25.3 第2课时 增长率问题 导学案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的应用，核心内容为增长率（下降率）及两轮传播问题。通过“知识链接”回顾旧知，如利润增长、价格下降的基础计算，搭建学习支架，衔接新授内容的等量关系构建。 资料以“自主探究+合作交流+当堂检测”分层设计，结合水果店利润、病毒传染等实际问题，引导学生抽象数量关系，培养数学眼光（抽象能力）和数学思维（推理能力），强调根的实际检验，提升模型意识（数学语言），助力学生掌握方程应用及实际意义分析。

第二十五章　一元二次方程　25.3 一元二次方程的应用（第2课时）——增长率问题 【学习目标】 ① 掌握平均增长率（下降率）问题中的等量关系：经过两次变化，新量＝原量×（1±x，能根据题意列出一元二次方程； ② 掌握病毒传染、信息分支等“两轮传播”类问题的数量关系：最终总数＝原量×（1＋x，会列出方程； ③ 会解出方程后结合实际问题对根进行合理性检验与取舍，并能进行后续预测（突破某值、达到某量）。 【学习重难点】 重点：根据“增长率/下降率”“传染/传播”问题中的数量关系列出一元二次方程。 难点：区分“终值”与“累计值”；正确表示两轮传播后的总数量；解出根后结合实际意义（增长率通常为正，舍去负根）检验。 【知识链接】（旧知回顾） 1. 某商店去年利润为 100 万元，若每年利润增长率为 20％，则：今年利润＝100×(1＋________)＝________ 万元，明年利润＝100×(1＋________)²＝________ 万元。 2. 牛肉一月份每千克 100 元，若每月价格的下降率为 x，则：二月份价格为 100×(1－________) 元，三月份价格为 100×(1－________)² 元。 【自主探究】 探究1　平均增长率/下降率问题（已知原量与新量） 【例1】某水果店今年1月份销售利润是 2 万元，2、3月份利润均有所增长，3月份利润达到 4.5 万元。 (1) 求该水果店2、3月份销售利润的月平均增长率； 　　解：设月平均增长率为 x，根据题意，得 2（1＋x＝________， 　　解得 x＝________ 或 x＝________（不合题意，舍去）。答：月平均增长率是________％。 (2) 如果按照这个月平均增长率增长，求月销售利润首次突破 10 万元的月份； 　　解：4月份利润＝4.5×(1＋________)＝________（万元）， 　　5月份利润＝4.5×(1＋________)²＝________（万元）。答：首次突破10万元的是________月份。 【变式1】某快递公司今年2月份投递快递 20 万件，4月份投递 33.8 万件，每月增长率相同。 (1) 求月平均增长率； 　　解：设月平均增长率为 x，得 20（1＋x＝________， 　　解得 x₁＝________＝________％，x₂＝________（舍去）。答：增长率为________％。 (2) 若增长率保持不变，5月份投递量是否达到 45 万件？ 　　解：33.8×(1＋________)＝________（万件）。∵________＜45，∴________达到。 【例2】某种计算机售价由去年10月的 14000 元/台下降到12月的 11340 元/台。 (1) 求去年11、12两月平均每月降价的百分率； 　　解：设平均每月降价百分率为 x，得 14000（1－x＝________， 　　解得 x₁＝________＝________％，x₂＝________（舍去）。答：降价百分率为________％。 (2) 如果继续按此百分率下降，到今年2月售价是否会低于 10000 元/台？ 　　解：11340×(1－________)²＝11340×________＝________（元）。∵________＜10000，∴________低于。 【变式2】某商品原价 100 元，经两次降价后价格是 64 元。 (1) 求平均每次降价的百分率； 　　解：设平均每次降价百分率为 x，得 100（1－x＝________， 　　解得 x₁＝________＝________％，x₂＝________（舍去）。答：降价百分率为________％。 (2) 求第一次降价后的价格； 　　解：100×(1－________)＝100×________＝________（元）。答：第一次降价后________元。 探究2　病毒传染问题 【例3】有一人患了红眼病，经过两轮传染后共有 64 人患病。 (1) 每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 　　解：设每轮平均一人传染 x 个人。 　　第一轮后患病：1＋________；第二轮后：1＋x＋x(1＋x)＝________。 　　根据题意，得 1＋x＋x（1＋x）＝64， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________（舍去）。答：平均一人传染________个人。 (2) 若不及时控制，三轮传染后患病共有多少人？ 　　解：64＋64×________＝________（人）。答：三轮后共________人。 【变式3】某养猪场第一天发现 3 头生猪发病，两天后发现共有 192 头发病。 (1) 每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ 　　解：设每头每天传染 x 头，得 3＋3x＋(3＋3x)x＝________， 　　解得 x₁＝________，x₂＝________（舍去）。答：每头每天传染________头。 (2) 若疫情得不到有效控制，三天后发病头数会超过 1500 头吗？ 　　解：192×(1＋________)＝________（头）。∵________＞1500，∴________超过。 【合作交流】（典型例题，先独立完成后师生共研） 例A：某电影首日票房约 3 亿元，以后每天按相同增长率增长，三天后累计票房达 12 亿元。若把增长率记作 x，则可列方程________。 例B：某植物主干长出若干支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数为 91。设每个支干长出 x 个小分支，则可列方程________。 　 【当堂检测】 1. 某电影一上映就受观众热捧，第一天票房约 3 亿元，以后每天按相同增长率增长，三天后累计票房收入达 12 亿元，若把增长率记作 x，则方程可以列为________。 2. 某居委会 3 人同时得知一则喜讯，经过两轮传递使得有 864 人的居民小区知晓率达 50％，则每轮传递中平均一人传递的人数为________。（填数字） 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 91，设每个支干长出 x 个小分支，则可列方程为________。 4. 某制药厂将一种药剂价格逐年降低，2022 年价格为 200 元，2024 年为 98 元。 　　(1) 求 2022 年到 2024 年这种药剂价格的年平均下降率； 　　(2) 计划 2025 年继续降价，并要求价格不低于 73.5 元，则此次价格的下降率最多是多少？ 【学习小结】 1. 均匀增长（下降）两次问题公式：原量×(1________x)²＝新量（增长用________，下降用________）。 2. 病毒传染、信息传递等“两轮传播”问题：最终总数＝原量×(1＋________)²。 3. 解这类方程通常用________法；求得的根需结合________舍去不合题意的值。 【拓展延伸】 思考：若增长率问题中已知“累计值”（如三天累计票房）而非“终值”，方程应如何列？对比“终值型”与“累计型”两种模型的等量关系差异。 【参考答案与解析】 （以下为重点模块参考答案，供教师备课与学生自纠使用；前面各模块作答区不含答案） 一、知识链接 1. 0.2；120；0.2；144。 2. x；x。 二、自主探究 探究1 例1　(1) 2（1＋x＝4.5；x＝0.5 或 －2.5（舍）；50。 　　　　　 (2) 4.5×(1＋0.5)＝6.75；4.5×(1＋0.5)²＝10.125；5月份。 　　 变式1　(1) 20（1＋x＝33.8；x₁＝0.3＝30％，x₂＝－2.3（舍）；30％。 　　　　　 (2) 33.8×(1＋0.3)＝43.94＜45，不能达到。 　　 例2　(1) 14000（1－x＝11340；x₁＝0.1＝10％，x₂＝1.9（舍）；10％。 　　　　　 (2) 11340×(1－0.1)²＝11340×0.81＝9185.4＜10000，会低于。 　　 变式2　(1) 100（1－x＝64；x₁＝0.2＝20％，x₂＝1.8（舍）；20％。 　　　　　 (2) 100×(1－0.2)＝100×0.8＝80（元）；第一次降价后 80 元。 探究2 例3　(1) 第一轮：1＋x；第二轮：1＋x＋x(1＋x)＝(1＋x)²＝64；x₁＝7，x₂＝－9（舍）；7 人。 　　　　　 (2) 64＋64×7＝512（人）；三轮后共 512 人。 　　 变式3　(1) 3＋3x＋（3＋3x）x＝192；x₁＝7，x₂＝－9（舍）；每头每天传染 7 头。 　　　　　 (2) 192×(1＋7)＝1536＞1500，会超过 1500 头。 三、合作交流 例A：3＋3（1＋x）＋3（1＋x＝12（累计＝首日＋次日＋第三日）。 例B：1＋x＋＝91（主干1＋支干x＋小分支x²）。 四、当堂检测 1. 3＋3（1＋x）＋3（1＋x＝12。 2. 11。（小区共 864 人，知晓率 50％ 即 432 人；3（1＋x＝432 ⇒ (1＋x)²＝144 ⇒ x＝11） 3. 1＋x＋＝91。 4. (1) 设年平均下降率为 x，200（1－x＝98 ⇒ x₁＝0.3＝30％，x₂＝1.7（舍）；年平均下降率 30％。 　 (2) 设此次下降率为 y，98（1－y）≥73.5 ⇒ y≤0.25，最大值为 0.25＝25％；此次下降率最多 25％。 五、学习小结 1. ±（或 ＋ / －）；＋；－。 2. x。 3. 直接开平方（直接开平方法）；实际意义（或实际背景）。 六、拓展延伸（开放题，鼓励自主探究，略） 学科网（北京）股份有限公司 $