第21章《一元二次方程》单元测试卷 2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

**基本信息** 华东师大版九年级上册《一元二次方程》单元卷，22题120分，覆盖定义、解法、应用等核心知识，融合数学文化与实际情境，适配单元复习，体现数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|一元二次方程定义、配方法、根的判别式、韦达定理|结合流感传染（第8题）考查模型意识，古代赵爽几何解法（第11题）渗透文化传承| |填空题|4/16|概念辨析、根的应用、规律探究|第15题通过方程解的规律培养抽象能力，第16题结合二次函数求最值体现推理意识| |解答题|6/56|解方程、判别式证明、几何与实际应用（面积、增长率）|第19题篱笆问题（几何应用）、22题茶叶销售（增长率与利润）强化应用意识，21题换元法培养运算能力与创新思维|

华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、在下列方程中，属于一元二次方程的是（ B   ） A、 B、 C、 D、 2、若关于x的一元二次方程的一个根是，则（   A  ） A、2029 B、2023 C、 D、2025 3、用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    D ） A、 B、2024 C、1 D、 4、若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（  A   ） A、 B、 C、且 D、且 5、已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（   D  ） A、4 B、5 C、6 D、7 6、关于x的方程的根是，（a，b，m均为常数，），则关于x的方程的根是（ B ） A、， B、， C、， D、， 7、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（   C   ） A、2024 B、2026 C、2028 D、4052 8、秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等。若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（  C    ） A、 B、 C、 D、 9、若实数m、n分别满足，，且，则的值为（  B   ） A、12 B、13 C、14 D、15 10、已知实数a，b满足，则的值为（  C   ） A、5或 B、或2 C、5 D、2 11、对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法。以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为.小美尝试用此方法解关于x的方程，构造如图2所示的图形。若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（ A    ） ( 图 1 图 2 ) A、4 B、5 C、6 D、7 12、定义：关于x的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）。现有关于x的方程与方程是“同形二次方程”。则代数式的最大值是（    A  ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为_______； 【答案】 14、已知a是方程的一个根，则____________； 【答案】 15、观察下列方程：①；②；③，可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4.利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程（n为正整数）的解________________；【答案】或 16、已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 . 【答案】12 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分10分）解方程： （1）； （2） 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴或 ∴，； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴， 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟练地掌握解一元二次方程的方法和技巧是解决本题的关键。 18、（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求m值。 【详解】解：（1）∵ 无论m取何值， ∴ 故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根 （2）根据题意得：， ∵ ∴， 解得， ∴m的值为10． 【点评】本题考查一元二次方程实数根与的关系及实数根和方程的系数关系，解决本题要注意：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当方程为，，根据其关系可列方程计算m值． 19、（本小题满分8分）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门。 （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由。 【详解】（1）解：∵宽米 ∴长（米）； ( 1 m A B C D 1 m )（2）解：∵花圃的面积刚好为45平方米， ∴ 化简得： 解得：， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， 化简得： ∴ ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【点评】本题考查列一元二次方程解应用题，熟练地掌握题目隐含的等量关系是解决本题的关键。 20、（本小题满分10分）阅读材料：若，求m、n的值。 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值。 （3）若已知，，求的值。 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴， 解得：， ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴， 解得：， ∵三角形两边之和＞第三边 ∴ 又∵c是正整数 ∴的最大边c的值为4，5，6 ∴c的最大值为6； （3）∵ 即 代入得：，整理得： ∴，且，即，， 则． 故答案为7． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键。 21、（本小题满分10分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值。 解：设，则原方程变为， 整理得，，∴，∵，∴ 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化。 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程、 （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）解方程： （3）已知a，b，c是的三边（c为斜边），周长为12，且a，b满足，试求的面积。 【详解】（1）解：设，则原方程变为， ∴ ∴ ∴或 ∵ ∴ ∴； （2）解：设，则原方程变为 ∴ ∴或 当时，则， ∴，解得 经检验是分式方程的解； 当时，则 ∴，解得， 经检验是分式方程的解； ∴原方程的解为或； （3）解：设，则原方程变为 ∴ ∴或 ∵ ∴ ∵a，b，c是的三边（c为斜边） ∴ ∴ ∵周长为12 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解分式方程，勾股定理，正确理解题意掌握换元法是解题的关键。 22、（本小题满分10分）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒。本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒。已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒。 （1）若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； （2）为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销。市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒。若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 【详解】（1）解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为20%． （2）解：设该茶叶礼盒的售价应降价a元， 由题意得， 化简，得： 解得，． 因为降价后的单盒利润不低于24元 所以，即 所以不合题意，舍去． 答：该茶叶礼盒的售价应降价5元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键。 华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷（解析版）———————第 7 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 学校： 考号： 姓名： 班级： 密 封 线 内 不 要 答 题 密 封 线 )华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷 本试卷三个大题共22个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 全卷总分 总分人 17 18 19 20 21 22 得分 注意事项： 1、答题前，请考生务必将自己姓名、考号、班级等写在试卷相应的位置上； 2、选择题选出答案后，用钢笔或黑色水笔把答案标号填写在选择题答题卡的相应号上。 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。） 1、在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A、 B、 C、 D、 2、若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A、2029 B、2023 C、 D、2025 3、用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（     ） A、 B、2024 C、1 D、 4、若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（      ） A、 B、 C、且 D、且 5、已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A、4 B、5 C、6 D、7 6、关于x的方程的根是，（a，b，m均为常数，），则关于x的方程的根是（ ） A、， B、， C、， D、， 7、若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（      ） A、2024 B、2026 C、2028 D、4052 8、秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等。若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（      ） A、 B、 C、 D、 9、若实数m、n分别满足，，且，则的值为（     ） A、12 B、13 C、14 D、15 10、已知实数a，b满足，则的值为（      ） A、5或 B、或2 C、5 D、2 11、对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法。以方程为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为，则该方程的正数解为.小美尝试用此方法解关于x的方程，构造如图2所示的图形。若图2中大正方形的面积为100，则方程的正数解是（      ） ( 图 1 图 2 ) A、4 B、5 C、6 D、7 12、定义：关于x的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）。现有关于x的方程与方程是“同形二次方程”。则代数式的最大值是（      ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 13、已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为_______； 14、已知a是方程的一个根，则____________； 15、观察下列方程：①；②；③，可以发现它们的解分别是①或2；②或3；③或4.利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程（n为正整数）的解________________； 16、已知实数m，n满足，则代数式的最小值等于 . 三、解答题（本大题6个小题，共56分。解答应写出必要的文字说明或演算步骤。） 17、（本小题满分10分）解方程： （1）； （2） 18、（本小题满分8分）已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有两个实数根，，且，求m值。 19、（本小题满分8分）如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门。 （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长； （2）若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； （3）能否围成面积为的花圃？请说明理由。 ( 1 m A B C D 1 m ) 20、（本小题满分10分）阅读材料：若，求m、n的值。 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知，求的值. （2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值。 （3）若已知，，求的值。 ( 密 封 线 内 不 要 答 题 线 封 密 )21、（本小题满分10分）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值。 解：设，则原方程变为， 整理得，，∴，∵，∴ 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化。 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程、 （1）已知实数x，y满足，求的值； （2）解方程： （3）已知a，b，c是的三边（c为斜边），周长为12，且a，b满足，试求的面积。 22、（本小题满分10分）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼盒。本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40元/盒，售价为70元/盒。已知该礼盒4月份销售100盒，受端午节日氛围带动，6月份销量增至144盒。 （1）若4月份到6月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长率； （2）为了延续端午销售热度，茶农计划在7月份对这款茶叶礼盒降价促销。市场调研显示：以6月份的销量144盒为基数，售价每降低1元，月销售量就会增加8盒。若要使7月份这款礼盒的总利润达到4600元，且降价后的单盒利润不低于24元，该茶叶礼盒的售价应降价多少元？ 华东师大版九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷（原卷版）———————第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $