4.5.3函数模型的应用第四课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数模型的应用，以碳14测年为例，通过良渚水坝草茎碳14残留量问题导入，先回顾指数衰减类型判断，再结合半衰期确定模型参数，最后用对数求解时间并换算年代，构建从旧知到应用的学习支架。 其亮点是以真实考古情境为载体，体现“用数学眼光观察现实世界”，通过模型建立、参数推导和对数运算培养“数学思维”，用公式方程表达问题形成“模型观念”。课堂小结梳理推理链，学生能提升建模能力，教师可直接用于案例教学。

第四章 · 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用 第四课时｜例4：碳14测年 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 149—150 页 本课完成例4，不进入练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 旧知回顾 实际问题先判断属于哪一种变化 02 持续增长常用指数增长模型刻画。 按固定衰减率减少属于指数衰减。 模型选择必须符合实际对象的变化条件。 实际问题先判断属于哪一种变化 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 新课导入 草茎中碳14的残留量能告诉我们年代 03 2010年检测良渚水坝建筑材料中的草茎遗存。 碳14残留量约为初始量的55.2%。 问题：能否据此推断水坝大概建成于何时？ 草茎中碳14的残留量能告诉我们年代 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 模型选择 死亡生物体内的碳14按确定速率衰减 04 初始量记为k，经过x年后的残余量记为y。 每年保留原来的1−p，其中0＜p＜1。 因此选择指数衰减模型。 死亡生物体内的碳14按确定速率衰减 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 建立模型 先写出一般的指数衰减模型 05 k为初始量，p为衰减率，x≥0。 接下来用半衰期确定底数1−p。 公式整体呈现。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 读取条件 半衰期5730年给出一个关键等量关系 06 经过5730年，残余量是初始量的一半。 模型左边代入x=5730。 模型右边写成初始量k的二分之一。 半衰期5730年给出一个关键等量关系 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 确定参数 把半衰期条件代入衰减模型 07 等式两边约去非零的k。 再求出每年保留比例1−p。 二分之一使用上下分式。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 确定参数 每年保留比例写成5730次根式 08 根指数5730写在根号左上角。 根线完整覆盖上下结构的二分之一。 检查根式结构。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 写出模型 由半衰期得到具体衰减模型 09 底数小于1，所以残余量随x增大而减少。 模型中的x表示死亡后经过的年数。 模型整体呈现。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 代入检测 检测结果把残余量与初始量联系起来 10 残余量约为初始量的55.2%。 所以y=55.2%k=0.552k。 代入具体衰减模型后可约去k。 检测结果把残余量与初始量联系起来 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 建立方程 约去初始量，只剩时间x 11 未知量x位于指数位置。 用对数把指数x求出来。 根式与指数作为整体。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 对数求解 用对数表示经过的年数 12 检测时草茎遗存距今约4912年。 对数底数为完整根式。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 年代换算 把经过年数换算成具体年代 13 检测年份是2010年。 向前推约4912年：2010−4912=−2902。 考虑公元纪年没有0年，教材推断约为公元前2903年。 把经过年数换算成具体年代 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 结果解释 结论只能表述为“大概年代” 14 碳14残留量本身是近似检测值。 半衰期模型也对实际过程作了理想化。 因此结果写成水坝大概建于公元前2903年。 结论只能表述为“大概年代” [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 课堂小结 例4完整展示了指数衰减建模 15 判类型：碳14按固定衰减率减少。 定模型：用半衰期确定指数函数的底数。 解时间：代入残留比例，用对数求x并换算年代。 例4完整展示了指数衰减建模 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] 课后作业 课后整理：画出碳14测年的推理链 16 必做：整理“半衰期—底数—残留比例—年代”的链条。 自查：根号为什么必须覆盖完整的二分之一？ 预习：阅读教材例5的三种投资回报方案。 本页不设置动画；不进入教材练习。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第149—150页例4（本地PDF第156—157页）。 [/Sources] $