专题05 平方根与立方根的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型模版”构建方法体系，通过五类典型题型串联平方根与立方根核心知识，培养抽象能力与推理意识，实现从概念理解到规律探究的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|明确平方根非负性、符号规则及易错点，强调方程开方技巧|从概念本质出发，奠定运算基础| |题型归纳|5类题型（每类1典例+3变式）|每类题型模版含特征与方法，如非负性用“多非负和为0则各项为0”，规律题用“列举-猜想-验证”|从基础应用（非负性、整数小数部分）到综合问题，再到规律探索，形成递进逻辑| |压轴挑战|15题|综合运用平方根与立方根知识，强化复杂问题推理与模型意识|对接中考高频考点，提升知识迁移与问题解决能力|

专题05 平方根与立方根的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 题型三、平方根与立方根的综合问题 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 题型五、与立方根有关的规律探索题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：求非负数的平方根、算术平方根及任意数的立方根，常与方程结合求参数或解方程。 - 解题方法：平方根（a≥0），算术平方根取正；立方根符号保持；解方程时方程两边同时开方或开立方，注意开方要加。 - 易错提醒：忽视被开方数非负导致增根；混淆平方根与算术平方根（如=3，而非3）；开立方时丢掉负号；根号内带分数计算时未化简。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 典例1 （25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 题型模版 1.特征：含算术平方根，且被开方数非负、根式值非负，常用于求字母范围或方程取值。 2.方法：利用双重非负性，即被开方数≥0且√a≥0；若多个非负数之和为0，则各项均为0。 变式1-1（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 变式1-2（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 变式1-3（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 典例2 （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）a为的整数部分，则__________． 题型模版 1.特征：求无理数的整数部分与小数部分，需判断该数在哪两个连续整数之间。 2.方法：找到与算术平方根相邻的两个完全平方数，较小者为整数部分，原数减整数部分得小数部分。 变式2-1（25-26七年级下·广西南宁·期中）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 变式2-2（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 变式2-3（25-26七年级下·四川南充·期中）已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 题型三、平方根与立方根的综合问题 典例3 （25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型模版 1.特征：同时涉及平方根与立方根运算，利用开方与乘方互逆关系求值或化简。 2.方法：先分别开方或立方，再合并同类项；或设方程利用平方根、立方根定义互为逆运算求解。 变式3-1（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 变式3-2（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 变式3-3（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 典例4 （25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 题型模版 1.特征：观察一组算术平方根的运算规律（如递推、整数部分变化），求第n项或猜想。 2.方法：列举前几项，寻找递推公式或周期，将规律用代数式表示，再代入n求解或验证猜想。 变式4-1（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 变式4-2（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 变式4-3（25-26七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 题型五、与立方根有关的规律探索题 典例5 （25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 题型模版 1.特征：观察一组立方根的运算规律（如符号变化、递推），求第n项或猜想结论。 2.方法：列举前几项，分析底数或指数的变化模式，用代数式表示通项，再验证后代入求解。 变式5-1（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 变式5-2（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 变式5-3（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 4．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 6．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 7．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 三、解答题 9．（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 10．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 11．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 13．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 14．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 15．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平方根与立方根的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 题型三、平方根与立方根的综合问题 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 题型五、与立方根有关的规律探索题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：求非负数的平方根、算术平方根及任意数的立方根，常与方程结合求参数或解方程。 - 解题方法：平方根（a≥0），算术平方根取正；立方根符号保持；解方程时方程两边同时开方或开立方，注意开方要加。 - 易错提醒：忽视被开方数非负导致增根；混淆平方根与算术平方根（如=3，而非3）；开立方时丢掉负号；根号内带分数计算时未化简。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用算术平方根的非负性解题 典例1 （25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 【答案】0 【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 题型模版 1.特征：含算术平方根，且被开方数非负、根式值非负，常用于求字母范围或方程取值。 2.方法：利用双重非负性，即被开方数≥0且√a≥0；若多个非负数之和为0，则各项均为0。 变式1-1（25-26七年级下·北京·期末）若，则__________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a和b的值，代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ． 变式1-2（25-26七年级下·重庆·期末）已知实数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入求出的值，最后计算即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可得， 解不等式组得． 将代入，得． 则． 变式1-3（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知实数和满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性，先求出的取值，再代入等式求出的值，最后代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即， 解得， 将代入，得． 题型二、求算术平方根的整数部分和小数部分 典例2 （25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）a为的整数部分，则__________． 【答案】2 【分析】先估算的大小，确定介于哪两个连续整数之间，即可得到的整数部分，即的值． 【详解】解：，，且， ，即， 的整数部分为，即． 题型模版 1.特征：求无理数的整数部分与小数部分，需判断该数在哪两个连续整数之间。 2.方法：找到与算术平方根相邻的两个完全平方数，较小者为整数部分，原数减整数部分得小数部分。 变式2-1（25-26七年级下·广西南宁·期中）若的整数部分是a，的整数部分是b，则的值为________． 【答案】 5 【分析】先估算出的取值范围，再分别求出和的整数部分和，最后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ∴，， 的整数部分，的整数部分， 则． 变式2-2（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算．先估算无理数的取值范围，由此得到的整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 小数部分 ， 将，代入得： 变式2-3（25-26七年级下·四川南充·期中）已知x，y满足等式 是的小数部分，则的值为__________ 【答案】 【分析】利用算术平方根的非负性与绝对值的非负性求出，的值，估算的取值范围得到的值，代入代数式计算即可得到结果． 【详解】解：，，且， ，， 解得，， 是的小数部分，且， ， 将，，代入得： ． 题型三、平方根与立方根的综合问题 典例3 （25-26七年级下·山东德州·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：的立方根是3，的算术平方根是5， ，， ，； （2）解：，， ， 的平方根为． 题型模版 1.特征：同时涉及平方根与立方根运算，利用开方与乘方互逆关系求值或化简。 2.方法：先分别开方或立方，再合并同类项；或设方程利用平方根、立方根定义互为逆运算求解。 变式3-1（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解可得； （2）将、的值代入，再根据平方根的定义计算可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是4， ∴， 解得：； （2）解：， 则的平方根为． 变式3-2（25-26七年级下·重庆江津·期中）按要求完成下列各题： (1)若一个正数的两个不同的平方根分别为和，求这个正数． (2)已知的立方根是，是的算术平方根，求的平方根． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的性质： （1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数列方程求解； （2）根据立方根和算术平方根求出，代入代数式求解． 【详解】（1）解： 这个正数的其中一个平方根为， 这个正数为． （2）解：根据题意得， ， 解得； ， 的算术平方根为， 即， ， 的平方根为． 变式3-3（25-26七年级下·湖南长沙·阶段检测）已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用立方根，算术平方根，求无理数的整数部分的法则求出各数的值即可； （2）代数求值后利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 解得， ∵c是的整数部分，， ∴ ∴； （2）解： 题型四、与算术平方根有关的规律探索题 典例4 （25-26七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ①，； ②，； ③，； 【规律发现】 (1)计算：________；________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：．请你试着化简下面各式：________；________． 【答案】(1) ； (2) 当，时， (3) ； 【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可； （2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可； （3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可． 【详解】（1）解：根据规律可知；； （2）解：根据下列各式的计算结果： ①，； ②，； ③，； 发现，当，时，； （3）解：；． 题型模版 1.特征：观察一组算术平方根的运算规律（如递推、整数部分变化），求第n项或猜想。 2.方法：列举前几项，寻找递推公式或周期，将规律用代数式表示，再代入n求解或验证猜想。 变式4-1（25-26七年级下·江西·阶段检测）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 变式4-2（25-26七年级下·吉林松原·期中）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如： 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）； __________；__________； (2)当时，__________；当时，__________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，． （2）解：当时，；当时，． （3）原式 ． 变式4-3（25-26七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： ； ； (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： ________________； (2)运用以上你发现的规律计算： ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可； （2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解： ． 题型五、与立方根有关的规律探索题 典例5 （25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：观察一组立方根的运算规律（如符号变化、递推），求第n项或猜想结论。 2.方法：列举前几项，分析底数或指数的变化模式，用代数式表示通项，再验证后代入求解。 变式5-1（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 变式5-2（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 变式5-3（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·山东淄博·三模）若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 2．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）实数a，b是连续整数，如果 那么的值是（     ） A．9 B．7 C．8 D．11 【答案】D 【分析】找到与26相邻的两个完全平方数，确定的范围，进而得到连续整数和的值，计算即可． 【详解】解：， ，即 ， ，且，是连续整数， ，， ． 3．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【分析】本题考查立方根的运算性质，将待求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根性质计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 4．（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 二、填空题 5．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知，则的立方根是______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的值，再代入代数式求出的值，最后计算该值的立方根即可． 【详解】解：，且， ，， 解得，， 将，代入得：， ， 的立方根是，即的立方根是． 6．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）（1）已知，则_______； （2）已知 则 ________． 【答案】 0.2646 300 【详解】解：（1）∵，则； （2）已知 则 ． 7．（25-26七年级下·吉林松原·期末）小明发现，，，…，根据小明的发现解决问题：已知，，则的值为__________． 【答案】 【分析】观察已知等式总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点对应向左或向右移动位，结合已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：由题可得被开方数的小数点每向左移动位，算术平方根的小数点向左移动位， ，是将的小数点向左移动位得到， 是将的小数点向左移动位，即． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期末）已知的整数部分为，小数部分为，为有理数，若满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算和的范围，确定和的值，再代入方程，利用有理数和无理数的性质（无理数的系数必须为零）求解和，最后计算即可． 本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为2，小数部分． 代入方程得， 整理得， 由于为有理数，为无理数， ∴且， 解得． ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26七年级下·吉林四平·期末）已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分 (1)求、、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)４ 【分析】（1）先根据平方根和立方根的定义求出a、b,然后估算出的范围即可求出c； （2）根据（1）所求，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：，； ∵，是的整数部分， ∴； （2）解：当，，时，． 10．（25-26七年级下·新疆吐鲁番·期中）已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根的定义列方程求出，进而求出，再根据算术平方根的定义列方程求出； （2）先求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 11．（25-26八年级上·广东梅州·阶段检测）已知是的算术平方根，是的立方根． (1)求a，b的值． (2)化简:  ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，代数求值，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义． （1）根据算术平方根和立方根的定义，列出方程求出的值，再求a，b的值即可； （2）将a，b的值代入式子求值即可． 【详解】（1）解：根据是的算术平方根得，， 解得， ∴； 根据是的立方根得，， 解得， ∴； （2）解：将代入得， ． 12．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的实数为． (1)实数的值是__________； (2)化简：_________； (3)若在数轴上有两点分别表示实数，且与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式可得答案； （2）由图可知，则，，再利用绝对值的性质化简绝对值，进而求得答案； （3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入，进而求其立方根． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点表示，点所表示的实数为， ∴； （2）解：由图可知，， ∴，， ∴； （3）解：与互为相反数， ， 又， ， 解得，， ， 的立方根为． 13．（25-26七年级下·山东德州·期中）数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： ，，；… 实践探究： (1)按照此规律，计算： ； ； (2)计算：； 迁移应用： (3)若符合上述规律，请直接写出x的值： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给方法可进行求解； （2）利用题中所给规律可进行求解； （3）找出规律，据此即可求解． 【详解】（1）解：    ； （2）解：由题意得：； （3）解：∵； ； ； ……； ∴（为正整数）， ∵， ∴， 解得：， ∴． 14．（25-26七年级下·云南昭通·期中）阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 15．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）【观察】 ① ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：___________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，若，则___________，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：（3）若，求的算术平方根． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）0；（3）3 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案． 【详解】解：（1）； 故答案为：（答案不唯一） （2）对于任意两个不相等的有理数，若，则，反之也成立； 故答案为：0 （3）由（2）知， ， 解得， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $