4.2.2 第2课时等差数列的前项和的应用-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第四章数列 对点训练 收数列倍}是递增的等差数列 1.等差数列{an}共有2n+1项，所有的奇数项之和 C.若a,=,且{S}为等差数列，则c=0 为132，所有的偶数项之和为120，则n等于 An+c D.若a7=0,则方程Sn=0有唯一的根n=13 2.(2023·新课标I卷)记Sn为数列{an}的前n项 /方法技巧/ 和，设甲：。，为等差数列：乙：}为等差数列： 若数列{an}是公差为d的等差数列，则其前 n项和可表示为Sm=An2十Bn(n∈N*),其中A 则 ( d ,B=a1- A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 当间葛涉及等差数列的前》项 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 和时，即可设其前n项和为Sn=An2十Bn(A,B C.甲是乙的充要条件 ∈R,n∈N*),再结合题设条件解决间题 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 对点训练 题点三等差数列前n项和公式的应用 1.若等差数列{am}满足a2=7,a5=19且a1十a2十 [典例]（多选）已知等差数列{an}的公差d>0,其 …十am=am2+bm,则ab= ( ) 前n项和为Sn,则下列命题正确的是 ) A.1 B.2 C.12 D.4 ( A.数列{an}递增 2.已知数列{a,}的前n项和Sm=n2十2n-1(n∈ N*),则a1+a3十a5+…十a25= 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知等差数列{an)的前n项和为Sn,且a4十a7=:4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具， a6十3，则Sg= ( 其中最简单的二阶行列式的运算定义为 A.27 B竖 C.9 D.3 a11 a12 =a11a22一a21a12,已知S,m是等差数 2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1= a21 a22 -2021,S6-2S3=18,则S2023= 1 )1 (10-a7) 列{an}的前n项和，若 =0,则 A.-2021 B.2021 1 ag C.2022 D.2023 S15= 3.(多选)已知等差数列{am}的前n项和为Sn,公差： B.45 为d,则下列数列为等差数列的是 ( ) A号 A.SS2n:S3n C.75 D.150 B.Sn S2n-Sn Ssn-S2n 5.记Sm,Tm分别为等差数列{am},{bn}的前n项 C.S.Srt S+2 n’n+1'n+2 有：子一听 n+1n+2 温馨提示 请做课时分层检测（五） 第二课时 等差数列的前n项和的应用 明学习目标 知结构体系 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系， 课标 并能解决相应的问题. 等差数列前n项和的实际应用 要求 等差数列 2.会求等差数列前项和的最值 前n项和 等差数列前几项和的最值 的应用 重点 重点：等差数列的实际应用及最值问题！ 等差数列前n项的绝对值之和 难点 难点：同重点. 15 数学选择性必修第二册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 :2.为了参加5000m长跑比赛，李强给自己制订了 题点一等差数列前n项和的实际应用 10天的训练计划，第1天跑5000m,以后每天比 [典例]7月份，有一新款服装投人某市场.7月1： 前一天多跑400m,李强10天一共跑了多少m? 日该款服装仅售出3件，以后每天售出的该款服 装都比前一天多3件，当日销售量达到最大（只： 有1天)后，每天售出的该款服装都比前一天少2 件，且7月31日当天刚好售出3件： (1)问7月几日该款服装销售最多？最多售出： 几件？ (2)按规律，当该市场销售此服装达到200件时， 社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于 20件时，则不再流行.问该款服装在社会上流行 题点二等差数列前n项和的最值问题 几天？ :[典例]在等差数列{an}中，a1o=18,前5项的和 S5=-15. (1)求数列{am}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何 时取最小值 [拓展] 1.将本例中的条件“S5=一15”改为“S5=125”,其 …/方法技巧/… 余不变，则数列{am}的前n项和有最大值还是有 应用等差数列解决实际问题的一般思路： 最小值？并求出这个最大值或最小值. 根据题设条件，建立数列模型： 建模 ①分析实际问题的结构特征： ②找出所含元素的数量关系； ③确定为何种数列模型. 利用相关的数列知识加以解决： 解模 ①分清首项、公差、项数等； ②分清是求an还是求Sn问题； ③选用适当的方法求解。 把数学问题的解客观化，针对实际问 2.在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn=0,求n. 、还原 题的约束条件合理修正，使其成为实 际问题的解。 对点训练 1.甲、乙两物体分别从相距70m的两处同时相向 运动，甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟 多走1m,乙每分钟走5m,则甲、乙开始运动后 分钟相遇. 16 第四章数列 3.设{a,为等差数列，S。为数列{a,}的前n项和， 题点三求等差数列前n项的绝对值之和 已知十a,=1,56=75,工。为数列{贷}的前n[典别《2023·全国乙卷)记S,为等差数列a, (n 项和. 的前n项和，已知a2=11,S10=40. (1)求Sm: (1)求{an}的通项公式； (2)求T的最小值. (2)求数列{an|}的前n项和Tn …/方法技巧/ 求等差数列{am}前n项的绝对值之和，根据绝 对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是 负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项 的绝对值之和， /方法技巧/ 对点训练 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an:当a1>0,d<0时，前n项和有最 已知等差数列{an}的前n项和Sn=一 大值，可由an≥0且a+1≤0，求得n的值；当 a1<0,d>0,前n项和有最小值，可由an≤0且 2受，求数列。，的前”项和T am+1≥0，求得n的值. (2)利用s:由5.-号+a1-号)(d≠0) 利用二次函数配方法求取得最值时n的值. (3)利用二次函数的图象的对称性 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建 1.设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an= n 设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖. 2(n-1),n∈N,则nS,一2n2的最小值是( 2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每 A.-1 B.2 c号 D.3 个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开 通500万个5G基站时要到 2.跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌 A.2022年12月 B.2023年2月 力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的 C.2023年4月 D.2023年6月 燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一4.Sn是等差数列{an}的前n项和，S222<S2o2o, 个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千： S2021<S2022,则Sm<0时，n的最大值是 米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完 成该计划至少需要 ( ）:5.《孙子算经》是我国南北朝时期（公元5世纪）的 A.16天B.17天C.18天D.19天 数学著作.在《孙子算经》中有“物不知数”问题： 3.随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数： 一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数. 字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的： 设这个整数为a,当a∈[1,500]时，则符合条件 新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建 的所有a的和为 设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年 温馨提示 请做课时分层检测（六） 底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将： 17经检验，当n=1时，a1=2不符合上式， 2,m2N 因此{a}除第1项外，其余项构成以a2=5为首项，2为公差的等差 数列，从而a3,a5,…,a25是以a3=7为首项，4为公差的等差效列， ∴.a1十ag十a5+…+a2s =a+(12a+12×4）=350.] 素养演练·提升技能 1.A[因为{an}为等差数列，所以a4十a7=a6十a5=a6十3，解得a= 3,所以S,=9a十a)_9X24=9u,=27,故选A.] 2 2 2.D[(1)设等差数列{ar)的公差为d. a1=-2021,S6-2S3=18, 60,+65.d-60,-2x82.d=18, 2 整理可得9d=18,解得d=2. 则5,0m=2023×(-2021)+2023X202×2=2023.故选D.] 2 3.BC[由于S.=a1+um,1Dd,5n=2a1+221Dd,5 3a1+3n(3n-1)d 2 Sen-S,-na+2n(2n-1)d n(n-1)d 2 S,-S2w=u1+3n(3-1Dd_2n(2m-1d 2 显然S,.,S2m,Sm不成等差数列， 且2(S2m-Sn)=Sn+(S3m-52m)=2na1+n(31-1)d, 所以S。,S2m一Sm,Sm一S2m是等差数列. 由S,=a+nn1Dd 2 得S=a1+n,104, 所以或等差列] 4.C[由行列式的定义有1×ag-1×(10-a7)=0,即a1+7d=as= 5,所以516=15(a,+a2-15X2a=15.故速C.] 2 2 S 5号[：S工，分别为等差数列a,6的前m项和 73…不妨设5，=m(n+1),工，=n(2m十3)…n≥2时2=5， 56=7X8-6X7=14,b的=T7,-T8=9X21-8×19=37,则 =J 第二课时等差数列的前n项和的应用 关键能力·合作探究 题点一 [典例们解(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N,1≤n 31),最多售出a6件. 由题意知∫4=3+3(k-1), 1a6-2(31-k)=3, 解得∫k=13, (ae=39, .7月13日该款服装销售最多，最多售出39件， (2)设Sm是数列{am}的前n项和， an-3n1≤n≤13， 165-2n,14n31, S= (3+3m)n,1≤n≤13， 2 273+(51-n)(n-13),14n31. :513=273>200, .当1≤n≤13时，由Sn>200,得12≤n≤13， 当14n31时，日销售量连续下降， 由am<20,得23n31, ,.该款服装在社会上流行11天（从7月12日到7月22日）. 对点训练 1.7[设n分钟后相逼，依题意，有2m十D+5m=70,整理得m 2 十13n140=0.解得=7或=一20（舍去），所以相遇是在开始运 动后7分钟.门 2.解将李强每一天跑的路程记为数列{am},由题意知，{am}是等差 数列，则a1=500,公差d=400.所以S0=10a1+10X0-D4 =10×5000+45×400=68000,故李强10天一共跑了68000m. 1 题点二 典例]解(1)设等差数列{an}的公差为d, (a1+9d=18, 由题意得 5a+54Xd=-15,解释{.9， 1d=3, 2 ∴an=3n-12. 2法-8a-号(-21mw=2(-）广-1， 2 .当n=3或n=4时，前n项的和取得最小值，最小值为S3=S:= -18. 法二 设S。最小，则a,≤0， 1aw+1≥0 即01g≥0.解得4 又n∈N·,,.当n=3或n=4时，前1项的和取得最小值，最小值为 S3=S4=-18. 拓展] 1.解5，=之×5×(a1+a,)=号×5×2a,=5a,=125,故a=25, a10-a3=7d,即d=-1<0,故Sn有最大值， am=as+(n-3)d=28-n. 设S,最大，则8≥0，。解得27≤n≤28，即Sm和S%最大，又41 (am+1≤0. 27,放S=52-2827+0-378. 2 2.解法一因为S=S,=一18为Sn的最小值，由二次函数的图象 可知，其对称轴为直线x=子，所以当x=0或x=7时，国象与正轴 的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N°，所以S2=0,所以n=7. 法二国为5=S,所以a,=5,-S,=0,故5，=号X7X(a十 a7）=7a4=0,所以=7. 3.解(1)设数列{ar}的公差为d. 1a1+d+a1+4d-1, 依题意有15a1 15×144=75, 2. ∴S,=a,+nn21D4=-2+n(n-D--5m 2 2 2 (2)法-由1)知S。=”2_5m。 2 S2=-5 2· g-"2,则+1-，-+》-5-"25-号 设b=n=2 2 2 2 :数列山，}是公差为之的等差数列， 首项=S=a1=-2. 又T。为数列S}的前n项和， 八nJ T,=-2+n(nD×号--题 2 A 2 9 81 当n=4或n=5时，(Tn)mm=-5. 法二 (b+1≥0， 解得4≤n≤5. 故Tm的最小值为T4=T与=一5. 题点三 [典例]解(1)设等差数列的公差为d, 1a2=a1+d=11 由题意可得 w-10a+10294-40 d2a,+9d=8解得=13」 即a+d=i1 1d=-2 所以an=13-2(n-1)=15-2n, (2周为S,=13+)5-20=14n-m, 2 令a,=15-2m>0,解得m<号，且a∈N, 当n7时，则am>0,可得Tn=|a1|+|a2|+…+|an=a1十a2+ …十am=Sn=14n-n2; 2 当n≥8时，则am<0,可得Tn=|a1|十a2|十…十an|=(a1十a2十 …十a)-(ag+…十an) =S,-(Sm-S,)=2S,-Sm=2(14×7-72)-(14n-n2)=n2-14m +98: 综上所述：T,=4n,≤7 1n2-141+98,n≥8 对点训练 解=S=是×1+×1=101 9a-1D]-3w+104. :a1=101也适合上式， .数列{a}的通项公式为a,=-3n十104(n∈N). 由a,=-3m+104≥0，得<9 即当n≤34时，am>0:当≥35时，an<0. ①当n≤34时，Tn=a1十a2+…+a。=a1十a2+·+an=Sn =-号r2+205。 2n ②当n≥35时， Tm=a1+a2|+…+la34+|ag5+…+|am =2(a1十a2十…十a31)-(a1十a2+十an) =2S34-S, -2(-2 2 3502. 号+2≤34且EN”, T= 22-2%+3502m≥35且n∈N. 素养演练·提升技能 _Sm+2(n-1), 1.A [a=m 当n≥2时，S-S-1=m十2(n-1 :n-10S-51=2m-1D 7 .(n-1)Sn-5w-1=2n(n-1), “数列}是以1为首项，2为公差的等差数列， n S=1+2(m-1）=2m-1S.=2m2-n,nS。-2m2=2m2-r -2m2=2n3-3n2. 令y=2x3-3.x2,x≥1，则y'=6x2-6x=6x(x-1)≥0，且y不恒为 0, ∴.数列{nSn一2n2}是一个递增数列，当n=1时nS,-2m2有最小 值2-3=-1.故选A.] 2.B[依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程（单位：千米）依 次成等差数列，且首项为8，公差为0.5，设经过n天后他完成健身 计划，别8m+u"D×号>20，整理得+31-800≥0.因为高 2 数f(x)=x2+31x-800在[1，+∞)上为增函数，且f(16)<0, f(17)>0,所以n≥17.故选B.] 3.B[每个月开通5G基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数 列，设预计我国累计开通500万个5G基站需要n个月，则70十51十 n(n-D×1=500,化简整理得，n2+9n-860=0,解得n≈25.17或 n≈一34.17（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G基站需要 26个月，也就是到2023年2月.故选B. 4.4042[S2022<S220,S221<S222,.a222十a2021<0,a222 >0, 51e=4042(a+a0e）=2021(u2m十a1)<0,Sous 2 4043(a,+a10-4043×a22>0..当S<0时n的最大值是 4042.] 5.8184[由题意知，a=3m十2=5n十3，m,n∈N”,若k∈Z,则当m =5k时，1不存在；当m-5k十1时，n不存在，当m=5k十2时，n= 3k十1，满足题意；当m=5k十3时，n不存在；当m=5k十4时，n不 存在，故a=15k+8∈[1,500]， 个 心≤k≤492.kE乙，则k=0,1,2,…,32,共33个放，且这些童 15 构成以8为首项，15为公差的等差数列，∴.这33个数的和为33×8 +33×32×15=8184.] 4.3.1等比数列的概念 第一课时等比数列的概念及通项公式 必备知识·自主梳理 (一) 1.2前比同一个公比2.(3)G2=ab 即时小练 ,所以A不是等比数列： 22 B是首项为】，公比为上的等比数列： C中，当s=1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列： D显然是等比数列，门] 2.C[设2十√3和2-√3的等比中项为a,则a2=(2十√3)(2一√3)= 1,即a=士1.] (二) aig"1 即时小练 1.C[由a4=a1g3,得q3=8,即q=2, 所以d3= aL=32.] G 2.-729[a=a497-4=27×(-3)3=-729.] 关键能力·合作探究 题点一 [典例]解析(1)因为a,=ag1,所以2×（分）=2，即 (合)广=()）解得n=5 (2)设等比数列{an}的公比为g, 由2(an十an+2)=5a+1,得2g2-5g+2=0,解得g=2或g=2, 由a号=a1n=a1g>0,得a1>0,又数列{an}递增，所以g=2.a号= a10,即(a1g)2=a1g,解得a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为 an=2". 答案(1)C(2)2 对点训练 1.B[设等比数列(an}的公比为q,因为4a1,2a2a3成等差数列，所 以4a1q=4a1十a1q,即q-4g十4=0，解得q=2. 2.解(1)因为a1=a1q, 所以8=q,所以q=2, 所以an=a1g-1=2" (2)因为a十a=a19+a1g=18,0 {aa十a6=ag2+ag3=9,② 由，得g=,从而a1=32. 又am=1, 一1 所以32×（合） =1, 即25-”=2°，故7=6. 题点二 典例]解析(1)由题意，得4与9的等比中项为士√4×9=士6. (2)一1和-9的等比中项为±√/(-9)X(一1)=士3. 答案(1)士6(2)士3 对点训练 1.士1[：1，a,3成等差数列a=十3=2，：1，b,4成等比数列， 2 ÷=1X4,b=士2心分=主2=士1.] 2 2 [由题意知，a1是a1和ag的等比中项，.a3=a1ag.∴.(a1十 2d)=a1(a+8d),解得a1=d,+a+a=13d-13 az +a+ano 16d16 题点三 典例]证明法一（定义法）：.am>0,am十3>0. 又an+1=2am+3, .am+1+3_2am+3+32(an+3) a十3 aw十3 =2. 数列{am十3}是首项为a1十3，公比为2的等比数列. 法二（等比中项法）：am>0,4m十3>0. 又an+1=2an十3，.an+2=4am+9. 3