4.5.3 函数模型的应用 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，系统梳理一次、二次、指数、对数等常用函数模型，通过实例从已学函数知识过渡到实际问题解决，构建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于例题涵盖人口增长、病毒复制、考古年代等多领域实际情境，注重模型选择与验证，体现用数学眼光观察现实、用数学思维分析问题、用数学语言表达模型。帮助学生提升应用能力，为教师提供丰富教学实例。

4.5.3 函数模型的应用 常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数 例1、某商场在销售某产品的4天内的利润如下表所示．   现构建一个销售这种产品的函数模型，应是下列函数中 (　　) A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x 时间 1 2 3 4 利润/千元 2 3.98 8.01 15.99 B 第四章　指数函数与对数函数 数学　必修　第一册　配人教A版 | 自 学 导 引 | | 课 堂 互 动 | | 素 养 达 成 | 课后提能训练 例2、如图，函数y=f(x)的图象由曲线段OA和直线段AB构成. (1) 写出函数y=f(x)的一个解析式； (2) 提出一个能满足函数y=f(x)图象变化规律的实际问题. 所以232年后即1882年世界人口是1650年的2倍，34年后即2004年世界人口是1970年的2倍。 例3、已知 1650 年世界人口为 5 亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970 年世界人口为 36 亿，当时人口的年增长率为2.1%. (1) 用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍？什么时候世界人口是 1970 年的 2 倍？ (2) 实际上，1850 年以前世界人口就超过了 10 亿；而 2004 年世界人口还没有达到 72 亿。你对同样的模型得出的两个结果有何看法？ (2) 马尔萨斯人口模型是用来刻画自然状态下的人口增长模型，其中的参数r表示人口的年平均增长率。这两段时期都存在人口非自然增长的状况，且计算选择的增长率都不是这两段时期的平均增长率，所以所得出的两个结果与实际存在差异。 例4、在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为 21 个月， 那么 1 万只野兔增长到 1 亿只野兔大约需要多少年？ 例5、一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存 2 KB，然后每 3 分自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机后多少分，该病毒会占据 64 MB 内存（1 MB=1024 KB）？ 【课本例题的公式】 【需要借助计算工具】 例6、1959 年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳 14 的残余量约为初始量的 62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？ 例7、1986 年 4 月 26 日，乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶 90，它每年的衰减率为 2.47%。专家估计，要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要 800 年，到那时原有的锶 90 还剩百分之几？ 例8、一种药在病人血液中的量保持在 1500 mg 以上时才有疗效，而低于 500 mg 时病人就有危险。现给某病人的静脉注射了这种药 2500 mg，如果药在血液中 以每小时 20％的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药 （精确到 0.1 h）？ 例9、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L) 与时间t(单位：h) 间的关系为 其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，那么 (1)10h后还剩百分之几的污染物？ (2) 污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）？ (3) 画出P关于t变化的函数图象． 例10、把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ℃，空气的温度是 ℃， 那么t min后物体的温度 (单位：℃) 可由公式 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数。现有62 ℃的物体，放在15 ℃的空气中冷却，1 min以后物体的温度是52 ℃。 (1) 求k的值（精确到0.01）； (2) 若要将物体的温度降为42 ℃，32℃，求分别需要冷却的时间。 例11、某地今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，61，68。为了 预测以后各月的患病人数，甲选择了模型y=ax2+bx+c，乙选择了模型y=pqx+r， 其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数。 结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？ 1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题． 3.了解拟合函数模型并解决实际问题． 课堂小结 $