4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时预习导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦等差数列前n项和的最值求解，通过“温故”回顾前n项和公式及性质，“知新”衔接函数思想与通项正负分析，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 特色在于以函数思想为核心，引导学生用数学眼光观察数列与二次函数的联系，通过课前自测的实际应用题（如火箭路程问题）培养数学语言表达现实世界的能力，反思部分强调两种方法的逻辑推理（数学思维），助力学生掌握最优求解策略，提升应用意识与理性精神。

4.2.2 等差数列的前n项和公式 第2课时 预习提要 1.回顾等差数列通项与前n项和公式，思考n与二次函数的联系，体会利用函数思想研究数列最值，做好预习铺垫. 2.阅读课本内容，探究等差数列前n项和的最值求解方法，掌握利用通项正负、二次函数两种思路，尝试解决简单的综合应用问题. 【温故】 1.等差数列的前n项和公式：______________________________． 2.等差数列前n项和的性质：若等差数列的前 项和为 ，则数列构成等差数列，公差为原公差的___________倍. 【知新】 等差数列前n项和的最值： 1.通项公式法：，其基本思想是通过____________求出符号变化的项，从而求得和的____________； 2.前n项和法：，其基本思想是利用前n项和公式的____________特性，借助抛物线的图象求最值． 3.由等差数列性质可知，等差数列前2n-1项和 课前自测 1.已知等差数列的通项公式为，当且仅当时，数列的前n项和最大，则当时，( ) A.17 B.18 C.19 D.20 2.已知数列的前n项和为，且，，则当取得最小值时，n的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 3.中国载人航天工程发射的第十八艘飞船，简称“神十八”，于2024年4月执行载人航天飞行任务.若运送飞船的运载火箭在点火第一秒钟通过的路程为2km，以后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序，则从点火到进入转弯程序大约需要的时间是( ) A.10秒 B.11秒 C.12秒 D.13秒 4.（多选）已知等差数列的前n项和为，，，则( ) A.数列单调递减 B.数列单调递增 C.有最大值 D.有最小值 5.已知等差数列的前n项和为，，公差，.若取得最大值，则______. 反思 等差数列前项和可整理为不含常数项的二次函数形式，图象为过原点的抛物线上的离散点. 当公差时，数列递增，存在最小值；当公差时，数列递减，存在最大值. 求解最值有两种核心方法：一是函数法，利用二次函数对称轴结合正整数定义域求解；二是项分析法，通过寻找最后一个非负项或非正项确定最值对应的项数，两种方法可相互验证、灵活选用. 等差数列前n项和最值模型广泛应用于经济规划、工程统筹、资源调配等实际场景. 企业逐年增减的产值利润统计、分期收支的盈亏最值测算、人力物资匀速增减的最优配置，均可通过数列最值模型求解最优方案；农业产量递增递减规划、项目工期工作量统筹核算、阶梯式成本收益分析，依托等差数列和值最值规律实现效益最大化、损耗最小化，是数学优化思想服务实际生活的典型应用. 答案及解析 【温故】 1. 2. 【知新】 1. 通项公式 最值 2. 二次函数 3. 课前自测 1.答案：D 解析：由题意可知，当时，，，解得.因为，所以，所以.所以，解得或（舍）.故选D. 2.答案：A 解析：数列的前n项和为，且，，数列是等差数列，公差，且，解得. ，当取得最小值时，n的值是6.故选A. 3.答案：C 解析：设每一秒钟的路程构成数列，由题意可知为等差数列，且其首项，公差，所以.设数列的前n项和为，由，解得（负值舍去），故选C. 4.答案：AC 解析：因为，且，所以是关于n的递减数列，即数列单调递减，故A正确，B错误； ，又，，故一定有最大值，没有最小值，故C正确，D错误.故选AC. 5.答案：7或8 解析：∵在等差数列中，，公差，，，，，，当7或8时，取得最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $