5.3.1导数与函数单调性导学案（1）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.3.1 函数的单调性（1） 【学习目标】 1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养. 2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养. 【学习重难点】 重点： 理解函数的单调性与导数的正负之间的关系 难点：运用导数判断函数的单调性 【知识梳理】 1．观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． （1） （2） （3） （4） (1)函数的定义域为，并且在定义域上是 （填“增函数”或“减函数”），其导数 （填“>”“<”或“=”）. (2)函数的定义域为，在上为 （填“增函数”或“减函数”），在上为 （填“增函数”或“减函数”）．而，当时，其导数 （填“>”“<”或“=”）；当时，其导数 （填“>”“<”或“=”）；当时，其导数 （填“>”或“<”或“=”）. (3)函数的定义域为，在定义域上为增函数．而，当时，其导数；当时，其导数. (4)函数的定义域为，在上为减函数，在上为减函数，而，因为，所以. 2.函数的单调性与其导数的正负关系 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在定义域内的某个区间内, 导数 函数的单调性 单调 单调 常数函数 3.函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 图象的变化与导数值的绝对值的大小关系：若，则是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然越大，函数增长得就越快；同样，若，则是减函数，显然越大，函数减少得就越快．设函数，在区间上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 比较“平缓”(向上或向下) 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)如果函数在某个区间内恒有,那么在此区间内不增不减或为常数函数. (　 ) (2)如果函数是定义在上的增函数,那么一定有. (　 ) (3)在某区间内 ()是函数在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. (　 ) 【典例分析】 例1、如图，是的图象，则函数的单调递减区间是(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. ， D. ， 变式、已知的图象如图所示(其中是函数的导数)，则所给四个图象中，的图象大致是(　 　) A B C D 例2、求下面函数的单调区间． （1）； （2）. （3） 例3、(1)已知函数,则有 (　 ) A. 　B. C. 　D. (2) 函数的定义域为，，对于任意，恒成立，则的解集为 . 【当堂训练】 1.已知的导函数的图象如图所示,那么的图象最有可能是图中的 (　 ) 2.已知函数偶函数，则不等式的解集为 　 　． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.1 函数的单调性（1） 【学习目标】 1.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养. 2.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。 【学习重难点】 重点： 理解函数的单调性与导数的正负之间的关系 难点：运用导数判断函数的单调性 【知识梳理】 1．观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系． （1） （2） （3） （4） (1)函数y＝x的定义域为R，并且在定义域上是 （填“增函数”或“减函数”），其导数y′＝1 0（填“>”“<”或“=”）. 增函数 > (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上为 （填“增函数”或“减函数”），在(0，＋∞)上为 （填“增函数”或“减函数”）．而y′＝2x，当x<0时，其导数y′ 0（填“>”“<”或“=”）；当x>0时，其导数y′ 0（填“>”“<”或“=”）；当x＝0时，其导数y′ 0（填“>”或“<”或“=”）. 减函数 增函数 < > = (3)函数y＝x3的定义域为R，在定义域上为增函数．而y′＝3x2，当x≠0时，其导数 y′＝3x2>0；当x＝0时，其导数y′＝3x2＝0. (4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为减函数，而，因为x≠0，所以y′<0. 2.函数的单调性与其导数的正负关系 函数f(x)的单调性与其导函数f'(x)的正负有如下关系:在定义域内的某个区间(a,b)内, 导数 函数的单调性 f'(x)>0 单调递增 f'(x)<0 单调递减 f'(x)=0 常数函数 3. 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 图象的变化与导数值的绝对值的大小关系：若f′(x)>0，则f(x)是增函数，而导数值的大小不同决定了函数增长的快慢，显然f′(x)越大，函数f(x)增长得就越快；同样，若f′(x)<0，则f(x)是减函数，显然|f′(x)|越大，函数f(x)减少得就越快． 设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 比较“平缓”(向上或向下) 快 慢 【概念辨析】 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0,那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数. (　 ) (2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数,那么一定有f'(x)>0. (　 ) (3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 【典例分析】 例1、如图，是y=f '(x)的图象，则函数y=f(x)的单调递减区间是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(－∞,－1) B.(－2,0) C.(－2,0)，(2,+∞) D.(－∞,－1)，(1,+∞) C 【解析】由导数的图象知,当-2<x<0或x>2时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间是(-2,0),(2,+∞).故选C. 变式、已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是 (　 　) A B C D C 【解析】　当0<x<1时，xf′(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x>1时，xf′(x)>0，所以f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C. 例2 、求下面函数的单调区间． （1）f(x)＝3x2－2ln x； （2）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. （3） 【解】 (1)易知函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝＝， 由f′(x)>0，解得x>，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的减区间为，增区间为. (2)f′(x)＝6x2 + 6x－36=6(x+3)(x-2).易知函数的定义域为R，由f′(x)>0得6(x+3)(x-2)>0， 解得x<－3或x>2；由f′(x)<0得6(x+3)(x-2)<0，解得－3<x<2.故f(x)的递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；递减区间是(－3,2)． (3) 易知函数的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝′e－x＋x2（e－x）′＝ 2xe－x－x2e－x＝e－x·.令f′(x)>0，则0<x<2;令f′(x)<0，则x<0或x>2，所以f(x)的递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，增区间为(0,2)． 例3、 (1)已知函数f(x)=+ln x,则有 (　 ) A.f(e)<f(3)<f(2) 　B.f(3)<f(e)<f(2) C.f(e)<f(2)<f(3) 　D.f(2)<f(e)<f(3) 解析:选D　f'(x)=+,所以x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数,又2<e<3,所以f(2)<f(e)<f(3). (2) 函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2恒成立，则f(x)> 2x＋4的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) （2）B【解析】设g(x)＝f(x)－2x－4，g′(x)＝f′(x)－2， 由题意,得g′(x)>0恒成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增， 又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0， 又f(x)>2x＋4等价于g(x)>0， 所以原不等式的解为x>－1.故选B. 【当堂训练】 1.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x)的图象最有可能是图中的 (　 ) 解析:选D　由题意可知,当x<0和x>2时,导函数f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当0<x<2时,导函数f'(x)>0,函数f(x)单调递增,故函数f(x)的图象如图D. 2.已知函数偶函数，则不等式的解集为 　 　． 【解析】 由题意，得f(-x)＝f(x)，即e-x+aex＝ex+ae-x恒成立，故a＝1， 所以f(x)＝ex+e-x，f′(x)＝ex-e-x，易知f′(-x)＝-f′(x)，故f′(x)是奇函数，且f″(x)＝ex+e-x＞0，故f′(x)是增函数，所以不等式f′(m-2)+f′(4-m2)＜0可化为f′(m-2)＜f′(m2-4)， 即m-2＜m2-4，整理得m2-m-2＞0，解得m＜-1或m＞2，故原不等式的解集为{m|m＜-1或m＞2}． 【课后反思】 学科网（北京）股份有限公司 $