4.5.3函数模型的应用课件第三课时-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，核心内容为函数模型的预测、偏差分析及适用条件。通过旧知回顾前两课的建模与检验（1950-1959年数据确定模型，1951-1958年吻合），自然引入用模型预测未来人口的新问题，搭建“建模-检验-预测”的学习支架。 其亮点在于以人口预测为真实案例，引导学生经历“建立方程-求解-现实对照-偏差分析”的完整建模循环，结合数学眼光观察数据偏差、数学思维分析政策等条件变化，强化模型观念。课堂小结明确“函数模型是有条件的近似”，既培养学生的数学建模能力与批判性思维，也为教师提供真实情境下的探究式教学范例。

第四章 · 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第三课时｜例3：预测、偏差与适用条件 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 149 页 本课完成例3第（3）问及讨论，不进入练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 旧知回顾 前两课已经完成建模和检验 02 模型由1950年和1959年数据确定。 1951—1958年的模型值与实际值基本吻合。 接下来用模型预测区间以外的未来。 前两课已经完成建模和检验 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 提出问题 什么时候人口总数达到13亿？ 03 模型中的人口单位是万。 13亿等于130000万。 把目标人口代入模型，求经过的时间t。 什么时候人口总数达到13亿？ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 建立方程 预测问题先写成一个指数方程 04 130000=55196e⁰·⁰²¹⁸⁷⁶ᵗ 未知量t表示从1950年起经过的年数。 求出t，再换算成具体年份。 预测问题先写成一个指数方程 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 解方程 先把指数式单独留在等式一边 05 e⁰·⁰²¹⁸⁷⁶ᵗ=130000÷55196 等式两边取自然对数。 0.021876t=ln(130000÷55196)。 先把指数式单独留在等式一边 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 得到时间 计算工具给出t≈39.16 06 等式两边除以0.021876。 从1950年起约经过39.16年。 按整年判断，约在1950年后的第40年达到。 计算工具给出t≈39.16 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 写出预测 模型预测的年份约为1990年 07 1950+40=1990。 如果人口按该模型持续增长，1990年达到13亿。 这句话带有明确前提：持续按同一规律增长。 模型预测的年份约为1990年 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 现实对照 实际数据却没有支持这个预测 08 我国1990年人口约为11.43亿。 直到2005年人口才突破13亿。 模型预测比实际情况明显提前。 实际数据却没有支持这个预测 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 产生冲突 为什么短期基本吻合，长期却出现偏差？ 09 1950—1959年的增长条件较为接近建模假设。 预测把这段规律直接延长了几十年。 现实中的人口增长条件后来发生了变化。 为什么短期基本吻合，长期却出现偏差？ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 分析原因 人口增长并不只由一个固定参数决定 10 人口基数、出生率和死亡率都会变化。 经济发展水平与资源条件会影响人口变化。 政策因素也会改变原有的增长趋势。 人口增长并不只由一个固定参数决定 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 教材解释 我国的人口政策改变了模型适用条件 11 20世纪70年代起逐步实施计划生育政策。 这一阶段不再符合自然状态下持续增长的假设。 所以长期预测与实际情况不符。 我国的人口政策改变了模型适用条件 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 形成认识 模型有效，必须满足它的适用条件 12 函数模型只抓住现实问题中的主要关系。 条件相近时，模型可以提供有用的近似。 条件改变后，应重新检验、修正或更换模型。 模型有效，必须满足它的适用条件 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 边界判断 预测距离越远，越要警惕条件变化 13 区间内检验通过，不保证区间外长期准确。 外推时间越长，现实条件累积变化越多。 预测结果必须和实际背景一起解释。 预测距离越远，越要警惕条件变化 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 方法提炼 解决实际问题要经历完整的建模循环 14 建立：选模型，用数据确定参数。 检验：比较模型结果与实际数据。 应用并反思：预测、核对条件、必要时修正。 解决实际问题要经历完整的建模循环 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 课堂小结 函数模型给出的是有条件的近似 15 计算得到t≈39.16，模型预测约1990年。 实际直到2005年才突破13亿。 偏差提醒我们：使用模型必须关注适用条件。 函数模型给出的是有条件的近似 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] 课后作业 课后整理：给预测结论补上前提 16 必做：整理“代入目标值—求t—换算年份”的过程。 自查：为什么短期吻合不能保证长期准确？ 预习：阅读教材例4中的碳14衰减模型。 本页不设置动画；不进入教材练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149页例3第（3）问及其后讨论（本地PDF第156页）。 [/Sources] $