4.5.3函数模型的应用课件第八课时-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数与对数函数中函数模型的应用，通过旧知回顾（上一课对数奖金模型通过总额限制）引出新任务，检验其是否不超过利润25%，构建“筛选-检验”的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以构造差函数为核心，借助图象观察单调性（数学眼光的几何直观），结合端点计算严格证明（数学思维的逻辑推理），形成完整建模流程（数学语言的模型观念）。实例中差函数构造、单调性应用等环节，培养学生建模能力，教师可提升教学逻辑性与实操性。

第四章 · 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第八课时｜例6：检验比例限制 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 153—154 页 本课完成例6第二条限制和建模过程，不进入练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 旧知回顾 上一课筛出了对数奖金模型 02 在10≤x≤1000上，奖金总数必须不超过5万元。 线性模型和指数模型都会超过上限。 对数模型y=log₇x+1通过第一条限制。 上一课筛出了对数奖金模型 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 继续问题 还要检验奖金是否不超过利润的25% 03 奖金模型：y=log₇x+1。 比例上限：y≤0.25x。 要证明这个不等式在整个区间内成立。 还要检验奖金是否不超过利润的25% [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 构造函数 把两个函数的大小比较转成差值判断 04 令f(x)=log₇x+1−0.25x。 定义域取10≤x≤1000。 目标变成证明f(x)≤0。 把两个函数的大小比较转成差值判断 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 方法理解 为什么构造差函数有用？ 05 f(x)表示奖金模型减去25%上限。 f(x)≤0等价于奖金不超过上限。 一条不等式转化为函数值符号问题。 为什么构造差函数有用？ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 图象观察 借助图象观察差函数的整体变化 06 图4.5-9显示f(x)在区间内不断下降。 函数图象始终位于x轴下方。 教材据此判断f(x)在[10，1000]上单调递减。 借助图象观察差函数的整体变化 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 利用单调性 递减函数的最大值出现在左端点 07 对任意x∈[10，1000]，都有x≥10。 因为f在该区间单调递减，所以f(x)≤f(10)。 只需计算左端点f(10)。 递减函数的最大值出现在左端点 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 端点计算 计算左端点得到负值 08 f(10)=log₇10+1−0.25×10。 利用计算工具，f(10)≈−0.3167。 因此f(10)＜0。 计算左端点得到负值 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 推出结论 整个区间内的差函数都小于0 09 f(x)≤f(10)≈−0.3167＜0。 所以log₇x+1＜0.25x。 奖金始终低于销售利润的25%。 整个区间内的差函数都小于0 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 完成验证 对数模型同时通过两条限制 10 第一条：log₇x+1≤4.55＜5。 第二条：log₇x+1＜0.25x。 因此y=log₇x+1确实符合公司的要求。 对数模型同时通过两条限制 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 适用范围 这里的“合格”限定在指定区间内 11 验证区间是10≤x≤1000。 结论不能擅自推广到区间外。 实际模型必须连同变量意义、单位和范围一起使用。 这里的“合格”限定在指定区间内 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 技术作用 例6体现了先观察、再计算确认 12 图象帮助初步筛选模型并观察单调性。 具体计算给出交点、端点值和严格比较。 信息技术是辅助，结论仍要写出数学依据。 例6体现了先观察、再计算确认 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 建模流程 建立函数模型解决问题有一条完整路径 13 分析实际变化和限制，选择函数类型。 构建并求解模型，把现实条件转成数学条件。 检验结果，回到实际问题解释结论。 建立函数模型解决问题有一条完整路径 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 易错辨析 易错：只验证一条限制就停止 14 通过y≤5，只说明奖金总额不超上限。 还必须验证y≤0.25x。 多条件问题要逐条检验，最后取共同满足的模型。 易错：只验证一条限制就停止 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 课堂小结 例6完成了“选择并验证模型” 15 候选模型先接受奖金总额上限检验。 对数模型再通过差函数验证比例限制。 最终选择y=log₇x+1，区间为[10，1000]。 例6完成了“选择并验证模型” [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] 课后作业 课后整理：复述差函数检验链条 16 必做：写出f(x)、单调性、端点值和最终不等式。 自查：为什么要计算f(10)，而不是f(1000)？ 整理：用一句话概括函数建模的基本过程。 本页不设置动画；不进入教材练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第153—154页例6、图4.5-9及建模基本过程（本地PDF第160—161页）。 [/Sources] $