2026-2027学年北师大版八年级数学上册1.3勾股定理的应用分层训练

**基本信息** 聚焦勾股定理应用，通过分层训练构建从基础计算到实际情境建模再到综合问题解决的逻辑链条，解析隐含构造直角三角形、方程思想等方法 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |第一部分（必做）|18题（如直角三角形周长、楼梯地毯）|基础计算与简单应用|勾股定理直接应用| |第二部分（必做）|11题（如城墙云梯、圆柱细棒）|复杂情境与综合应用|实际问题建模| |第三部分（选做）|2题（噪声影响、芦苇问题）|拓展探究与跨学科应用|综合问题与逆定理应用|

北师大版八年级数学 · 1.3 勾股定理的应用 · 分层训练 1.3 勾股定理的应用分层训练 第一部分（必做） 一、选择题（共 10 题） 1．一个直角三角形的两条直角边长之比为3∶4，周长为48 cm，则它的斜边长为（　　） A．12 cm　　B．16 cm　　C．20 cm　　D．24 cm 2．如图，一段楼梯的高度为6 m，沿斜面方向的长度为10 m。若把每级台阶的水平面和竖直面都铺上地毯（忽略接缝），则地毯至少需要（　　） A．10 m　　B．12 m　　C．14 m　　D．16 m 3．如图，一个长方形木框的长为15 cm，宽为8 cm。为了加固，在一组对角顶点间钉一根木条，则木条的最短长度为（　　） A．15 cm　　B．17 cm　　C．19 cm　　D．23 cm 4．如图，一棵树在离地6 m处折断，树梢恰好落在离树根8 m处的地面上，则这棵树折断前的高度为（　　） A．10 m　　B．14 m　　C．16 m　　D．18 m 5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC的中点，连接AD，则△ABC的面积为（　　） A．36　　B．48　　C．60　　D．96 6．如图，在直角三角形的两条直角边上分别向外作正方形，面积为49和576，则以斜边为边所作正方形的面积为（　　） A．527　　B．576　　C．625　　D．676 7．如图，每个小正方形的边长均为1，点A，C都在格点上，则线段AC的长为（　　） A．4　　B．√17　　C．5　　D．√26 8．如图，自动感应门上方的感应器A离地2.4 m，学生头顶C离地1.6 m。当学生距门1.5 m时感应门刚好打开，则感应器的最大感应距离AC为（　　） A．1.5 m　　B．1.6 m　　C．1.7 m　　D．1.9 m 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系正确的是（　　） A．a²＋b²＝c²　　B．a²＋c²＝b²　　C．b²＋c²＝a²　　D．a＋b＝c 10．如图，一块长方形花圃长12 m、宽5 m。从一个顶点走到对角顶点，沿两边走比直接穿过花圃沿对角线走多（　　） A．2 m　　B．4 m　　C．5 m　　D．13 m 二、填空题（共 5 题） 11．如图，一架25 m长的梯子斜靠在竖直墙面上，梯子顶端离地24 m，则梯脚离墙脚________m。 12．如图，两棵竖直的树相距8 m，树高分别为14 m和8 m，一只小鸟从一棵树的树梢直线飞到另一棵树的树梢，至少飞行________m。 13．小明横渡一条宽120 m的小河，原计划沿垂直于河岸的方向游到正对岸。由于水流影响，他到达对岸时偏离原目标点50 m，则他实际游了________m。 14．一个正方形的对角线长为10 cm，则这个正方形的面积为________cm²。 15．一根长16 cm的橡皮筋水平放置并固定两端，将橡皮筋的中点竖直向上拉起，橡皮筋的总长变为20 cm，且两段长度相等，则中点被拉高________cm。 三、解答题（共 3 题） 16．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝13 cm，BC＝15 cm，AD＝5 cm。 （1）求CD的长； （2）求AB的长。 17．如图，小明用无人机测量一栋楼的高度。无人机位于与小明眼睛等高的点C，随后沿直线飞到楼顶A。测得AC＝15 m，水平距离CE＝9 m，小明眼睛离地CD＝1.6 m，且CE⊥AB，BE＝CD。 （1）求AE的长； （2）求楼高AB。 18．如图，某道路旁安装车速检测仪A，AC⊥CB，AC＝30 m。一辆汽车由C沿直路驶向B，2 s后到达B，此时检测仪测得AB＝50 m。 （1）求汽车2 s内行驶的路程CB； （2）若该路段限速60 km/h，判断汽车是否超速；若超速，求超速多少。 第二部分（必做） 四、选择题（共 5 题） 19．一座城墙高11.7 m，墙外有一条宽9 m的护城河。一架长15 m的云梯从护城河外侧斜靠城墙，梯脚不能进入护城河，则这架云梯（　　） A．能到达墙顶　　B．不能到达墙顶　　C．恰好到达墙顶　　D．无法判断 20．如图，将一根长18 cm的直细棒斜放在底面直径为5 cm、高为12 cm的圆柱形无盖水杯中（细棒粗细忽略不计），则细棒露在杯外的长度最少为（　　） A．4 cm　　B．5 cm　　C．6 cm　　D．7 cm 21．如图，小巷左右两侧是竖直的墙。同一架梯子斜靠左墙时，梯脚距左墙0.7 m、顶端离地2.4 m；保持梯脚不动改靠右墙时，顶端离地2 m。小巷宽为（　　） A．1.5 m　　B．2.0 m　　C．2.2 m　　D．2.5 m 22．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD的长为（　　） A．10　　B．12　　C．13　　D．17 23．装修工人用卷尺检验两条相邻边是否垂直。他从两边的公共端点起，分别沿两边量取30 cm和40 cm，再量得这两个端点间的距离为50 cm。则这两条边（　　） A．一定垂直　　B．一定不垂直　　C．可能垂直　　D．无法判断 五、填空题（共 3 题） 24．如图，一架25 m长的梯子斜靠墙面，梯脚原来离墙7 m。梯子顶端沿墙面下滑4 m后，梯脚沿地面向外滑动________m。 25．如图，在离水面8 m高的岸上用绳子拉船。开始时绳长17 m，后来绳长10 m，则船向岸边移动了________m。 26．一个直角三角形的两条直角边长分别为15 cm和20 cm，则斜边上的高为________cm。 六、解答题（共 3 题） 27．如图，某小区有一块四边形空地ABCD，∠ABC＝90°，AB＝9 m，BC＝12 m，AD＝8 m，CD＝17 m，连接AC。计划按80元/m²进行绿化。 （1）求AC的长，并判断∠CAD是否为直角； （2）求绿化这块空地所需的费用。 28．如图，消防车云梯最长可伸至17 m，云梯下端的平台离地2 m。先救援离地10 m的B处人员，随后要救援离地17 m的D处人员，两个位置均使云梯伸至最长，且车沿垂直墙面的方向移动。 （1）第一次救援时，消防车平台到墙面的水平距离是多少米？ （2）第二次救援时，消防车需向墙面方向移动多少米？ 29．如图，一个长方体礼盒的长、宽、高分别为8 cm、6 cm、4 cm。蚂蚁从顶点A沿礼盒表面爬到对顶点G。把相邻的两个面展开到同一平面，可得到三类不同的最短候选路线。 （1）分别求三类展开图中A，G间线段的长度； （2）确定蚂蚁沿礼盒表面爬行的最短路程。 第三部分（选做·附加） 30．如图，公路上A，B两点相距250 m，一所学校C到A，B两点的距离分别为150 m和200 m。环卫车沿公路AB行驶，学校周围130 m以内会受到噪声影响，环卫车速度为50 m/min。 （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求学校C到公路AB的最短距离； （3）求环卫车噪声影响学校的持续时间。 31． 《九章算术》中有“池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐”的问题。其大意是：一个正方形水池边长10尺，水池中央有一根芦苇，高出水面1尺；把芦苇的顶端拉向岸边，恰好到达岸边的水面。 （1）设水池深x尺，根据题意列出方程； （2）求水池的深度和芦苇的长度。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．【答案】C（20 cm） 【解析】设两条直角边分别为3x，4x。由勾股定理，斜边为5x，所以周长为3x＋4x＋5x＝12x＝48，解得x＝4。因此斜边长为5×4＝20 cm。 2．【答案】C（14 m） 【解析】楼梯的高度6 m、斜面长度10 m与水平长度组成直角三角形。水平长度为√(10²－6²)＝8 m。地毯覆盖所有水平面和竖直面，其总长度等于“水平总长度＋竖直总高度”，所以至少需要8＋6＝14 m。 3．【答案】B（17 cm） 【解析】长方形的长、宽与对角线组成直角三角形。设木条长为d，则d²＝15²＋8²＝225＋64＝289，所以d＝17 cm。 4．【答案】C（16 m） 【解析】折断处、树根和树梢落地点组成直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m，折断部分长为√(6²＋8²)＝10 m。因此原树高为6＋10＝16 m。 5．【答案】B（48） 【解析】因为AB＝AC，D为BC的中点，所以BD＝CD＝6。等腰三角形底边上的中线AD也是高，故∠ADB＝90°。在Rt△ABD中，AD＝√(10²－6²)＝8，所以S△ABC＝12×8÷2＝48。 6．【答案】C（625） 【解析】正方形的面积等于对应边长的平方。两条直角边的平方分别为49和576，由勾股定理可知斜边的平方为49＋576＝625，因此以斜边为边的正方形面积为625。 7．【答案】C（5） 【解析】由方格可知，A，C两点在水平方向相差4个单位、竖直方向相差3个单位。以这两个差为直角边构造直角三角形，则AC＝√(4²＋3²)＝5。 8．【答案】C（1.7 m） 【解析】感应器A与学生头顶C的竖直高度差为2.4－1.6＝0.8 m，水平距离为1.5 m。这两个方向互相垂直，所以AC＝√(0.8²＋1.5²)＝√2.89＝1.7 m。 9．【答案】A 【解析】∠C＝90°，因此AB是斜边，BC和AC是两条直角边。按题设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由勾股定理得a²＋b²＝c²。 10．【答案】B（4 m） 【解析】沿花圃两边走的路程为12＋5＝17 m。直接沿对角线走的路程为√(12²＋5²)＝13 m，因此可少走17－13＝4 m。 11．【答案】7 【解析】梯子、墙面和地面组成直角三角形，梯子为斜边。设梯脚离墙脚x m，则x²＋24²＝25²，所以x²＝49，x＝7。 12．【答案】10 【解析】两棵树的树梢高度差为14－8＝6 m，两树水平距离为8 m。小鸟的最短飞行路线是两树梢之间的线段，长度为√(6²＋8²)＝10 m。 13．【答案】130 【解析】河宽120 m，偏离目标点50 m，实际游程与这两个长度构成直角三角形。由勾股定理，实际游程为√(120²＋50²)＝√16900＝130（m）。 14．【答案】50 【解析】设正方形边长为a cm。正方形的一条对角线把它分成两个全等的等腰直角三角形，所以a²＋a²＝10²，得2a²＝100，a²＝50。正方形面积就是a²，因此为50 cm²。 15．【答案】6 【解析】橡皮筋原长16 cm，其中点到任一固定端的水平距离为8 cm。拉起后橡皮筋总长为20 cm，所以两段橡皮筋各长10 cm。设中点被拉高h cm，则h²＋8²＝10²，得h²＝36，所以h＝6 cm。 16．【答案】（1）12 cm；（2）14 cm。 【解析】（1）在Rt△ACD中，CD²＝AC²－AD²＝13²－5²＝144，所以CD＝12 cm。 （2）在Rt△BCD中，BD²＝BC²－CD²＝15²－12²＝81，所以BD＝9 cm。于是AB＝AD＋BD＝5＋9＝14 cm。 17．【答案】（1）12 m；（2）13.6 m。 【解析】（1）CE⊥AB，所以△ACE是直角三角形，AC为斜边。AE＝√(AC²－CE²)＝√(15²－9²)＝12 m。 （2）BE＝CD＝1.6 m，因此AB＝AE＋BE＝12＋1.6＝13.6 m。 18．【答案】（1）40 m；（2）超速，超速12 km/h。 【解析】（1）在Rt△ACB中，CB＝√(AB²－AC²)＝√(50²－30²)＝40 m。 （2）汽车2 s行驶40 m，速度为20 m/s。换算成千米每小时：20×3.6＝72 km/h。72＞60，所以汽车超速，超速72－60＝12 km/h。 第二部分（必做） 19．【答案】A 【解析】梯脚在护城河外侧，离城墙脚的水平距离至少为9 m。若梯脚取在护城河外沿，则云梯顶端能达到的高度为√(15²－9²)＝√144＝12（m）。因为12＞11.7，所以15 m长的云梯能够到达墙顶。 20．【答案】B（5 cm） 【解析】细棒在杯内能取得的最长线段，位于通过圆柱轴线的竖直截面内。该截面是长12 cm、宽5 cm的长方形，其对角线长为√(12²＋5²)＝13 cm。因此细棒在杯内的最大长度为13 cm，露在杯外的长度最少为18－13＝5 cm。 21．【答案】C（2.2 m） 【解析】梯子长度不变。第一次斜靠左墙时，梯长为√(0.7²＋2.4²)＝√6.25＝2.5 m。第二次斜靠右墙时，梯脚到右墙的距离为√(2.5²－2²)＝1.5 m。因此小巷宽为0.7＋1.5＝2.2 m。 22．【答案】C（13） 【解析】在Rt△ABD中，DB＝√(AD²＋AB²)＝√(3²＋4²)＝5。又因为∠DBC＝90°，所以在Rt△DBC中，CD＝√(DB²＋BC²)＝√(5²＋12²)＝13。 23．【答案】A 【解析】30²＋40²＝900＋1600＝2500＝50²。根据直角三角形的判别条件，以30 cm和40 cm为两边、50 cm为第三边所构成的三角形是直角三角形，因此这两条相邻边一定垂直。 24．【答案】8 【解析】原来梯脚离墙7 m，梯长25 m，因此梯顶高度为√(25²－7²)＝24 m。下滑4 m后高度为20 m，此时梯脚离墙√(25²－20²)＝15 m，所以梯脚向外滑动15－7＝8 m。 25．【答案】9 【解析】岸边高度为8 m。开始时船到岸边的水平距离为√(17²－8²)＝15 m；后来为√(10²－8²)＝6 m。因此船向岸边移动15－6＝9 m。 26．【答案】12 【解析】先由勾股定理求斜边c＝√(15²＋20²)＝25 cm。设斜边上的高为h，根据三角形面积相等，有15×20÷2＝25×h÷2，解得h＝12 cm。 27．【答案】（1）AC＝15 m，∠CAD＝90°；（2）9120元。 【解析】（1）在Rt△ABC中，AC＝√(9²＋12²)＝15 m。又有AD²＋AC²＝8²＋15²＝289＝17²＝CD²，根据勾股定理的逆定理，△ACD是直角三角形，且CD为斜边，所以∠CAD＝90°。 （2）S△ABC＝9×12÷2＝54 m²，S△ACD＝8×15÷2＝60 m²，所以空地面积为114 m²。绿化费用为114×80＝9120元。 28．【答案】（1）15 m；（2）7 m。 【解析】（1）第一次救援时，平台到B点的竖直高度差为10－2＝8 m。云梯17 m为斜边，所以水平距离为√(17²－8²)＝15 m。 （2）第二次救援时，平台到D点的竖直高度差为17－2＝15 m，水平距离为√(17²－15²)＝8 m。因此消防车需向墙面方向移动15－8＝7 m。 29．【答案】（1）2√53 cm，6√5 cm，2√41 cm；（2）2√41 cm。 【解析】把长方体相邻的两个面展开到同一平面，对顶点A，G之间的表面最短路线在展开图中变成一条线段。三类展开方式对应的长方形边长分别为：①(8＋6) cm与4 cm，线段长√[(8＋6)²＋4²]＝2√53 cm；②(8＋4) cm与6 cm，线段长√[(8＋4)²＋6²]＝6√5 cm；③(6＋4) cm与8 cm，线段长√[(6＋4)²＋8²]＝2√41 cm。比较平方212，180，164可知，最短的是2√41 cm。 第三部分（选做·附加） 30．【答案】（1）直角三角形，∠ACB＝90°；（2）120 m；（3）2 min。 【解析】（1）150²＋200²＝22500＋40000＝62500＝250²，所以由勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°。 （2）设CH⊥AB于H。利用面积相等：150×200÷2＝250×CH÷2，解得CH＝120 m。 （3）设公路上进入噪声影响范围的两个临界点为P，Q，则CP＝CQ＝130 m。因CH⊥AB，在Rt△CHP中，HP＝√(130²－120²)＝50 m，同理HQ＝50 m，所以PQ＝100 m。环卫车速度为50 m/min，持续时间为100÷50＝2 min。 31．【答案】（1）x²＋5²＝(x＋1)²；（2）水池深12尺，芦苇长13尺。 【解析】（1）水池边长为10尺，芦苇位于水池中央，所以水池中心到岸边的水平距离为5尺。设水池深x尺，则芦苇长为(x＋1)尺。芦苇拉向岸边后，与水深和5尺的水平距离构成直角三角形，因此列方程：x²＋5²＝(x＋1)²。 （2）由x²＋25＝x²＋2x＋1，得2x＝24，所以x＝12。故水池深12尺，芦苇长12＋1＝13尺。 分层训练 · 第 页 学科网（北京）股份有限公司 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