4.5.3函数模型的应用第七课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数与对数函数的函数模型应用，通过旧知回顾强调选择模型需考虑限制条件，结合公司奖金模型选择的问题情境，将现实要求转化为“y≤5”的数学条件，搭建从旧知到实际应用的学习支架。 其亮点是以现实问题为载体，用数学眼光抽象数量关系，通过数学思维判断单调性、计算端点值检验模型，体现模型观念与推理能力。如线性模型x=20时y=5因递增被排除，对数模型检验右端点x=1000得y≈4.55通过，助学生理解数学应用，为教师提供清晰教学流程。

第四章 · 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第七课时｜例6：先检验奖金上限 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 152—153 页 本课只检验奖金不超过5万元，不进入第二条限制和练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 旧知回顾 选择函数模型之前，要先读清全部限制 02 模型不仅要随销售利润增加而增加。 还必须在指定区间内满足公司的约束。 检验时要把现实语言翻译成数学条件。 选择函数模型之前，要先读清全部限制 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 问题情境 三个奖金模型，哪个符合公司的要求？ 03 销售利润x达到10万元后开始奖励。 公司利润目标为1000万元，故只看10≤x≤1000。 奖金y随x增加，但受到两条上限限制。 三个奖金模型，哪个符合公司的要求？ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 条件翻译 两条现实要求分别变成两个不等式 04 奖金总数不超过5万元：y≤5。 奖金不超过利润的25%：y≤0.25x。 本课先检验第一条y≤5。 两条现实要求分别变成两个不等式 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 认识模型 候选一是线性模型y=0.25x 05 奖金等于销售利润的25%。 在区间[10，1000]上随x增加而增加。 要检查它是否始终不超过5。 候选一是线性模型y=0.25x [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 认识模型 候选二是对数模型y=log₇x+1 06 底数7大于1，所以函数随x增加而增加。 对数增长速度逐渐变慢。 先检查区间右端点的最大函数值。 候选二是对数模型y=log₇x+1 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 认识模型 候选三是指数模型y=1.002ˣ 07 底数1.002大于1，所以函数随x增加而增加。 前期增长缓慢，但会持续上升。 要找它何时达到奖金上限5。 候选三是指数模型y=1.002ˣ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 图象观察 图象初步显示只有对数模型始终低于y=5 08 线性模型的一部分超过水平线y=5。 指数模型在区间后段也超过y=5。 对数模型在[10，1000]内保持在y=5下方。 图象初步显示只有对数模型始终低于y=5 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 检验模型一 线性模型在x=20时已经达到上限 09 当x=20时，y=0.25×20=5。 模型在[10，1000]上单调递增。 所以x＞20时，y＞5，模型一不符合要求。 线性模型在x=20时已经达到上限 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 检验模型三 指数模型在805与806之间达到上限 10 存在x₀∈(805，806)，使对应的函数值为5。 模型在[10，1000]上单调递增。 当x＞x₀时，y＞5，模型三也不符合要求。 指数模型在805与806之间达到上限 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 检验模型二 对数模型只需检查区间右端点 11 y=log₇x+1在[10，1000]上单调递增。 最大值出现在x=1000。 计算log₇1000+1≈4.55。 对数模型只需检查区间右端点 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 得到结论 4.55＜5，所以对数模型通过第一关 12 区间内任意x都有y≤4.55。 因此奖金总数始终不超过5万元。 三种模型中，目前只剩y=log₇x+1。 4.55＜5，所以对数模型通过第一关 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 方法提炼 检验“始终不超过”不能只代一个随意值 13 先判断函数在指定区间的单调性。 递增函数的最大值在区间右端点。 也可找出与上限y=5的交点进行排除。 检验“始终不超过”不能只代一个随意值 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 留下问题 通过第一条限制，还不能宣布最终合格 14 y=log₇x+1满足奖金总数不超过5万元。 公司还要求奖金不超过利润的25%。 下一课检验log₇x+1≤0.25x是否恒成立。 通过第一条限制，还不能宣布最终合格 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 课堂小结 本课完成了模型筛选的第一步 15 区间：10≤x≤1000。 上限：y≤5。 线性、指数模型被排除，对数模型通过第一条限制。 本课完成了模型筛选的第一步 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] 课后作业 课后整理：写出三个模型的排除依据 16 必做：整理模型一、模型三何时超过5万元。 自查：为什么对数模型只检查x=1000即可？ 预习：怎样验证log₇x+1≤0.25x？ 本页不设置动画；不进入教材练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第152—153页例6、图4.5-8及第一条限制的计算（本地PDF第159—160页）。 [/Sources] $