5.1.1任意角课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“任意角”核心内容，涵盖角的概念（正角、负角、零角）、象限角及终边相同的角等知识点。通过复习初中角的静态定义导入，结合“思考”“明辨是非”环节搭建新旧知识桥梁，以学习支架形式帮助学生从具体到抽象理解概念。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心素养，通过典例（如2026°转化为k·360°+β、终边在直线y=-x上角的集合表示）及“解题有招”总结方法，培养学生逻辑思维。学生能提升抽象与运算能力，教师可直接使用结构化内容提高教学效率。

第五章　 三角函数 5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 【学习目标】 1.理解任意角的概念,能区分正角、负角和零角.(数学抽象) 2.理解象限角的概念.(数学抽象) 3.理解并掌握终边相同的角的概念,会表示终边相同的角.(数学运算) 一、任意角 1.角的概念 角可以看成_________绕着它的_____旋转所成的图形. 2.角的表示 如图,(1)始边:射线的_____位置OA; (2)终边:射线的_____位置OB; (3)顶点:射线的端点O; (4)记法:图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”,可以简记成“α”. 一条射线 端点 起始 终止 3.角的分类: 项目 分类 定义 图示 任意角 正角 一条射线绕其端点按_______方向旋转 形成的角 负角 一条射线绕其端点按_______方向旋转 形成的角 零角 一条射线_____做任何旋转形成的角 逆时针 顺时针 没有 二、角的相等与加减 1.角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果 它们的_____________且___________,那么就称α=β. 2.角的加法 设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是____. 旋转方向相同 旋转量相等 α+β 3.相反角 把射线OA绕_______按不同方向旋转_________所成的两个角叫做互为相 反角.角α的相反角记为-α. 4.角的减法 角的减法可以转化为角的加法,有α-β=α+(-β). 端点O 相同的量 [思考] 1.角的概念推广之后,思考60°+90°与90°-30°的几何意义是什么? 提示:①如图(1)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°, OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°+90°=150°.   ②如图(2)所示,射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°,OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为-30°,则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°-30°=60°. 三、象限角与终边相同的角 条件:在直角坐标系中,角的顶点与_____重合,角的始边与x轴的_________重合 (1)象限角:角的_____在第几象限,就说这个角是第几象限角. (2)轴线角:角的终边在_______上,就认为这个角不属于任何一个象限,可称为 轴线角. (3)终边相同的角: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=_________,k∈Z}, 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个_____的和. 原点 非负半轴 终边 坐标轴 α+k·360° 周角 [思考] 2.你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗? 提示:在同一“参照系”下,可以使角的讨论得到简化,由此还能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的变化规律,从而利用任意角、直角坐标系刻画周期性的变化现象. 3.已知角α为锐角,那么角α的终边与角α+180°,α-180°,180°-α终边的几何关系分别是什么?如果角α是任意角呢?请画图说明. 提示:若α是锐角. α与α+180°的终边互为反向 延长线. α与α-180°的终边互为反向 延长线. α与180°-α的终边关于y轴对称. α是任意角与α是锐角的规律一样. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)第一象限角都是锐角.( ) 提示:第一象限角不一定是锐角,如390°. (2)相等的角的终边相同,终边相同的角相等.( ) 提示:相等的角的终边相同,终边相同的角不一定相等,可能相差360°. × × (3)第二象限角一定大于第一象限角.( ) 提示:第二象限角不一定大于第一象限角,如第二象限角120°,第一象限角390°. (4)225°是第三象限角.( ) 提示:225°=180°+45°,在第三象限,故正确. × √ 类型1 终边相同的角(数学运算) 【典例1】已知角α=2 026°. (1)把α改写成k·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限的角; (2)求θ,使θ与α终边重合,且-360°≤θ<720°. 【解析】(1)由2 026°除以360°,得商为5,余数为226°, 所以取k=5,β=226°,α=5×360°+226°, 又β=226°是第三象限的角,α,β终边相同,所以α为第三象限的角. (2)与2 026°终边重合的角为k·360°+2 026°(k∈Z), 令-360°≤k·360°+2 026°<720°(k∈Z),解得-6≤k<-3(k∈Z), 所以k=-6,-5,-4, 当k=-6时,θ=-6×360°+2 026°=-134°,当k=-5时,θ=-5×360°+2 026°=226°, 当k=-4时,θ=-4×360°+2 026°=586°,所以θ的值为-134°,226°,586°. 【解题有招】 终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式; (2)终边相同的角之间相差360°的整数倍. 【即学即练】 (2025·石嘴山高一检测)与-463°终边相同的角可以表示为(　　) A.k·360°+463°(k∈Z) B.k·360°+103°(k∈Z) C.k·360°+257°(k∈Z) D.k·360°-257°(k∈Z) 【解析】选C.因为-463°=-2×360°+257°,所以与-463°终边相同的角可以表示为k·360°+257°(k∈Z). √ 类型2 终边在已知直线上的角(数学运算) 【典例2】写出终边在如图所示直线上的角的集合. 【解析】(1)由题图易知,在0°~360°内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135°和315°,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z} ={β|β=-45° +(2k+1)·180°,k∈Z}∪{β|β=-45°+2(k+1)·180°,k∈Z} ={β|β=-45°+n·180°,n∈Z}; (2)同理可得终边在直线y=x上的角的集合为{β|β=45°+k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}, 终边在直线y=-x上的角的集合为S={β|β=-45°+n·180°,n∈Z} ={β|β=-45°+2k·90°,k∈Z}= {β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z}, 所以终边在直线y=x上和在直线y=-x上的角的集合为S1={β|β=45°+2k·90°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k-1)·90°,k∈Z} ={β|β=45°+n·90°,n∈Z}. 【解题有招】 终边在已知直线上角的表示方法 (1)终边在一条直线上的角的集合是终边分别在以原点为端点,构成直线的两条射线上的角的并集; (2)终边在一条直线上的角的差为k·180°,k∈Z. 【即学即练】 终边落在直线y=x上的角α的集合为(　　) A.{α|α=k·180°+30°,k∈Z} B.{α|α=k·180°+60°,k∈Z} C.{α|α=k·360°+30°,k∈Z} D.{α|α=k·360°+60°,k∈Z} 【解析】选B.易得y=x与x轴正半轴夹角为60°,当终边在第一象限时, α=60°+k·360°,k∈Z;当终边在第三象限时,α=240°+k·360°,k∈Z.所以角α的集合为{α|α=k·180°+60°,k∈Z}. √ 类型3 象限角与区域角(数学运算) 角度1　确定角所在象限 【典例3】如果α是第三象限角,则-是(　　) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 【解析】选C.α是第三象限角,则360°·k+180°<α<270°+360°·k,k∈Z, 故-135°-180°·k<-α<-180°·k-90°,k∈Z,当k为偶数时,-在第三象限;当k为奇数时,-在第一象限. √ 【解题有招】 确定角所在象限的方法 (1)给定角所在象限的判断: 利用终边相同角的表示方法,将角转化到0°~360°内进行判断; (2)倍角与分角所在象限的判断: 先表示出倍角或分角,再给k取不同的值,分别判断所在的象限,即为倍角或分角所在的象限. 【即学即练】 (2025·长沙高一检测)已知θ为第二象限角,那么是第　　　　象限角.  【解析】因为θ为第二象限角,所以90°+k·360°<θ<180°+k·360°,k∈Z, 所以30°+k·120°<<60°+k·120°,k∈Z, 当k=3n,n∈Z时,30°+n·360°<<60°+n·360°,属于第一象限; 当k=3n+1,n∈Z时,150°+n·360°<<180°+n·360°,属于第二象限; 当k=3n+2,n∈Z时,270°+n·360°<<300°+n·360°,属于第四象限. 所以是第一、二或第四象限角. 答案:一、二、四 角度2　区域角的表示 【典例4】(易错·对对碰) (1)如图所示,终边落在阴影部分的角的集合为 　　　　.   (2)如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的 角α的集合为　　　　.  【解析】(1)设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成. ①{α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}. ②{α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z}. 所以角α的集合应当是集合①与②的并集: {α|k·360°+30°≤α<k·360°+105°,k∈Z}∪ {α|k·360°+210°≤α<k·360°+285°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}∪ {α|(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°,k∈Z} ={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或 (2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)·180°+105°,k∈Z} ={α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°,k∈Z}. (2)由题图知,阴影部分下侧终边相同的角为-120°+360°·k且k∈Z, 上侧终边相同的角为135°+360°·k且k∈Z, 所以阴影部分(包括边界)的角α的集合为 {α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}. 答案:(1){α|k·180°+30°≤α<k·180°+105°,k∈Z} (2){α|-120°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z} 【解题有招】 表示区间角的三个步骤 第一步:先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界; 第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<x<β},其中β-α<360°; 第三步:起始、终止边界对应角α,β再加上360°的整数倍,即得区间角集合. 【即学即练】 如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是　　　　　　.  【解析】因为终边落在y轴上的角为90°+n·180°,n∈Z,终边落在图中直线上的角为120°+k·360°=120°+2k·180°,k∈Z; 300°+k·360°=120°+180°+2k·180°=120°+(2k+1)·180°,k∈Z,即终边在直线上的角为120°+n·180°,n∈Z,所以终边落在阴影部分的角为90°+n·180°≤α≤120°+n·180°,n∈Z. 答案:{α|90°+n·180°≤α≤120°+n·180°,n∈Z} $