浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习（四）

**基本信息** 整合高考真题与地方期末题，以《九章算术》鳖臑、植树活动等情境覆盖函数、几何、概率模块，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|向量运算（第2题）、概率互斥与独立（第3题）|融入2024全国甲卷真题，考查充分必要条件判断| |多选题|3/18|统计频率分布直方图（第9题）、复数性质（第10题）|通过分层抽样与80%分位数计算，体现数据观念| |填空题|3/15|球的体积表面积（第13题）、骰子概率（第14题）|结合连续抛掷问题，考查古典概型应用| |解答题|5/77|立体几何证明（第15题）、双曲函数性质（第17题）|设计折叠问题（第19题）与鳖臑情境，融合空间想象与创新应用|

机密★启用前 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习 考试范围：必修第一册、必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（25-26高一下·宁夏吴忠·期末）设，则下列计算不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知事件A，B，如果A与B互斥，那么；如果A与B相互独立，且，，那么，则，分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（2023·河南郑州·模拟预测）为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（    ）    A．30棵 B．50棵 C．72棵 D．80棵 5．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2022·天津·高考真题）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7.（25-26高一上·广东梅州·期末）已知正数满足，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 8.（24-25高二上·湖南·阶段检测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.如图所示，某同学利用两个完全一样的半圆柱，得到了一个三棱锥，该三棱锥为鳖臑，，为半圆柱的圆心，半径为2，，，动点在 三角形ACD内运动（含边界），且满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（25-26高一下·浙江宁波·期末）暑假是学生旅游的黄金时段，某市为更好地提升学生旅游品质，该市文旅局随机选择100名学生游客对该市旅游体验进行满意度评分（满分100分），90分及以上为优秀等级，80分至89分为良好等级.现根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（   ） A． B．估计样本数据的平均数为86 C．估计样本数据的80%分位数为95 D．若从评分为优秀等级与良好等级的学生中，用分层抽样的方法抽取14人进行交流，则抽到评分为良好等级的学生有6人 10．（25-26高二下·浙江台州·期末）已知，，为虚数单位，则（    ） A．当时，为纯虚数 B． C．的最大值为 D．若复数满足，则一定为实数 11．（25-26高一下·山东菏泽·期末）对任意两个非零向量，，定义新运算：，三角形ABC中三个内角A，B，C的对边为a，b，c则（    ） A．当，，时， B．当时， C．当，时， D．当时，的最小值为 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知向量，若，则___________．（写出一个值即可） 13．（24-25高一下·北京房山·期末）若球的体积之比，则它们的表面积之比______． 14．（25-26高一下·浙江宁波·期末）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，则点数之和为完全平方数的概率是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（25-26高一下·浙江丽水·阶段检测·改编）如图，在三棱柱中， 平面ABC，，D是BC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 16． （25-26高一下·陕西渭南·期末）三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求证：ABC是钝角三角形； (2)若，ABC的面积为，求的值； (3)若，求ABC面积的最大值． 17．（24-25高一上·天津和平·期末）双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数：，双曲余弦函数：，它们也有类似正余弦函数的性质，比如，． (1)判断的奇偶性并证明； (2)判断在的单调性并用定义法进行证明； (3)关于的方程在有解，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）已知，其中为奇函数，为偶函数. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论； (3)若对于任意的实数，都有恒成立，求的取值范围. 19．（25-26高二上·浙江丽水·期中）如图1是一个由菱形和两个直角三角形ADQ和CDP所组成的平面图形，其中，现将ADQ和CDP分别沿折起，使得点与点重合于点S，连接BS，得到如图2所示的四棱锥S—ABCD. (1)求证：平面； (2)若为棱上一点，记. （i）若，求直线与平面所成角的正切值； （ii）是否存在点E使得直线CE与直线AD所成角为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习 （参考答案及评分标准） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C C A A A ACD BCD 题号 11 答案 BCD 1．B（5分） 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、共轭复数的概念及计算、求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题意，用复数的基本概念，以及复数的运算法则，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由共轭复数的定义，可得，所以A正确； 对于B,由复数模的计算公式，可得，所以B错误； 对于C，由复数的运算法则，可得，所以C正确； 对于D，由复数的运算法则，可得，所以D正确. 2． C（5分） 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 3．C（5分） 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率、互斥事件的概率加法公式 【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论. 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 4．C（5分） 【难度】0.85 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、根据扇形统计图解决实际问题 【分析】由已知比例求出中年教师应分得树苗的数量，再由饼图中梧桐占比求中年教师应分得梧桐的数量即可. 【详解】由题意，中年教师应分得树苗的数量为棵. 所以中年教师应分得梧桐的数量为棵. 5．C（5分） 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【详解】因为，． 6．A（5分） 【难度】0.65 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数图像的识别、函数奇偶性的应用 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，且， 函数为奇函数，CD选项错误；又当时，，B选项错误. 7．A（5分） 【难度】0.4 【知识点】分式不等式、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值 【分析】首先求出的取值范围，根据将b用a表示，代入后配凑，根据基本不等式求得最小值. 【详解】当时，等式不成立，所以，由得， 因为均为正数，所以，解得，将代入得 ， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是12. 8．A（5分） 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据鳖臑的特点及已知边长得出进而得出点的轨迹为以为圆心以为半径的半圆即可求出轨迹长度. 【详解】因为三棱锥为鳖臑，平面， 在中，， 过做垂足为，则， 即，所以， 因为， ， 在中，， 所以，则， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以中，， 过作，， 即，可得， 则过作，因为是中点，所以， 所以动点在内（含边界）的轨迹为以为圆心以为半径的半圆， 则点的轨迹长度为. 9．ACD（每个选项2分，6分） 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【详解】对于A，由，解得，故A正确； 对于B，各组中点依次为， 则平均数 ，故B错误； 对于C，由图知，在内的累计频率为，在内的累计频率为，故分位数落在. 设分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，良好等级人数，优秀等级人数. 分层抽样抽取人，抽样比，故良好等级抽取人，故D正确. 10．BCD（每个选项2分，6分） 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模 【分析】使用复数的定义，模长公式，复数的四则运算分析选项，设，结合条件分析出，分和两种情况分析选项. 【详解】当时，，此时不是纯虚数，选项错误； ，选项正确； ， ，当时， 的最大值为，选项正确； ，， 则， 由，得，设，， 则， 当时，，因为，，所以，此时是实数， 当时，，，此时是实数，选项正确. 11．BCD（每个选择2分，6分） 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】利用新定义，对选项的各个式子进行转化，再利用三角形的边与角关系、构造函数、基本不等式等判断对应式子的值或范围. 【详解】对于选项A，由余弦定理得，则. 所以. 与夹角为，则， ，故A错误； 对于选项B，与夹角为， 所以，即. 由正弦定理得. 又， 所以，即， 得，又，所以，即，故B正确； 对于选项C，与夹角为， 所以，即. 由正弦定理得. 又，所以， 得，即. 由，得，所以. 令，由得. 函数的导数，所以在上单调递减. 又，，所以，即，故C正确； 对于选项D，与夹角为，所以. 所以. 又得， 所以， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 【点睛】本题核心是将新定义的向量运算转化为向量投影，易错点是三角形中向量夹角多为内角的补角.解题以正余弦定理实现边角互化为核心，结合三角恒等变换、函数单调性、基本不等式综合求解，是解三角形的经典综合题. 12．（5分）（用角度制也得分，答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】已知三角函数值求角、向量的模、数量积的坐标表示、已知模求数量积 【分析】先根据已知条件，两边平方，化简整理可得，再根据向量数量积的坐标运算，即可求得，进而可得，从而可求得的值. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以，所以， 所以，当时，可得，故答案为：（答案不唯一） 13．（5分） 【难度】0.85 【知识点】球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算 【分析】利用球的体积公式计算得出两半径之比，再由表面积公式计算可得结果. 【详解】设球的半径分别为， 易知，解得；所以它们的表面积之比. 14．（5分） 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】根据题意总共有种，再结合完全平方可知，点数之和可以为，再列举计算概率即可． 【详解】由题可知总共有种，点数之和为4的有共3个； 点数之和为9的有， ,, ,,共25个； 点数之和为16的有共6个. 综上，点数之和为完全平方数的有种，则概率为． 【评分标准】评阅解答题时，应遵循“答案正确，重视过程；答案错误，着重重视过程”的评阅原则，不必过分拘于参考答案的表现形式，只要写出与答案等价的解答过程即可给分。若出现与答案不同的方法解答，只要过程无误、答案正确即可得分。评阅解答题时，应重视学生的思维过程，轻视答案的结果，只要出现表示这个动作的解答，可酌情给分，具体的评分标准详见答案部分。 15.【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直、求线面角 【分析】（1）连接交于O，连接OD，则由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理可得结论. （2）由等边三角形的性质可得，再由棱柱的性质结合已知可得平面，从而得，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理可得结论. 【详解】(1)在三棱柱 中，连接交于O，连接OD，..................................................1分 则O是的中点，又是的中点，，.....................................................................................3分 而平面，OD平面，所以平面.....................................................................5分 (2)由，是的中点，得，...................................................................................6分 由平面，得平面，又AD平面，则，............................................8分 又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，...................................................11分 而AD平面，所以平面平面.......................................................................................13分 16．【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及应用、正弦定理边角互化的应用、诱导公式二、三、四 【分析】（1）利用诱导公式，正余弦定理求解；（2）利用三角形面积公式求解； （3）利用余弦定理和基本不等式求解. 【详解】(1)证明：因为，所以， 因为， 所以，所以由正弦定理得，.................................................2分 故． 由余弦定理得，.................................................................................................4分 又，得，所以是钝角三角形.........................................................................................5分（2）因为，的面积为，， 所以，故，.........................................................................................................6分 因为，所以．....................................................................................................................................8分 （3）因为，， 所以，即，..........................................................................................10分 由基本不等式，当且仅当时取等号， 则，即，当且仅当时取等号，...........................................................13分 则面积，................................................................................................14分 即面积的最大值为，当且仅当时取得．...........................................................................15分 17．【难度】0.65 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用奇偶性定义证明即可；（2）利用函数单调性定义证明即可； （3）令，问题化为在上有解，求出左侧的值域范围，即可求参数范围. 【详解】(1)奇函数，证明如下：.........................................................................................................................1分 由题设，的定义域均为R，且，， 所以分别为奇函数、偶函数， 所以且定义域为R，所以为奇函数，得证...................4分 (2)在的单调递增，证明如下：......................................................................................5分 令，则， 显然，故，即， 所以在的单调递增..........................................................................................................9分 （3）由题设，............................................................................10分 又，令，结合(2)知单调递增，故，............................................................11分 又， 所以在上有解， 又在上单调递增，故，.........................................................................................14分 所以，可得..............................................................................................................15分 18．【难度】0.4 【知识点】函数不等式恒成立问题、由奇偶性求函数解析式、定义法判断或证明函数的单调性、求对数函数的定义域 【分析】（1）将中的换，利用奇偶性，得到的另一个等式，将这两个等式相减即得； （2）先求出定义域，在上任取两个数，且，求与0的大小，根据增减函数的定义得解； （3）在上是增函数得到在上是增函数， 由对于任意的实数，都有恒成立，结合定义域得到，设，利用基本不等式结合定义域得解. 【详解】（1），， 为奇函数，， 为偶函数，， ，， 联立，解得；........................................................................5分 （2）在上是增函数.............................................................................................................................6分 证明如下：，，的定义域为，................................................................7分 在上任取两个数，且， ， ， ，，， ，， ，，， ，，在上是增函数............................................................11分 （3）在上是增函数，在上是增函数， 对于任意的实数，都有恒成立， ............................................................................................................................12分 ，，，，..........................................................................13分 ，..........................................................14分 设，， ，............................................................15分 当且仅当，即时，等号成立，而，则等号不成立，故，，..............16分 又，，的取值范围.............................................................................................17分 19．【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角、求线面角 【分析】（1）利用，，可得到平面，从而得到，再利用菱形可得，最后就可得到平面； （2）①由平面，可知直线与平面所成角就是，从而利用已知数据进行计算即可；②由可得或其补角为直线与直线所成角，再利用余弦定理解得，利用勾股定理得，最后由已知角的余弦定理得到关于的方程，从而可解得. 【详解】（1）连接AC，交BD于点O，又∵底面为菱形，∴,..........................................1分 由题可得，，且，平面 ，平面， ∴平面，...........................................................................................................................................3分 又平面，∴，∵，平面 ，平面， ∴平面．...............................................................................................................................................5分 （2）（i）连结SO交CE于点G，由（1）得平面， ∴为直线CE与平面SBD所成角，........................................................................................................6分 ∵，，， ∴， ∵，∴， 在三角形中，由，，所以由余弦定理得： ， ，.....................................................................................9分 ∴，即 ， ∴，.......................................................................................................10分 ∴直线与平面所成角的正切值为．............................................................................................11分 （ii）连结，∵， ∴或其补角为直线与直线所成角，则假设存在点，满足，.........................12分 由得，， 在三角形中，由，所以由余弦定理得： ，........................................13分 过点作，交于， 由平面，平面，得，所以， 由可得，因为，所以，， 在三角形中，由余弦定理得： ，..........................................14分 再由，平面可得平面， 又因为平面，所以， 在直角三角形中，由勾股定理得： ．........................................................................15分 在三角形中，又因为，，所以由余弦定理得： ， 解得，...............................................................................................................................................16分 ∴存在使得直线与直线所成角为．...........................................................................17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2026-2027学年第一学期高二数学开学阶段练习 答题卡 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） ) 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（请用2B铅笔填涂） 1、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）（请用2B铅笔填涂） 9、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12、 13、 14、 四、解答题（本大题共5小题，共77分） （13分）15、 （15分）16、 （15分）17、 （17分）18、 （17分）19、 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