3.2.2 双曲线的简单几何性质导学案—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦双曲线的简单几何性质，通过“温故”回顾双曲线定义及标准方程，以椭圆几何性质研究方法为类比支架，引导学生从方程分析曲线特征，为新知探究铺垫坐标法思想。 资料以预习提要引导自主预习，温故知新构建知识脉络，课前自测涵盖渐近线、离心率等高频题型，反思部分强调核心素养培养，通过极限思维、严谨推演发展数学思维，以模型观念深化数学语言表达，助学生突破重点难点。

3.2.2 双曲线的简单几何性质 预习提要 1.回顾双曲线标准方程，类比椭圆几何性质的研究方法，思考如何通过方程分析曲线特征，体会坐标法思想，做好预习铺垫。 2.阅读课本内容，探究双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率，掌握渐近线特征与离心率取值范围. 【温故】 1.双曲线的定义：一般地，平面内与两个定点的距离的___________的绝对值等于非零常数（小于___________）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的___________，两焦点间的距离叫做双曲线的___________． 2.双曲线的标准方程： 焦点在轴上：方程________________叫做双曲线的标准方程．焦点分别是，的双曲线，这里___________． 焦点在轴上：方程为________________．焦点分别是__________，__________，． 【知新】 双曲线的简单几何性质 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点对称 顶点坐标 ________，________ ________，________ 长、短轴长 实轴长__________，虚轴长__________ 渐近线 直线__________ 直线__________ 离心率 __________ 课前自测 1.若双曲线的实半轴长为m，半焦距为n，则( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 4.与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为__________. 5.双曲线的左、右焦点分别为，若点P在双曲线的右支上，且，则双曲线C的离心率的取值范围为______. 反思 双曲线几何性质是圆锥曲线重点、难点考点，常单独考查或结合大题综合考查. 高频题型包含渐近线求解、离心率求值与范围问题、双曲线参数换算、利用对称性简化计算. 相较于椭圆，双曲线易错点更多，主要集中在：记错渐近线公式、混淆关系、分不清实轴虚轴、误用离心率范围. 熟练抓住渐近线与离心率两大核心，是突破双曲线题型的关键. 极限趋近，咫尺不遇，是双曲线独有的数学意境. 渐近线诠释了无限逼近的辩证哲理，离心率刻画了曲线开合的尺度规律. 从方程解析形态，用参数定义特征，以数形结合贯通规律，让抽象曲线变得有界、有度、有形. 深耕双曲线性质，能培养极限思维、对比辨析、严谨推演的高阶数学思维. 答案及解析 【温故】 1.差 焦点 焦距 2. 【知新】 课前自测 1.答案：B 解析：双曲线的实半轴长，半焦距，所以. 2.答案：B 解析：由知.又两条渐近线之间的夹角小于，故，故离心率.故选B. 3.答案：C 解析：由题意可知，，且焦点在y轴上，即，，可得，即，所以该双曲线的渐近线方程为.故选C. 4.答案： 解析：设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入该双曲线的方程得，故所求双曲线的方程为. 5.答案： 解析：由题意及双曲线的定义，知，又双曲线上的所有点中，到给定焦点距离最小的点是离该焦点最近的实轴的端点，所以，所以，所以，又1，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $