4.5.3函数模型的应用第一课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“函数模型的应用”，以人口增长问题为载体，通过旧知回顾一次函数与指数函数的变化规律，结合“人口数量变化能否用函数刻画”的提问导入，构建“设起点—定初值—列方程—求参数—检验”的学习支架，衔接知识与建模实践。 其亮点在于以真实人口数据为依托，完整呈现马尔萨斯模型的建立过程，注重参数意义解释与模型检验，体现“用数学眼光观察现实世界”“用数学思维思考现实世界”“用数学语言表达现实世界”。通过易错辨析强化细节，帮助学生培养建模能力与严谨性，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

第四章 · 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第一课时｜例3：建立人口增长模型 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 148 页 本课完成例3第（1）问，不进入练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 旧知回顾 面对实际问题，先判断变化规律 02 一次函数描述近似均匀变化。 指数函数描述按相同比率持续变化。 选模型之前，必须先看实际条件。 面对实际问题，先判断变化规律 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 新课导入 人口数量的变化能否用一个函数刻画？ 03 人口问题需要认识数量随时间的变化规律。 模型把现实中的关键量和数量关系连接起来。 今天先用两个年份的数据确定一个具体模型。 人口数量的变化能否用一个函数刻画？ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 认识模型 马尔萨斯模型描述自然状态下的人口增长 04 t：经过的时间；y₀：t=0时的人口数；r：人口增长率。 要建立具体模型，就是确定y₀和r。 先说清每个量的实际意义。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 读题取量 例3给出了两个年份的人口总数 05 1950年末：55196万。 1959年末：67207万。 时间间隔是9年，不是10年。 例3给出了两个年份的人口总数 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 确定变量 把1950年设为时间起点 06 规定1950年对应t=0。 于是初始人口y₀=55196。 1959年对应t=9。 把1950年设为时间起点 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 列出方程 把1959年的数据代入模型 07 未知量只剩人口增长率r。 接下来解这个指数方程。 强调代入时t=9。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 解参数 先把指数式单独留在一边 08 等式两边除以55196。 再用对数把指数中的9r移下来。 除法在公式中用÷，避免以斜杠代替分式。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 解参数 取自然对数求出增长率 09 计算工具给出r的近似值。 本页不把对数商写成斜杠分式。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 解释参数 r≈0.021876表示模型中的连续增长参数 10 r是常数，决定指数增长的快慢。 这里保留教材给出的六位小数。 它不是把人口每年简单增加同一个数。 r≈0.021876表示模型中的连续增长参数 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 写出模型 具体人口增长模型已经确定 11 y的单位是万，t的单位是年。 区间[0，9]限定本问使用1950—1959年的数据。 模型和定义域必须同时写出。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 模型检验 代回1959年的数据检查参数 12 计算结果与题给67207万基本一致。 这说明代入和参数计算能够相互核对。 用端点数据回代检查。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 方法提炼 建模过程不是直接套一个公式 13 确定变量和时间起点。 把已知数据代入一般模型，求出参数。 写明单位、取值范围，再回代检验。 建模过程不是直接套一个公式 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 易错辨析 三个细节最容易写错 14 1950到1959经过9年。 人口单位是万，不能漏写。 模型的适用范围不能只靠公式猜测。 三个细节最容易写错 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 课堂小结 本课只完成“用数据确定模型” 15 一般模型：人口随时间按指数规律变化。 关键参数：由初始量和另一时刻的数据确定。 具体模型必须带实际意义和时间范围。 本课只完成“用数据确定模型” [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] 课后作业 课后整理：把建模链条写完整 16 必做：整理“设起点—定初值—列方程—求参数—写模型”。 自查：为什么1959年应代入t=9？ 预习：教材例3第（2）问如何检验模型。 本页不设置动画；不进入教材练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第148页例3（本地PDF第155页）。 [/Sources] $