5.1.2 弧度制课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

问题一： 长度：可以用米、英尺、码等不同的单位度量， 物体的重量：可以用千克、斤、磅等不同的单位度量. 不同的单位制能给解决问题带来方便。 度量长度有哪些单位？度量重量又有哪些单位？ 在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？ 周角的 为1度的角。 这种用1º角作单位来度量角的制度叫做角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。 问题二： 一个周角=360 5.1.2 弧度制 30°、60°的圆心角，半径r为1，2，3，分别计算 对应的弧长L，再计算弧长与半径的比，你能发现什 么结论？ 探究活动一： r=1 r=2 r=3 L L/r r=1 r=2 r=3 L L/r 30° 60° 结论： 一定大小的圆心角 所对应的弧长与半径 的比值是确定的，与 半径大小无关。 =定值， 设α=nº， 弧长为l，半径OA为r， 则 可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。 结论：可以用圆的半径 作单位去度量角。 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 1弧度的角： 弧度制的单位符号是rad，读作：弧度 r 1rad O A B l=r AOC的弧度数就是 l r 2r r = = 2 rad 弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小． C l=r 注：今后在用弧度制 表示角的时候， 弧度二字或rad可以略去不写。 2、定义 3. 弧度制与角度制相比： (1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心角的大小； （3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。 4.公式： ， 表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是αrad。 y x o A B α 半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆交于点B.请在下表格中填空. 探究活动二: OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数 ∠AOB的度数 πr 逆时针方向 2πr 逆时针方向 r 1 2r -2 0 180° 360° 的长 逆时针方向 顺时针方向 顺时针方向 πr 0 逆时针方向 πr 逆时针方向 2πr 探究弧度制的性质 未旋转 思考：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是L, 那么α的弧度数是多少? (1)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0. (2)如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是L, 那么 角α的弧度数的绝对值是 探究结论： 这里， α的正负由角α的终边的旋转方向决定。 既然角度制和弧度制都是角的度量制，那么它们之间 如何换算？ 关键 说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，而只写这个角所对应的弧度数. 5. 弧度制与角度制的换算 正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是零 在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系． 正角 零角 负角 正实数 0 负实数 任意角的集合 实数集R 6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积. ① 弧长公式： 由公式： 比公式 简单. ② 扇形面积公式 其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则 又 αR=l，所以 证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是 而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad. 所以它的面积是 变1：将下列各角化成2kπ + α (k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限。 （1） （2） （3）-315° 说明： 在表示与角α终边相同的角时，两项所以的单 位制必须一致，绝对不能出现 或者 这一类的写法。 知识小结 1、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2、角α的弧度数的绝对值是 3、弧度制与角度制的转换 度化为弧度： 弧度化为度： 关键是记住 4.弧度制下，扇形的弧长公式： 面积公式： $$