4.5.3　函数模型的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“函数模型的应用”，通过飞行器速率衰减、净水机过滤等实际问题导入，衔接指数、对数、线性函数增长差异的前期知识，以典例解析、解题有招、即学即练为学习支架，层层递进引导学生掌握模型应用。 其亮点在于紧密联系信息检索、药物试验等现实情境，突出数学建模与数学运算核心素养，采用“典例示范-策略总结-即时练习”的教学方法，帮助学生学会选择、建立和应用函数模型。学生能提升解决实际问题的能力，教师可获得系统的教学资源与实例支撑。

4.5.3　函数模型的应用 【学习目标】 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.(数学抽象) 2.结合具体问题,利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异.(数学运算) 3.在实际情境中,会选择合适的数学模型刻画现实问题的变化规律.(数学建模) 类型1 已知函数模型解决实际问题(数学建模) 【典例1】某飞行器启动反冲装置后,运动速率v与时间t近似满足指数函数模型v=at(a为常数).已知某飞行器启动反冲装置后,经过1个单位时间,飞行器的运动速率衰减20%,若经过t个单位时间后,飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的,则t的最小值为(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　) A.5　 B.6　 C.7　 D.8 √ 【解析】选D.设飞行器的运动速率在启动反冲装置时的原始量为1,经过t个单位时间后,该飞行器的运动速率为v,则由题意可得函数模型v=0.8t, 因为当经过t个单位时间后,飞行器的运动速率小于反冲装置启动前的运动速率的,所以v=0.8t<, 故t>log0.8≈7.21,所以t的最小值为8. 【解题有招】 利用函数模型解决实际问题 函数的解析式中往往含有未知系数,可以通过初始值等条件求出系数,再利用函数的性质、指数对数运算解决实际问题. 【即学即练】 (2025·朝阳高一检测)新闻推送涉及信息检索,若一个关键词w在Dw个网页中出现过,则Dw越大,w的权重越小;反之亦然.在信息检索中,使用最多的权重是“逆文本频率指数Iw”,Iw=lg(),其中D是全部网页数,D>0,Dw>0.如果关键词a的逆文本频率指数Ia比关键词b的逆文本频率指数Ib大2,那么(　　) A.Db=2Da　 B.Db=10Da C.Db=20Da　 D.Db=100Da 【解析】选D.由题意可知Ia-Ib=2,即lg()-lg()=2,所以lg()=2, 所以=102=100,即Db=100Da. √ 类型2 建立函数模型解决实际问题(数学建模) 【典例2】净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准,其工作原理中有多次的PP棉滤芯过滤,其中第一级过滤一般由孔径为5微米的PP棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构成,其结构是多层式,主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质,假设每一层PP棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质,若过滤前水中大颗粒杂质含量为80 mg/L,现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L,则PP棉滤芯的层数最少为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈ 0.48)(　　) A.9　 B.8　 C.7　 D.6 √ 【解析】选A.设经过n层PP棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y, 则y=80×(1-)n=80×()n, 令80×()n≤2,解得()n≤,两边取对数得nlg ≤lg ,即nlg ≥lg 40, 即n(lg 3-lg 2)≥1+2lg 2,因为lg 2≈0.30,lg 3≈0.48, 所以(0.48-0.30)n≥1.60,解得n≥,因为n∈N*,所以n的最小值为9. 【解题有招】 建立函数模型解决实际问题 (1)熟练应用指数型函数模型y=a(1±x)n,a>0,0<x<1,解题时特别注意增长(衰减)次数,审清如年初、年底等字眼. (2)对于比较复杂的问题,可以写出前若干次的解析式,找出规律后再写第n次的. 【即学即练】 在某种药物试验中,规定100 mL血液中药物含量低于20 mg为“药物失效”.现测得试验动物血液中药物含量为0.8 mg/mL,若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少,那么经过　　 　个小时才会“药物失效”.(参考数据:lg 2≈0.301 0)  【解析】依题意药物试验中,100 mL血液中药物含量为20 mg,即药物含量为0.2 mg/mL,设至少经过t个小时才会“药物失效”,根据题意可得0.8(1-0.2)t <0.2,两边取对数得tln 0.8<ln ,可得t> ≈≈6.206, 所以至少经过7个小时才会“药物失效”. 答案:7 类型3 选择函数模型解决实际问题(数学建模) 【典例3】某科研小组对面积为8 000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究,一开始在此池塘投放了一定面积的该生物,观察实验得到该生物覆盖面积y(单位:平方米)与所经过月数x(x∈N)的下列数据: x 0 2 3 4 y 4 25 62.5 156.3 为描述该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过的月数x(x∈N)的关系,现有以下三种函数模型供选择:y=k·ax(k>0,a>1);y=p+q(p>0);y=ax+b(a>0). (1)试判断哪个函数模型更适合,并求出该模型的函数解析式; (2)约经过几个月,此生物能覆盖整个池塘? (参考数据:≈1.414,lg 2≈0.301) 【解析】(1)因为函数y=k·ax(k>0,a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律,函数y=p+q(p>0)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律,函数y=ax+b(a>0)刻画的是增长速度不变的规律,根据题表中的数据可知该生物增长的速度越来越快,所以函数模型y=k·ax(k>0,a>1)更适合. 根据题意有,解得,所以y=4×()x,x∈N. (2)设约经过x个月,此生物能覆盖整个池塘, 则4×()x=8 000,解得x=lo2 000=≈8.294. 故约经过9个月此生物能覆盖整个池塘. 【解题有招】 函数拟合与预测的一般方法 (1)若已知的数据较多,可以绘出散点图,观察图象的增长(下降)的趋势特征,选择函数模型,再通过具体数据验证; (2)若已知函数模型的解析式含有未知参数,可以利用已知的部分数据求出函数的解析式,再代入其他数据,通过分析所得数据与实际数据的关系选择函数模型. 【即学即练】 (2025·抚顺高一检测)学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,每天能用于锻炼的 课余时间有60分钟,现需要制定一个课余锻炼考核评分制度,建立一个每天得分y与 当天锻炼时间x(单位:分)的函数关系.要求及图示如下:(ⅰ)函数是区间[0,60]上的增 函数;(ⅱ)每天运动时间为0分钟时,当天得分为0分;(ⅲ)每天运动时间为20分钟时,当 天得分为3分;(ⅳ)每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择:①y=kx+ b(k>0),②y=k·1.2x+b(k>0),③y=k·log2(+2)+n(k>0). (1)请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型, 不需要说明理由; (2)根据所给信息求出函数的解析式; (3)求每天得分不少于4.5分,至少需要锻炼多少分钟.(注:≈1.414,结果保留整数) 【解析】(1)对于模型③y=k·log2(+2)+n(k>0),对数型的函数增长速度较慢,符合题意,故选择模型③. (2)所求函数过点(0,0),(20,3),则,解得k=3,n=-3, 故所求函数为y=3log2(+2)-3, 经检验,当x=60时,y=3log2(+2)-3=6,符合题意. 综上所述,函数的解析式为y=3log2(+2)-3. (3)因为每天得分不少于4.5分,所以3log2(+2)-3≥4.5,即log2(+2)≥, 所以+2≥=4,即x≥40-20≈40×1.414-20=36.56≈37, 所以至少需要锻炼37分钟. $