概念辨析、非负性应用等中考高频考点，解题思路结合实际问题如正方形面积求边长，培养学生数学思维与应用意识。课中助力教师高效授课，课后可通过错题分析与分层练习帮助学生查漏补缺。

专题07平方根精讲学案 核心立意 本节课由平方运算逆向引入平方根，理解平方根、算术平方根概念与符号表示，明确平方与开平方互为逆运算；掌握平方根相关性质，体会被开方数、算术平方根双重非负性，为本章实数的学习打好基础。中考常以选择、填空考查概念辨析、求平方根与算术平方根，非负性是高频中档考点。 平方根定义： 如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根（二次方根），即若x2=a，则x是a的平方根。 平方根性质： 正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0，平方根等于它本身的数只有0；负数没有平方根。 符号表示： 正数a正平方根记作，负平方根记作-，平方根整体记作，a叫做被开方数，被开方数a0。 算术平方根： 正数的正平方根叫做算术平方根，0的算术平方根是0，记作(a0)}；算术平方根结果0，具备双重非负性。 开平方运算： 求一个数平方根的运算叫开平方，开平方与平方互为逆运算，可以借助平方运算求平方根。 基础运算： 会求正数、0的平方根和算术平方根，能区分、-、三者含义；可利用平方根求解简单x2=a型方程。 实际应用： 结合正方形面积求边长，实际问题一般只取算术平方根（正数结果）。 ①概念混淆：平方根和算术平方根区分不清，正数的平方根是两个互为相反数，算术平方根只有一个正值。 ②符号理解错误：本身只代表算术平方根（非负），求完整平方根必须写。 ③忽视被开方数非负：负数没有平方根，被开方数不能为负数。 ④双重非负性题型：0且a0，遇到几个算术平方根相加等于0，令每一个被开方数等于0求解。 ⑤实际应用题：面积求边长，现实边长不能取负值，只保留算术平方根结果。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★★ 题型六 平方根概念理解 ★★ 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★★ 题型八 求一个数的平方根 ★★ 题型九 平方根的应用 ★★★ 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路：①先确定被开方数；②思考哪个非负数的平方等于这个被开方数；③这个非负的结果，就是它的算术平方根。 1．计算：_____________． 【答案】 【详解】∵ ，且为非负数， ∴ ． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根非负，负数没有平方根的性质，化简各选项即可判断对错． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为，即，A错误； B、被开方数，负数没有平方根，无意义，B错误； C、，C错误； D、，计算正确． 3．已知，则_______． 【答案】 【分析】根据一个正数的小数点每向右（向左）移动两位，则其算术平方根的小数点向右（向左）移动一位进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 4．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：， ，即，故①错误； ，， ，故②错误； ， ，即， 正整数有，，，，共个，故③正确； 由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确； 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路：①记住双重非负：被开方数a0，算术平方根0；②如果几个非负数相加等于0，则每一个非负数都等于0；③分别列方程求出字母取值，再代入式子算出最终结果。 5．代数式的最大值为 __． 【答案】2 【详解】解：， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 6．如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 【答案】A 【分析】由二次根式有意义的条件及平方的非负性，确定被开方数只能为0． 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 7．若，其中均为整数，则___________． 【答案】0或2或4 【分析】本题考查算术平方根的双重非负性，先推导与都是非负整数，继而分①当时，②当时，③当时，分钟情况讨论即可得解． 【详解】解：因为，其中均为整数，． 所以与都是非负整数， ①当时， ， 所以； ②当时， 或， 所以或； ③当时， 或， 所以或． 综上所述，的值为0或2或4． 8．已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及有意义的条件、求一个数的平方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则原式， 解得， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 则的平方根为， 故选：D． 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路：①找与被开方数相邻的两个完全平方数；②给两个完全平方数同时开平方；③由此判断原算术平方根介于哪两个整数之间。 9．满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】正确估算出不等式左右两边无理数的大致范围，再找出符合条件的整数． 【详解】解：估算的范围，可得，因此，， 化简并估算，可得，因为，因此，即，． 因此不等式的范围为，该范围内的整数有，任取一个即可，例如． 10．数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据正方形的面积公式求出x的值，再估算出x的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴整数n的值为6． 11．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 【答案】5 【分析】先根据绝对值的非负性确定的取值范围，去掉绝对值符号化简方程组，求解得到的值，再估算无理数的大小得到整数，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：由 得 ， 根据绝对值的非负性得，即； 当时，， 代入 得 ， 整理得， 由得 ， 解得 ， 因此，代入 得， 将代入得：， 解得， 将代入得， ∵，∴， ∵ ，为整数， ∴， ∴ ． 12．如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】估算出的范围，即可得出结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故这个比值最接近的整数是4. 题型四：求算术平方根的整数部分和小数部分 解题思路：①先估算，确定这个算术平方根在哪两个连续整数之间；②较小的那个整数就是它的整数部分；③用这个算术平方根减去整数部分，得到小数部分。 13．的小数部分为__________． 【答案】 【分析】先确定的取值范围，得到它的整数部分，再用原数减去整数部分即可得到小数部分． 【详解】解：，， ， ∴， 的整数部分为， 的小数部分为． 14．数，则有，即，所以的整数部分是2，小数部分是．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（   ） A．5， B．2， C．5， D．2， 【答案】A 【分析】本题按照题干给出的夹逼法，先找出相邻的两个可开方的完全平方数确定的范围，再据此计算整数部分和小数部分． 【详解】解：∵， ∴，即 ， ∴的整数部分是，小数部分为原数减去整数部分，即． 15．已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，得到整数的值，再估算出的取值范围，得到小数部分的值，代入计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ，即， ∵ 是的整数部分， ∴ ， 不等式两边同时加，得 ， ∵ 是的小数部分， ∴ ， ∴ ． 16．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查算术平方根的整数部分和小数部分，代数式求值，找出离19最近的两个平方数，求出的取值范围，进而求出a，b，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：． 题型五：算术平方根的实际应用 解题思路：①读懂题目，将实际问题转化为求算术平方根；②根据等量关系列出算式；③结合现实意义舍去负数，只取非负结果作答。 17．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 【答案】 【分析】将，代入公式求解，结合速度的实际意义确定为正，再将结果化为最简二次根式即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得， 由实际意义可知，， 因此． 18．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴. 19．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 20．如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】由正方形的面积求出各自的边长，进而表示出阴影部分的长与宽，即可求出面积． 【详解】解：根据题意得：大正方形的边长为，小正方形的边长为， 阴影部分的长和宽分别为和， 阴影部分的面积． 题型六：平方根概念理解 解题思路：①依据定义：若x2=a，那么x叫做a的平方根；②牢记性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；③分清、-、各自代表的含义。 21．若是2026的两个平方根（），则的值为___________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此可求出的值． 【详解】解：，是的两个平方根，且， 与互为相反数， ． 22．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 23．若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可. 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， ， ． 24．关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；根据平方根的意义与性质进行判断即可． 【详解】①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 故选：A． 题型七：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路：①先计算给出的几组式子的结果；②对比观察被开方数和结果的变化关系；③总结出通用变化规律；④套用发现的规律直接求解目标算式。 25．小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 26．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【分析】根据数阵中数字的特点总结规律求解即可． 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 27．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 题型八：求一个数的平方根 解题思路：①先确认被开方数不能是负数；②找出平方等于该数的两个互为相反数的数；③书写完整结果，注意带上符号。 28．的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义，找到平方等于的数即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ 的平方根是. 29．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、表示的平方根，结果为，选项计算错误； B、表示的算术平方根，结果为，选项计算错误； C、，选项计算正确； D、，算术平方根的结果为非负数，选项计算错误． 30．已知，则的平方根为______． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 31．若是25的平方根，，则的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的定义，算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根． 根据平方根的定义求出m的值，再根据算术平方根的定义求出n的值，然后解答即可． 【详解】解：∵m是25的平方根， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 题型九：平方根的应用 解题思路：①根据题意列出x2=a的方程形式；②判断a0，两边同时开平方求x；③对照题目的限制条件，筛选出符合题意的答案。 32．若一个正数的两个平方根分别是和，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的性质．根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此进行求解即可． 【详解】解：由题意，正数的两个平方根互为相反数，故有， 即， 解得． 故答案为． 33．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 34．若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型十：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路：①正数的两个平方根互为相反数，相加等于0；②把题目给的两个平方根相加等于0，列方程求出参数；③将参数代回平方根，再做平方运算，求出原数。 35．已知的平方根是，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， ． 36．已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________． 【答案】 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴． 37．已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 【答案】9 【分析】一个正数的两个平方根是互为相反数的，据此可得，求出，再根据平方根的定义即可求出这个正数． 【详解】解：一个正数的平方根分别为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个正数是． 38．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 2．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值都是非负数，列出方程组求出、的值，从而求出的算术平方根； （2）根据一个正数的两个平方根互为相反数，据此求出的值，再根据平方根的定义计算的值． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， 的算术平方根为； （2）解：一个正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ． 3．长方形画纸的面积为，长与宽的比为． (1)求长方形的长与宽； (2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)解：不能实现 ， ∴， 又∵半径为的圆形画纸其直径为， ∴长方形的宽小于圆的直径， ∴不能裁出半径为的圆形画纸，王芳的想法不可行． 【分析】（1）根据题意，设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米，列方程求出长方形的长和宽， （2）计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行． 【详解】（1）解：∵长方形画纸的面积为，长与宽的比为， ∴设长方形画纸的长为厘米，则宽为厘米， ∴， 解得：或（舍去）， ∴长方形的长为，宽为． （2）略 4．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据得到的取值范围即可； （2）仿照示例作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵m是的整数部分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6， 所以可以取，则， 则． 5．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 【答案】小志能裁剪出他需要的圆形布料 【分析】设圆形布料的半径为，直径为，求出，进而得出结论． 【详解】解：设圆形布料的半径为，直径为， 则， ， ， ，， 小志能裁剪出他需要的圆形布料． 6．先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07平方根精讲学案 核心立意 本节课由平方运算逆向引入平方根，理解平方根、算术平方根概念与符号表示，明确平方与开平方互为逆运算；掌握平方根相关性质，体会被开方数、算术平方根双重非负性，为本章实数的学习打好基础。中考常以选择、填空考查概念辨析、求平方根与算术平方根，非负性是高频中档考点。 平方根定义： 如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根（二次方根），即若x2=a，则x是a的平方根。 平方根性质： 正数有两个互为相反数的平方根；0的平方根是0，平方根等于它本身的数只有0；负数没有平方根。 符号表示： 正数a正平方根记作，负平方根记作-，平方根整体记作，a叫做被开方数，被开方数a0。 算术平方根： 正数的正平方根叫做算术平方根，0的算术平方根是0，记作(a0)}；算术平方根结果0，具备双重非负性。 开平方运算： 求一个数平方根的运算叫开平方，开平方与平方互为逆运算，可以借助平方运算求平方根。 基础运算： 会求正数、0的平方根和算术平方根，能区分、-、三者含义；可利用平方根求解简单x2=a型方程。 实际应用： 结合正方形面积求边长，实际问题一般只取算术平方根（正数结果）。 ①概念混淆：平方根和算术平方根区分不清，正数的平方根是两个互为相反数，算术平方根只有一个正值。 ②符号理解错误：本身只代表算术平方根（非负），求完整平方根必须写。 ③忽视被开方数非负：负数没有平方根，被开方数不能为负数。 ④双重非负性题型：0且a0，遇到几个算术平方根相加等于0，令每一个被开方数等于0求解。 ⑤实际应用题：面积求边长，现实边长不能取负值，只保留算术平方根结果。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★★ 题型四 求算术平方根的整数部分和小数部分 ★★★★ 题型五 算术平方根的实际应用 ★★★ 题型六 平方根概念理解 ★★ 题型七 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★★ 题型八 求一个数的平方根 ★★ 题型九 平方根的应用 ★★★ 题型十 已知一个数的平方根，求这个数 ★★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：求一个数的算术平方根 解题思路：①先确定被开方数；②思考哪个非负数的平方等于这个被开方数；③这个非负的结果，就是它的算术平方根。 1．计算：_____________． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则_______． 4．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 题型二：利用算术平方根的非负性解题 解题思路：①记住双重非负：被开方数a0，算术平方根0；②如果几个非负数相加等于0，则每一个非负数都等于0；③分别列方程求出字母取值，再代入式子算出最终结果。 5．代数式的最大值为 __． 6．如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 7．若，其中均为整数，则___________． 8．已知，，的平方根是（    ） A． B． C． D． 题型三：估计算术平方根的取值范围 解题思路：①找与被开方数相邻的两个完全平方数；②给两个完全平方数同时开平方；③由此判断原算术平方根介于哪两个整数之间。 9．满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 10．数学探究社团的团徽是如图所示的“赵爽弦图”图案，其中四边形是正方形．已知该图案的面积为，设，，则整数的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．若实数，同时满足，，（为整数），则___________． 12．如图是我国古代的指南针，古人称它为司南．当它静止的时候，勺柄就会指向南方，已知司南的长度与最大宽度的比值为．与这个比值最接近的整数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四：求算术平方根的整数部分和小数部分 解题思路：①先估算，确定这个算术平方根在哪两个连续整数之间；②较小的那个整数就是它的整数部分；③用这个算术平方根减去整数部分，得到小数部分。 13．的小数部分为__________． 14．数，则有，即，所以的整数部分是2，小数部分是．用这种方法可以推断的整数部分和小数部分分别是（   ） A．5， B．2， C．5， D．2， 15．已知是的整数部分，是的小数部分，求___________． 16．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则________． 题型五：算术平方根的实际应用 解题思路：①读懂题目，将实际问题转化为求算术平方根；②根据等量关系列出算式；③结合现实意义舍去负数，只取非负结果作答。 17．据研究，撑杆跳高运动员起跳后身体重心提高的高度（米）与其起跳速度（米/秒）之间满足（其中米/秒2）．若某运动员在训练中要使起跳后身体重心提高3米，则其起跳时的速度应为______米/秒（结果化为最简二次根式）． 18．射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中a为子弹的加速度，l为枪筒的长．如果，，那么子弹射出枪口时的速度为（    ） A． B． C． D． 19．要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 20．如图所示，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______． 题型六：平方根概念理解 解题思路：①依据定义：若x2=a，那么x叫做a的平方根；②牢记性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根；③分清、-、各自代表的含义。 21．若是2026的两个平方根（），则的值为___________． 22．下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 23．若a，b是2026的两个平方根（），则______． 24．关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 题型七：与算术平方根有关的规律探索题 解题思路：①先计算给出的几组式子的结果；②对比观察被开方数和结果的变化关系；③总结出通用变化规律；④套用发现的规律直接求解目标算式。 25．小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 26．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 27．根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 题型八：求一个数的平方根 解题思路：①先确认被开方数不能是负数；②找出平方等于该数的两个互为相反数的数；③书写完整结果，注意带上符号。 28．的平方根是______． 29．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 30．已知，则的平方根为______． 31．若是25的平方根，，则的关系是（   ） A． B． C． D． 题型九：平方根的应用 解题思路：①根据题意列出x2=a的方程形式；②判断a0，两边同时开平方求x；③对照题目的限制条件，筛选出符合题意的答案。 32．若一个正数的两个平方根分别是和，则______． 33．如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 34．若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 题型十：已知一个数的平方根，求这个数 解题思路：①正数的两个平方根互为相反数，相加等于0；②把题目给的两个平方根相加等于0，列方程求出参数；③将参数代回平方根，再做平方运算，求出原数。 35．已知的平方根是，则的值是__________． 36．已知一个正数x的两个平方根分别是和，则正数_________． 37．已知一个正数的平方根分别为和，这个正数是___________． 38．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 解答题 1．化简： (1)； (2)； (3)． 2．解答下列问题 (1)已知、满足，求的算术平方根； (2)如果一个正数的两个平方根分别是和，求的值． 3．长方形画纸的面积为，长与宽的比为． (1)求长方形的长与宽； (2)王芳想从这个长方形画纸中裁出半径为的圆形画纸，能实现吗？请你通过计算帮助王芳分析一下． 4．在数学活动课上，老师提出了一个关于“估算算术平方根”的问题． 小红发现，对于一个正整数n，如果它不是完全平方数，可以通过适当的方法来估算的大小． (1)已知，．若m是的整数部分，则________． 【方法探究】 小红在研究中发现了一个有趣的现象：对于正数a，b，若，则． 她在估算时想到的方法是：因为的整数部分是4，所以可以取，则，则． 【学以致用】 (2)请利用小红的方法，估算的值． 5．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为，宽为的矩形布料裁剪出一块面积为的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（取） 6．先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $