4.5.3 函数模型的应用 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数与对数函数的函数模型应用，通过判一判问题导入，连接指数、对数函数知识，搭建从理论到实际应用的学习支架，帮助学生掌握已知模型应用及指数、对数型模型构建。 其特色在于结合山峰气压、企业研发资金等多领域实例，通过例题解析与方法总结，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的能力。采用讲练结合方式，课堂小结梳理知识清单，助力学生提升建模与应用意识，也为教师提供系统教学资源。

第四章　指数函数与对数函数 4.5.3　函数模型的应用 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1.能利用已知函数模型求解实际问题. 2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题． 学习目标 基础知识 1．指数型函数模型 (1)表达形式：f(x)＝abx＋c. (2)条件：a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1. 2．对数型函数模型 (1)表达形式：f(x)＝mlogax＋n. (2)条件：m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1. 【说明】　对于建立的各种函数模型，要能够对其进行识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要基础．运用已知函数模型刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，因此往往需要对模型进行修正. 判一判 (1)实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．(　　) (2)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　) (3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．(　　) (4)利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．(　　)   × × √ √ 例题 类型一　已知函数模型解决实际问题 【例1】　自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为4 981.3 m，夏诺多吉高程数据为5 951.3 m．已知大气压强p(单位：Pa)随高度h(单位：m)的变化满足关系式ln p0－ln p＝kh，p0是海平面大气压强，k＝10-4，记夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为p1，狮子王山峰峰顶的大气压强为p2，则 ＝(　　) A 方法总结 利用已知函数模型解决实际问题 (1)首先确定已知函数模型解析式中的未知参数； (2)利用已知函数模型相关的运算性质、函数性质解决实际问题； (3)涉及较为复杂的指数运算时，常常利用等式的两边取对数的方法，将指数运算转化为对数运算． [跟踪训练1]　生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间．在物种入侵初期，可用对数模型K(n)＝λlog3n(λ为常数)来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位：天)之间的对应关系，且Q＝ ＋1，在物种入侵初期，基于现有数据得出Q＝6，T＝60.据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的6倍所需要的时间为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．19.5天 B．20.5天 C．18.5天 D．19天 A 类型二　指数型函数模型 【例2】　某企业于2023年在其基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%. (1)写出第x年(2024年为第1年)该企业投入的研发资金y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域； (2)该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？ (参考数据：lg 0.12≈－0.921，lg 1.2≈0.079，lg 0.112≈－0.951，lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301) [解]　(1)第x年(2024年为第1年)该企业投入的研发资金y＝150(1＋20%)x＝150·1.2x，其定义域为{x∈N*|1≤x≤7}． (2)由(1)得令y＝150·1.2x>300，所以1.2x>2，即x>log1.22＝ x∈N*， 所以该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元． 方法总结 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． [跟踪训练2]　已知放射性物质镭经过100年后，其剩余的质量为原来的95.76%，求经过多少年后其剩余的质量为原来的50%.(参考数据：lg 0.5≈－0.301 0，lg 0.957 6≈－0.018 8) 解　设这种放射性物质最初的质量是1，经过x百年后，剩余量是y， 依题意y＝0.957 6x(x≥0)，令0.957 6x＝0.5，两边取对数，得x lg 0.957 6＝lg 0.5，解得x＝ 16.0，所以约经过1 600年后其剩余的质量为原来的50%. 类型三　对数型函数模型 【例3】　某同学对航天知识产生了浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V(单位：km/s)满足V＝W ln ，其中W(单位：km/s)表示它的发动机的喷射速度，m(单位：t)表示它装载的燃料质量，M(单位：t)表示它自身的质量(不包括燃料质量). (1)某单级火箭自身的质量为50 t，发动机的喷射速度为3 km/s，当它装载100 t燃料时，求该单级火箭的最大速度(参考数据：ln 3≈1.1)； (2)根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2 km/s，该单级火箭的最大速度能否超过7.9 km/s？(参考数据：e＝2.718 28…) 方法总结 对数型函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数型函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [跟踪训练3]　某一处的声强级，是指该处的声强度I(单位：W/m2)与基准值I0＝10-12 W/m2的比值的常用对数，其单位为贝尔(B).实际生活中一般用1贝尔的十分之一，即分贝(dB)来作为声强级的单位．公式为声强级y＝10lg .如果某工厂安静环境中一台机器(声源)单独运转时，发出的噪声声强级为80分贝，那么两台相同的机器一同运转时(声强度为原来的2倍)，发出的噪声声强级大约为 ______分贝．(参考数据：lg 2≈0.3) 83 课堂小结 1．知识清单 (1)应用已知函数模型解决实际问题． (2)指数型函数模型． (3)对数型函数模型． 2．核心提示 (1)解决实际应用问题不要忘记定义域和结论. (2)方法归纳：转化法(如例2). 当堂检测 1．某厂2023年的产值为a万元，预计产值每年以5%递增，则该厂到2035年的产值(万元)是(　　) A．a(1＋5%)13 B．a(1－5%)13 C．a(1＋5%)12 D．a(1－5%)12 解析　∵某厂2023年的产值为a万元，预计产值每年以5%递增，∴该厂到2024年的产值(万元)为a×(1＋5%)，该厂到2025年的产值(万元)为a×(1＋5%)·(1＋5%)＝a×(1＋5%)2，该厂到2026年的产值(万元)为a×(1＋5%)3，∴该厂到2035年的产值(万元)为a×(1＋5%)12. C 2．燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度(单位：m/s)可以表示为函数v＝10log2 ，其中O表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度v＝20 m/s时，它的耗氧量为(　　) A．30 B．60 C．40 D．80 C 3．生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y(单位：mg)与时间t(单位：年)近似满足关系式y＝λ(1－3－λt)，λ≠0，其中λ为抗生素的残留系数，当t＝8时，y＝ λ，则λ＝ ． 4．某地区2024年1月，2月，3月某种传染性疾病治愈的人数分别为52，54，58，为了预测以后各月的治愈人数，我们可以选择模型y＝a·bx＋c，其中y为治愈人数，x为月份数，a，b，c都是常数，那么至少要经过 个月该月份该病治愈的人数将会超过2 000. 解析　由题意可得 解得b＝2，a＝1，c＝50，即y＝2x＋50， 则要治愈数超过2 000人，需2 000<2x＋50⇒2x>1 950，易知210＝1 024，211＝2 048，所以至少要经过11个月． 11 Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ≈≈ $