4.5.3 函数模型的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“函数模型的应用”，涵盖一次、二次、指数、对数及分段函数模型，通过动态数据应用流程导入，衔接指数函数与对数函数知识，搭建从知识理解到实际应用的学习支架。 其亮点是分基础、中档、拔高难度训练，融入航天科技、低碳环保等新情境例题，含思维导图和一体化教学资源。通过数学建模与函数拟合，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题的能力，如利用对数模型解决火箭速度问题，助力学生提升应用意识，教师可高效开展分层教学。

高一数学●2024人教A版必修一 4.5.3 函数模型的应用 本节理解常见函数模型的特征，能利用指数、对数、一次、二次函数建立数学模型解决实际问题；提升建模与运算能力，体会函数在生活中的应用价值。 第四章 指数函数与对数函数 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括62张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练（著名的数学思维方法） 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 3 理知识丨知识详解 知识点1 利用已知函数模型解决问题 1 几类常见的函数模型 一次函数模型 ，为常数， . 正比例函数模型为常数， 是一次函数模型的特 殊情况. 反比例函数模型 为常数， . 二次函数模型 ，，为常数， . 指数型函数模型 ，，为常数，，, . 对数型函数模型 ，，为常数，,, . 4 幂型函数模型 ,,为常数，， . 对勾函数模型 ,为常数，且, . 分段函数模型 这个模型实质是以上两个或两个以上函数的综合，应用十分广泛. 续表 2 利用已知函数模型解决实际问题的一般思路 （1）利用待定系数法求出已知函数模型中的参数值； （2）验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合； （3）利用求得的函数模型解决实际问题. 6 例1 [新情境·学科综合]韦伯—费希纳定律是表明心理量和物理量之间关系的定律， 其中心理量和物理量之间满足关系式（其中表示心理量，是常数， 表示物理量， 是积分常数），表示的含义是心理量和物理量的对数值成正比.通过 研究表明，当时，．若，则 的值大约为（参考数据： ， ）( ) B A.1.07 B.1.16 C.1.45 D.2.15 【解析】，当时， ， ，解得 ， . 又，， ， ， ． 7 知识点2 建立函数模型解决实际问题 1 建立函数模型解决实际问题的基本过程 某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为,因变量为 ，即可构建函数 模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案．具体基本过程为： 8 2 建立函数模型解决实际问题的步骤 （1）分析和理解实际问题中变量的变化规律，如增长情况（“对数增长”“直线上升” “指数爆炸”）等； （2）根据变化规律选择函数类型建立函数模型，将实际问题转化为数学问题； （3）求解函数模型； （4）用函数模型描述并解决实际问题. 9 3 数学建模与函数拟合 数学建模 研究实际问题时，要深入调查，了解对象信息，给出简化假设，用数 学的符号和语言，把它表述为数学式子（也就是数学模型），然后计 算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题.这个建立数学模 型的全过程就称为数学建模. 函数拟合 根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出 函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过 程，称为函数拟合（或数据拟合）. 散点图：将成对的数据在平面直角坐标系中用点的形式作出而形成的图形. 10 例2 某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据： 1.99 3 4 5.1 8 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00 如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是( ) D A. B. C. D. 11 【解析】根据题中数据画出散点图如图4.5.3-1所示. 图4.5.3-1 由图可知上述散点大体分布在函数 的图象的附近， 故函数 可以近似地反映这些数据的规律. 12 方法帮丨解题突破 题型1 已知函数模型解决实际问题 解答已经给出函数模型的应用题时，首先要考虑的是题目中建立了怎样的函数模型， 它适用于什么样的范围（也就是定义域如何）；其次结合所给模型，列出函数关系 式；最后结合实际问题进行合理的解释（即解答）. 13 类型1 指数型函数模型 例3 某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气需经过严 格过滤后排放.已知过滤过程中废气的剩余污染物数量（单位：）与过滤时间 （单位：小时）之间的关系式为,其中为废气中原污染物总量， 为常 数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的 ，那 么要使废气中剩余污染物含量不超过原污染物总量的，过滤开始后需要经过 小 时，则正整数的最小值为____.（参考数据：， ） 13 14 15 例4 (2026·安徽省合肥市第六中学期末)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温 度为，空气的温度为，那么后物体的温度 （单位： ）可由公式 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数. 已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到 需要 . （1）求 . 【解析】已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从 冷却到 需要 ， 则 ， 即，所以 . 16 （2）热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降到 ， 至少需要等待多长时间？ 【解析】由，，， ， 可得 ， 解得，所以至少需要等待 . 17 （3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于 ，电热水壶不加热， 当水的温度冷却到时，电热水壶开始加热，直至水的温度达到 才停止加热， 且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为 ，经过 后，此时壶中水的温度是多少？ 18 【解析】设水的温度由冷却到，需要 ， 则，解得 ， 此时电热水壶开始加热，需要加热至，且 ，（说明水需要接 着冷却） 若水的温度由冷却到，可知需要 ， 而 （说明冷却过程中达到时间），则 ， 所以经过后，此时壶中水的温度是 . 19 练变式1 某相关数学建模小组通过对某 软件的研究发现：当该程序利用后台的算 法处理数据量为（单位：字节）的数据时，处理时间 （单位：秒）满足关系式 （其中，均为常数）．已知当时，；当 时， ． （1）求， 的值； 【答案】由题意得 ， 故 两式相减可得，故 ， 故 ． 20 （2）若该程序利用后台算法处理一份数据量 的数据，求所需的处理时间； 【答案】由（1）可知，当时， ， 故所需的处理时间为 秒. （3）若将（2）中的数据分为两份，数据量分别为和，其中， ， ，依次由该程序处理，求所需的总处理时间的最小值． 【答案】总处理时间为 ，当且仅当 时取等号， 故所需的总处理时间的最小值为 秒. 21 类型2 对数型函数模型 例5 [新情境·航天科技](2026·安徽省江南十校联考)近年来，我国在航天领域取得了 巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术.据了解，在不考虑空气动力和地球引力 的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度单位：，其中 （单位：）是喷流相对速度，（单位：）是火箭（除推进剂外）的质量， （单位：）是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比，已知 型火箭的喷流相对 速度为 ． （1）当总质比为200时，利用给出的参考数据求 型火箭的最大速度； 【解析】当总质比为200时， ，所以当总质 比为200时，型火箭的最大速度约为 . 22 （2）经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的 倍，总 质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加 ，求在材料更新和技术 改进前总质比的最小整数值．参考数据：， ． 23 【解析】由题意，经过材料更新和技术改进后， 型火箭的喷流相对速度为 ，总质比变为 ， 要使火箭的最大速度至少增加 ， 则需 ， 化简得， ， 即，整理得 ， 即，则 ， 由参考数据，知 ， 所以 ， 所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74． 24 练变式2 ［多选题］(2026·广东省汕头市期末)声强级（单位：）与声强 （单位：）之间的关系是：，其中 指的是人能听到的最低声 强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为 ，对应的声强级为 ，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位： ）．下列选 项中正确的是( ) ACD A.闻阈的声强为 B.声强级增加 ，则声强变为原来的2倍 C.此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位： ） D.声强变为原来的10倍，则对应声强级增加 25 【解析】由题意，即，所以，所以 ， 故A正确； ，若，即 ，则 ,若，即，则 ，故此歌唱家唱 歌时的声强范围为（单位： ），故C正确； 设声强变为原来的倍，对应声强级增加 ，则 ，解得 ，即如果声强变为原来的10倍， 则对应声强级增加，故D正确,B错误.故选 ． 26 类型3 分段函数模型 图4.5.3-2 例6 ［教材改编P156 T10］(2026·广东省广州市期末)某医药研究 所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药 后每毫升血液中的含药量（单位：）与时间（单位： ）之 间近似满足如图4.5.3-2所示的曲线. （1）写出服药后每毫升血液中的含药量与时间 之间的函数关 系式 ； 【解析】当时，,由点在直线上，得,故;当 时，,由点在曲线上，得,解得，即 .故 27 （2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 时，对治疗疾病有效，求服 药一次治疗疾病的有效时间. 【解析】由题意知,则或解得 . 所以服药一次治疗疾病的有效时间为 . 28 解题通法 （1）现实生活中有很多问题都是用分段函数模型表示的，如出租车计费、个人所得 税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型. （2）分段函数的实质是自变量在每一段区间上变化所遵循的规律不同，可以先将其 看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变 量的取值范围，特别是端点值. 29 图4.5.3-3 练变式3 (2026·陕西省榆林市期末)某专家研究高一学生上 课注意力集中的情况，发现其注意力指数 与听课时间 之间的关系满足如图4.5.3-3所示的曲线.当 时，曲线是二次函数图象的一部分，当 时，曲线是函数 图 象的一部分.专家认为，当注意力指数 大于或等于80时听 课效果最佳. 30 （1）试求 的函数关系式. 【答案】当时，设 ， 将代入，得，解得 ， 所以时， . 当时，,将 代入解析式，得 ，解得 ， 所以时， . 综上， 31 （2）若某个时间段听课效果不是最佳，则建议老师多提问，增加学生活动环节.问 哪些时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？ 【答案】当时，令，得 ; 当时，令，得 . 所以在,和 两个时间段，建议老师多提问，增加学生活动环节. 32 题型2 建立函数模型解决实际问题 例7 ［教材改编P152例6］科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实 现9 000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益 达到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收 益的 ． 33 （1）现有三个奖励函数模型：， ， ．试分析这三个函数模型哪一个符合公司要求． 【解析】根据题意可知，符合公司要求的函数在 上单调递增，且对任 意，恒有且 ． ①对于函数，在上单调递增，当 时， ，不符合题意； ②对于函数，在 上单调递减，不符合题意； ③对于函数，在 上单调递增， 当时， ， 时， ， 而，所以当时， 恒成立，符合题意． 因此，函数模型 符合公司要求. 34 （2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到350万元，公司的投资收 益至少为多少万元？ 【解析】由，即，解得 ，故公司的投资收 益至少为8 000万元． 35 例8 某个体经营者把前六个月试销， 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 月投资 种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6 纯利润/万元 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 月投资 种商品的金额/万元 1 2 3 4 5 6 纯利润/万元 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入， 两种商品各多少 万元才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润， 并求出最大纯利润.（精确到 0.1万元） 画出两组数据的散点图，分别确定拟合函数，再利用待定系数法求 出解析式，并进行检验和预测. 36 【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图4.5.3-4所示. 图4.5.3-4 据此，可考虑用函数 ①表示投资 种商品的金额与其纯利 润的关系， 用 ②表示投资 种商品的金额与其纯利润的关系. 37 把,代入①式，得，解得 ,经检验，解析 式满足题意，故所获纯利 润关于月投资种商品的金额的函数解析式可近似地用 来表示. 把,代入②式，解得 ，经检验，解析式满足题意，故所获纯利润 关于月投资种商品的金额的函数解析式可近似地用 来表示. 设下个月投入，两种商品的资金分别是万元，万元，纯利润为 万元， 得 即 . 故当时，取得最大值，约为 ， 此时， . 即下个月投入，两种商品的资金分别约为3.2万元， 万元时，可获得最大纯利 润，约为4.1万元. 拟合函数的优劣，一般可用其他数据进行验证，若差距较小，则说 明拟合的效果较好；若差距较大，则说明拟合的效果较差. 图4.5.3-5 归纳总结 常见散点图对应的数学模型 ①相邻散点之间的距离变化越来越大时，如 图4.5.3-5（1），常选 模型. ②相邻散点之间的距离变化越来越小时，如图4.5.3-5（2），常选 模型. ③散点先升后降（如图4.5.3-5（3））或先降后升，常选二次函数 模型. ④相邻散点之间等距时，如图4.5.3-5（4），常选一次函数 模型. 40 练变式4 (2026·广东省惠州市东江高级中学月考)中国茶文化博大精深，茶水的口感 与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用 的水泡制，等到茶水 温度降至 时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下刚泡好的 茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔 测量一次茶水温度，得到茶水温度随 时间变化的如下数据： 时间/ 0 1 2 3 4 5 水温/ 100.00 92.00 84.80 78.37 72.53 67.27 41 设茶水温度从开始，经过后的温度为 ，现给出以下三种函数模型： ； ； ． （1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并 利用前 的数据求出相应的解析式； 42 【答案】选择 作为函数模型． 函数模型③为对数型函数模型.因为 ，所以模型为增长模型.由表格中的数据可 知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择模型③. 当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该 选择一次函数模型①． 故应选择 . 将表中前的数据代入，得解得 所以函数模型的解析式为 ． 43 （2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间 （精确到 ）； 【答案】由（1）中函数模型，有 ， 即，所以 ， 即 ， 所以刚泡好的乌龙茶大约放置 能达到最佳饮用口感． （3）考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温，并说 明理由．（参考数据：， ） 【答案】由为减函数，且当越大时， 越接近20，考虑 到茶水温度降至室温就不能再降的事实， 所以乌龙茶所在实验室的室温约为 ． 44 高考帮丨考向追踪 考向1 函数模型的实际应用 例9 ［多选题］(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音 的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值， 是实际 声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为, ， ，则( ) ACD A. B. C. D. 45 【解析】因为随着的增大而增大，且， ， 所以，所以 ，故A正确； 由，得，因为，所以 ，故C正确； 假设，则，所以，所以 ，不可 能成立，故B不正确； 因为，所以 ，故D正确. 46 试题分析 以学生常见的“噪声污染”为背景，创设对数函数的应用情境.在解决问 题时，设置合适的运算过程和运算量，把对数式转化为指数式进行求 解，使情境化试题的要求层次和学生的认知水平相契合. 47 练习帮丨分层巩固 1.有一组实验数据如表所示： 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 1.5 2.5 2.9 3.6 4.0 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是 ( ) D A. B. C. D. 48 【解析】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图D 4.5.3-1所示， 图D 4.5.3-1 对于A，,时，，时， .与表中数据差异较大,故A不正 确.对于B， 的图象为抛物线，与散点图不一致，故B不正确.对于C， 单调递减，与散点图不一致，故C不正确.对于D， 单调递增，且 与散点图基本一致，故D正确. 49 2.(2026·湖南省长沙市长郡中学期末)科学家研发一种植物新品种，如果第1代得到1 粒种子，以后各代每粒种子都可以得到12粒下一代种子，则种子数量首次超过100万 粒的是( )（参考数据：, ） B A.第6代种子 B.第7代种子 C.第8代种子 D.第9代种子 【解析】第代种子的数量为粒，由题意得，得 ， 即.因为 ，所以种子数量首次 超过100万粒的是第7代种子. 50 3.(2026·云南省普洱市期末)国际象棋棋盘有 共64个格子，每局约80步，每步平 均有35种走法，故称其理论状态空间的上限约为 ，而五子棋棋盘上有225个交 叉点，这些交叉点是对弈时的落子点.每个交叉点可以处于以下三种状态中的一种： 空白、黑子、白子，所以其状态空间的上限为，则下列各数中与 最接近的是 （参考数据： ）( ) C A.10 B.34 C. D. 【解析】由题意得 ，则 , 所以，即最接近 . 51 4.［新情境·低碳环保］ (2026·山东省淄博实验中学月考)“绿色出行，低碳环保”已成 为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶 持新能源汽车的计划，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主 要指电动汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量（单位： ）、放电时 间（单位：）、放电电流（单位：A）三者之间满足关系 ．假设某 款电动汽车的蓄电池容量为,正常行驶时放电电流为 ,那么该汽车能持 续行驶的时间大约为（参考数据： ）( ) C A. B. C. D. 【解析】当,时，， ．又 ， ． 52 5.［多选题］ 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种 群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小．为了刻画这种现 象，生态学上提出了著名的逻辑斯蒂模型：，其中,, 是正常 数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内禀增长率，是环境容纳量． 可 以近似刻画 时刻的种群数量，则下列结论正确的是( ) ACD A.如果，那么存在, B.如果，那么存在, C.如果，那么当时, D.如果,那么存在,对任意, 53 【解析】对于A,当时， , 令，解得，因为，所以 ，故A正确. 对于B, , 因为，，,则, , 得，则 , 所以对任意的, ，故B错误. 对于C,在内单调递减，若，，可知 , 可知在 内单调递减， 则在 内单调递增， 54 所以当时, ，故C正确. 对于D,因为，则, , 可得，所以 , 又因为在 内单调递增， 所以存在，（此时）对任意, ，故 D正确.故选 . 6.(2026·辽宁省朝阳市期末)在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐 变弱，衰减后的光功率（单位：）可表示为，其中 为初始光功 率， 为常数，为接收信号处与发射器之间的距离（单位： ）.已知距离发射器 处的光功率衰减为初始光功率的一半，若某处光功率衰减为初始光功率的 ，则 此处到发射器的距离为______. 【解析】因为距离发射器 处的光功率衰减为初始光功率的一半，所以 , 设，即 , 则，解得 . 56 7.将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中， 秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线 ，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过秒甲桶中的水只有 升，则 的值为___． 5 【解析】秒后甲桶和乙桶的水量相等， 函数 满足 ,即,得,当秒后甲桶中的水只有升，即 , 即，得，故 . 57 8.(2026·江苏省连云港市期末)某地一渔场的水质受到了污染,渔场的工作人员对水质 检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为 个单位 的药剂后，经过天该药剂在水中释放的质量浓度 （单位：毫克/升）满足 ，其中 当药剂在水中释放的质量浓度不低 于6毫克/升时称为有效净化；当药剂在水中释放的质量浓度不低于6毫克/升且不高于 18毫克/升时称为最佳净化. 58 （1）如果投放6个单位的药剂，试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天? 【答案】由已知得，投放6个单位的药剂，渔场的水质达到有效净化时,有 ， 即，可得或解得或 ,即 , 所以如果投放6个单位的药剂，该渔场的水质达到有效净化一共可持续8天. （2）为了使渔场的水质达到最佳净化能持续8天（从投放药剂算起且包括第8天）， 试确定 的取值范围. 【答案】由题意知，为了使渔场的水质达到最佳净化能持续8天（从投放药剂算起， 且包括第8天），只需在这8天内的每一天均有, 恒成立即可， 即对任意的，, . 因为所以对任意的， 恒成 立,且对任意的, 恒成立， 所以且解得 . 故的取值范围为 ． 60 9.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有 极其重要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量的某种细菌进行研究，发现其蔓 延速度越来越快.经过2分钟，菌落的覆盖面积为 ，经过3分钟，覆盖面积为 ，现菌落覆盖面积（单位：）与经过时间 （单位：分）的关 系有两个函数模型与 可供选择. （参考数据：，，， , ） （1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式. 【答案】的增长速度越来越快， 的增长速 度越来越慢， 依题意应选函数 . 则有解得 . 61 （2）在理想状态下，求开始时菌落的面积.并求约经过多久培养基中菌落的面积是 开始时的1 000倍. 【答案】当时， . 当经过分钟，该培养基中菌落的面积是开始时的1 000倍，则 , . 故开始时菌落的面积为 . 约经过17分钟，培养基中菌落的面积是开始时的1 000倍. 62 $