第4章 4.5 4.5.3 函数模型的应用-【创新教程·五维课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦函数模型的应用，涵盖一次、二次、指数、对数等常见函数模型，通过计算机病毒内存复制情境导入，结合预习学案的知识梳理与自测题，搭建从指数、对数函数概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于分模块设计与情境化案例结合，以人口增长、燕子飞行速度、牛顿冷却模型等实例，培养数学建模、数学运算素养。采用“问题情境-模型构建-解决应用”教学方法，帮助学生提升用数学语言表达现实世界的能力，教师可利用结构化资源实施高效教学。

4．5．3　函数模型的应用 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 随堂 步步夯实 03 课后 素养提升 04 第四章　指数函数与对数函数 必修第一册 数学 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 　 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 随堂 步步夯实 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 课时作业 下一页 上一页 返回导航 必修第一册 数学 第四章　指数函数与对数函数 课程标准 素养解读 1.了解函数模型的广泛应用 2．收集并能解决指数函数、对数函数等常见的函数模型，了解数学建模的过程 通过函数模型的应用提升数学建模，直观想象，数学运算素养 [情境引入] 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15， ∴需时间为15×3＝45分钟． [知识梳理] [知识点]　几种常见函数模型　 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图象和性质的？ 提示：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 2．在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？ 提示：当x>0，n>0时，函数的图象在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图象在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数． [预习自测] 1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出(x，y)对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是(　　) A．指数函数y＝2x B．对数函数y＝log2x C．幂函数y＝x3 D．二次函数y＝2x2 答案：A 2．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　) A．300只　　　　　 B．400只 C 500只 D．600只 答案：A 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为　________　. 答案：1.75万件 指数函数模型 [例1] 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人 (精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)． [思路点拨]　根据规律写出函数关系式y＝N(1＋p)x. [解]　(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2% ＝100(1＋1.2)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口数为： 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)， (3)设x年后该城市人口将达到120万， 即100×(1＋1.2%)x＝120，所以1.012x＝1.20. 所以x＝log1.0121.20≈15(年)．即大约15年后，该城市人口将达到120万人． 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 3．增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图象近似求解．用函数的图象求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． [变式训练] 1．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为　________　kPa. 解析：将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝eq \f(ln 0.9,1 000)，y与x的函数关系可近似表示为y＝，当x＝2 000时，y＝100(eln0.9)2＝81. 答案：81 对数函数模型 [例2] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2eq \f(Q,10)(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ [思路点拨]　代入求Q＝10，写出关系式，求解． [解析]　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中的函数关系式，可得0＝5log2eq \f(Q,10)，解得Q＝10. 即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2eq \f(80,10)＝5log28＝15. 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解； (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [变式训练] 2．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：t＝－eq \f(1,k)·lneq \f(θ－θ0,θ1－θ0)(t为时间，单位：min，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度，单位：℃，k为常数)．假设一杯开水的初始温度θ1＝90 ℃，环境温度θ0＝10 ℃，常数k＝eq \f(1,6).(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) (1)大约经过几分钟水温降为40 ℃？ (2)经过1.8 min水温大约降为多少？ 解：(1)由题意可得t＝－6lneq \f(40－10,90－10)＝－6lneq \f(3,8) ＝－6(ln 3－3ln 2)≈－6×(1.1－3×0.7)＝6， 故大约经过6 min水温降为40 ℃. (2)由题意可得1.8＝－6lneq \f(θ－10,90－10)， ∴lneq \f(θ－10,90－10)＝lneq \f(\f(θ,10)－1,8)＝－0.3， 即lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,10)－1))－ln 8＝－0.3， ∴lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,10)－1))＝3ln 2－0.3≈1.8≈ln 2＋ln 3＝ln 6， ∴θ≈70，故经过1.8 min水温大约降为70 ℃. 以图表信息为背景的函数应用题 [例3] 已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足 (其中t为关税的税率，且t∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝eq \f(1,8)时的市场供应量曲线如图所示． (1)根据图象求b，k的值； (2)记市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值． [思路点拨]　首先根据图象求出函数P＝f(t)和Q＝g(t)的解析式，再由两者得到纯收益的函数解析式，进而求得函数的最值点． [解]　(1)由图象知， ⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝5，,k＝6.)) (2)当P＝Q时，有， 即(1－6t)(x－5)2＝11－eq \f(x,2) ⇒2(1－6t)＝eq \f(22－x,x－52)＝eq \f(17－x－5,x－52)＝eq \f(17,x－52)－eq \f(1,x－5). 令m＝eq \f(1,x－5)，则2(1－6t)＝17m2－m. ∵x≥9，∴m∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))). 当m＝eq \f(1,4)时，2(1－6t)取最大值eq \f(13,16)，故t≥eq \f(19,192)，即税率的最小值为eq \f(19,192). 1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形． 2．建立函数模型解决实际问题的基本思路 [变式训练] 3．某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k与a是常数)的图象． (1)写出服药后y关于t的函数关系式； (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？ 解：(1)当0≤t<1时，y＝8t； 当t≥1时，将A(1,8)，B(2,4eq \r(2))代入y＝kat， 得a＝eq \f(\r(2),2)，k＝8eq \r(2). 所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8t，0≤t<1，,8\r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))t，t≥1.)) (2)设第一次服药后最迟经过t h第二次服药， 依题意有t≥1. 所以8eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))t＝2， 解得t＝5. 因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h，即当天上午11：00服药． 建立拟合函数模型解决实际问题 [例4] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示. 年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象； (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？ [思路点拨]　解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图象判断问题所适用的函数模型． [解]　(1)描点、作图如图(甲)所示． (2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)． 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)， 代入y＝a＋bx，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(21.1＝a＋10.4b，,45.8＝a＋24.0b，)) 用计算器可得a≈2.2，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x. 作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系． (3)由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷． 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [变式训练] 4．舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度．对于舆论事件出现的第x天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9x，则认为本次舆情是严重的．某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现的第1,2,3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①y＝ax＋eq \f(b,x)＋c；②y＝plogqx＋g；③y＝m×nx＋s其中含x的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型(直接写结果，不用证明)； (2)运用(1)中选取的函数模型，预测第4天的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求t的最小值． 解：(1)选③， 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③. (2)将表格数据代入y＝m×nx＋s，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m·n＋s＝12，,m·n2＋s＝48，,m·n3＋s＝156，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝3，,s＝－6，)) 故函数模型为y＝6×3x－6， 则第4天的舆论场指数为6×34－6＝480. (3)若本次舆情不是严重的，则6×3x－6≤t×9x恒成立， 则6×3x－6≤t×32x，故两边同时除以32x，得eq \f(6,3x)－eq \f(6,32x)≤t， 不妨设k＝eq \f(1,3x)，k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))，则eq \f(6,3x)－eq \f(6,32x)≤t可化为6k－6k2≤t，整理得6k2－6k＋t≥0， 由于y＝6k2－6k＋t在k∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递减，故只需要当k＝eq \f(1,3)时，6k2－6k＋t≥0成立即可， 代入得eq \f(2,3)－2＋t≥0，解得t≥eq \f(4,3)， 故t的最小值为eq \f(4,3). 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 答案：D 2．已知函数t＝－144lg(1－eq \f(N,100))的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是(　　) A．144 h B．90 h C．60 h D．40 h 答案：A 3．光线经过一块玻璃，强度损失10%，那么至少经过　________　块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的eq \f(1,5)以下．(lg 3≈0.477，lg 2≈0.3) 答案：16 4．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2026年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0<x<1)． (1)设第n(n∈N*)年(2026年记为第1年)的年产能为2025年的a倍，请用a，n表示x； (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2025年的年产能的25%? (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解：(1)依题意得(1－x)n＝a，则1－x＝eq \r(n,a)， 所以x＝1－eq \r(n,a)(n∈N*)． (2)设第m年的年产能不超过2025年的年产能的25%，则(1－10%)m≤25%， 即(eq \f(9,10))m≤eq \f(1,4)，mlgeq \f(9,10)≤lg eq \f(1,4)，m(2lg 3－1)≤－2lg 2， m≥eq \f(2lg 2,1－2lg 3). 因为eq \f(2lg 2,1－2lg 3)≈eq \f(2×0.301,1－2×0.477)＝eq \f(301,23)，所以m≥eq \f(301,23). 因为13<eq \f(301,23)<14，且m∈N*， 所以m的最小值为14， 所以至少要到2039年才能使年产能不超过2025年的产能的25%. $