5.1.1任意角课件第三课时-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“终边在y轴上的角的集合合并”，课堂导入先明确y轴两方向需保留90°和270°，通过写出两族角（S1、S2），分析代表角关系统一步长为180°，以“分-合”学习支架衔接终边相同角知识。 其亮点是采用“找代表角-写族角-并集统一”三步法，培养数学思维（推理能力）与数学语言（符号意识），如将两族角参数化为偶数、奇数后合并为n∈Z，小结清晰。学生提升抽象与推理能力，教师可借易错辨析高效教学。

第五章 · 三角函数 终边在 y 轴上的角 5.1.1 第三课时｜从两族角合并为一个集合 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 170—171 页 本课完成教材例2，不进入例3与练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 问题分析 y 轴有两个方向，不能只选一个代表角 02 y 轴正半轴对应90°。 y 轴负半轴对应270°。 在0°到360°范围内必须同时保留这两个角。 y 轴有两个方向，不能只选一个代表角 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 第一族 先写终边在 y 轴正半轴上的一族角 03 代表角取90°。 S₁＝{β｜β＝90°＋k·360°，k∈Z}。 这一族只覆盖 y 轴正半轴。 先写终边在 y 轴正半轴上的一族角 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 第二族 再写终边在 y 轴负半轴上的一族角 04 代表角取270°。 S₂＝{β｜β＝270°＋k·360°，k∈Z}。 这一族只覆盖 y 轴负半轴。 再写终边在 y 轴负半轴上的一族角 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 集合并集 终边在 y 轴上的角是两族角的并集 05 S＝S₁∪S₂。 不能只写S₁，也不能只写S₂。 并集保证 y 轴的两个方向都被覆盖。 终边在 y 轴上的角是两族角的并集 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 统一结构 把两个代表角都改写成90°加若干个180° 06 90°＝90°＋0×180°。 270°＝90°＋1×180°。 两个方向相差180°，可以改用180°作步长。 把两个代表角都改写成90°加若干个180° [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 偶数参数 第一族对应偶数个180° 07 k·360°＝2k·180°。 S₁中的角可写成 β＝90°＋2k·180°。 其中 k∈Z，系数2k遍历所有偶数。 第一族对应偶数个180° [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 奇数参数 第二族对应奇数个180° 08 270°＋k·360°＝90°＋(2k＋1)·180°。 S₂中的角对应奇数个180°。 其中2k＋1遍历所有奇数。 第二族对应奇数个180° [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 参数合并 偶数与奇数合起来就是所有整数 09 偶数集合与奇数集合的并集是整数集。 用 n 统一表示2k和2k＋1。 得到 S＝{β｜β＝90°＋n·180°，n∈Z}。 偶数与奇数合起来就是所有整数 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 结果检验 n 为偶数时，终边落在 y 轴正半轴 10 令 n＝2k。 β＝90°＋k·360°。 这正是与90°终边相同的一族角。 n 为偶数时，终边落在 y 轴正半轴 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 结果检验 n 为奇数时，终边落在 y 轴负半轴 11 令 n＝2k＋1。 β＝270°＋k·360°。 这正是与270°终边相同的一族角。 n 为奇数时，终边落在 y 轴负半轴 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 双向结论 统一公式恰好覆盖 y 轴的两个方向 12 公式中的每个角终边都在 y 轴上。 终边在 y 轴上的每个角都能写成这个形式。 因此集合表示既没有遗漏，也没有多余。 统一公式恰好覆盖 y 轴的两个方向 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 易错辨析 只写90°＋k·360°会漏掉负半轴 13 步长360°只能回到同一个方向。 y 轴正、负半轴相差180°。 合并后步长应写180°，参数仍取整数。 只写90°＋k·360°会漏掉负半轴 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 方法整理 轴线角集合先找方向，再统一步长 14 找：在一周内列出所有代表角。 写：分别写出各族同终边角集合并取并集。 并：观察代表角间隔，统一参数并双向检验。 轴线角集合先找方向，再统一步长 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 课堂小结 两族角可以用奇偶参数合并 15 y 轴对应90°和270°两个代表角。 两族角分别对应偶数、奇数个180°。 最终集合为 β＝90°＋n·180°，n∈Z。 两族角可以用奇偶参数合并 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] 课后作业 课后整理：解释合并为什么成立 16 必做：说明 n 为偶数和奇数时终边分别落在哪里。 自查：为什么不能只写 β＝90°＋k·360°？ 预习：终边在直线 y＝x 上时，一周内有几个代表角？ 本页不设置动画；不进入教材练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》5.1.1第170—171页（本地PDF第177—178页），例2。 [/Sources] $