北京市第四中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

北京四中2026-2027学年度第一学期开学测试试题 高三数学 (试卷满分为150分，考试时间为120分钟) 一选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.己知集合M=(x|x2-420),N=(x|-2<x<3),则M∩N= (A)(x-2.<xs2)(B)(x2≤x<3}(C)(xx≤-2) (D)(x|x<3) 2.己知二项式Q+a)3的展开式中x3的系数是-80，则实数a的值为 (A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4 3.已知点MQ,√3)在圆C:x2+y2=m上，过M作圆C的切线l,则直线1的倾斜角为 B) (C) (D) 3 苦a=m(月列，b=7m,c=(月)，则a,b,e的大小关系为 (A)c<a<b (B)a<b<a (C)c<b<a (D)a<c<b 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4-a2=4,4,62,a4成等比数列，则S,= (A)28 (B)42 (C)56 (D)112 6.已知正实数a,b满足a+b=1.则 (A)+1s4 (®）+62s对 (C)abs (D2√a+√b≥2 7.设R,乃为双曲线C荐卡=1a>00>0的左、右焦点，过左焦点的直线交双曲 线C的右支于点B,交y轴于点A,若△ABF,是正三角形则双曲线C的离心率为 (A) 2W3 (B)√5 (C)√2 (D)√6 3 北京四中2026-2027学年度第一学期开学测试试题 .8.已知奇函数y=∫(x)在R上单调递增，则“(x)+∫(x2)>0”是“x+x2>0”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9如图，直三棱柱ABC-AB,C中，A4=AB=1,AC=2,BC=√5，点P在线段 BC上（不含端点），则 B (A)不存在点P,使得AB,⊥BP (B)PA+PB的最小值为√5 (C)△4BP面积的最小值为25 5 (D)三棱锥B,-PAB与三棱锥C,一PAC的体积之和为定值 10.已知4c,2+2),B0,-+2),0为坐标原点，则使得数对6)唯一的条件是 (A)10B204 (B)104+0BP=4 (C)104+0BE2 (D)04-0B-O40B 北京四中2026-2027学年度第一学期开学测试试题 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.复数1+3i 3-i 12.设扼物线C:y2=8x的准线为l,P(4,m)为C上一点，则点P到直线1的距离为 13.已知函数f(x)= 「-+m,x≤1，当a=-1时，网的值域是一：若∫心)没有 ax-1,x>1 最大值，则a的取值范围是一 14,在△ABC中，∠BAC=60,AB=2,AC=1,E,，F为边BC的三等分点，则 AEAF=一 15.已知△4 B.C(n=1,2,)是直角三角形，角A是直角，角An,Bn，Cn所对的边分别 为a,b,6,面积为3，品-+c,6-+2,给出下列四个结论 3 3 ①当b=3,c1=4时，a1=5; ②Vn∈N'，an=aal; ③存在b,≠q,使得3neN”,△4B.C.为等腰直角三角形； ④任取b≠G，{S)为递增数列. 其中所有正确的结论是 北京四中2026-2027学年度第一学期开学测试试题 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16.(本小题13分) 已知函数f(x)=2√3 sin xcos x-2cos2x+1. (I)求函数(x)的最小正周期和单调递增区间： (Ⅱ)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=2,SABc=√3，b+c=5, 求a 17.（本小题13分) 为帮助高三学生科学备考，某校设计了两种学科指导方案： 方案一：每周集中进行一次专题辅导； 方案二：按学科分散预约教师进行个性化答疑， 为调查学生对两种方案的支持情况，该校对高三学生按性别进行进行分层抽样，获 得数据如下表： 男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 50人 100人 80人 20人 方案二 120人 30人 40人 60人 假设每位学生对学科指导方案是否支持是相互独立事件」 （1)分别估计该校高三学生中男生支持方案一的概率，和该校女生支持方案一的概 率； (Ⅱ)从该校高三全体男生中随机抽取1人，全体女生中随机抽取2人，估计这3人 中恰有2人支持方案一的概率； (Ⅲ)将该年级学生支持方案二的概率估计值记为P。,假设该年级某班有20名男生和 30名女生、除该班外其他班级学生支持方案二的概率估计值记为P·试比较P与P 的大小，（结论不要求证明） 北京四中2026-2027学年度第一学期开学测试试题 18.（本小题14分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,且底面ABCD是矩形， AD=2,PB=PC=√5. (I)求证：平面PAD⊥平面PCD: (Ⅱ)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作 为已知，求平面BPC与平面PCD成角的大小. 条件①：PA=AD； B 条件②：PA=√2AB: 条件③：PA⊥PD. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分：如果选择多个符合要求的条 件分别解答，按第一个解答计分. 19.（本小题15分) 已知椭圆c:学+台=1(a>6>0的长轴长为4，点P心马)在c上 (I)求C的方程和离心率： (Ⅱ)设A,B分别为C的左、右顶点，动点M在直线x=4上，直线MA与C的另一个 交点为E(异于点B),直线MB与C的另一个交点为F(异于点A),求直线EF与x 轴交点的横坐标. 20.(本小题15分) 已知函数f)的定义域为（分，+o)，f四=1，函数g)=xn(2x-1).对任意 1∈（号，+o),曲线y=f)在点A6,f》处的切线方程为y-f四=g0(x-. (I)讨论g(x)的单调性； (Ⅱ)求f(x)的最小值； (Ⅲ)已知f(3)<3n5+1,求过点(2,1)且与曲线y=f(x)相切的直线的条物 北京四中2026-2027学年度第一学期开学测试试题 21.(本小题15分) 已知{a,}是无穷数列.给出两个性质： ①对于a,中任意两项a,a,(>》,在a,中都存在一项a.,使 =ami a ②对于@，中任意项a,u≥3)，在a,中都存在两项a4,a,(k>.使得a.- a （1)若an=n(n=1,2),判断{an}是否满足性质①，说明理由： (Ⅱ)若am=2”-(n=1,2)，判断数列{an}是否同时满足性质①和性质②，说明 理由： ()若{a}是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{a}为等比数列.